Theorem drngid2 18763

Description: Properties showing that an element I is the identity element of a division ring. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Oct-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
drngid2.b	|- B = ( Base ` R )
drngid2.t	|- .x. = ( .r ` R )
drngid2.o	|- .0. = ( 0g ` R )
drngid2.u	|- .1. = ( 1r ` R )

Assertion

Ref	Expression
drngid2	|- ( R e. DivRing -> ( ( I e. B /\ I =/= .0. /\ ( I .x. I ) = I ) <-> .1. = I ) )

Proof of Theorem drngid2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3an 1039	. . . 4 |- ( ( I e. B /\ I =/= .0. /\ ( I .x. I ) = I ) <-> ( ( I e. B /\ I =/= .0. ) /\ ( I .x. I ) = I ) )
2		eldifsn 4317	. . . . 5 |- ( I e. ( B \ { .0. } ) <-> ( I e. B /\ I =/= .0. ) )
3	2	anbi1i 731	. . . 4 |- ( ( I e. ( B \ { .0. } ) /\ ( I .x. I ) = I ) <-> ( ( I e. B /\ I =/= .0. ) /\ ( I .x. I ) = I ) )
4	1, 3	bitr4i 267	. . 3 |- ( ( I e. B /\ I =/= .0. /\ ( I .x. I ) = I ) <-> ( I e. ( B \ { .0. } ) /\ ( I .x. I ) = I ) )
5		drngid2.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` R )
6		drngid2.o	. . . . 5 |- .0. = ( 0g ` R )
7		eqid 2622	. . . . 5 |- ( (mulGrp ` R ) ↾s ( B \ { .0. } ) ) = ( (mulGrp ` R ) ↾s ( B \ { .0. } ) )
8	5, 6, 7	drngmgp 18759	. . . 4 |- ( R e. DivRing -> ( (mulGrp ` R ) ↾s ( B \ { .0. } ) ) e. Grp )
9		difss 3737	. . . . . 6 |- ( B \ { .0. } ) C_ B
10		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- (mulGrp ` R ) = (mulGrp ` R )
11	10, 5	mgpbas 18495	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` (mulGrp ` R ) )
12	7, 11	ressbas2 15931	. . . . . 6 |- ( ( B \ { .0. } ) C_ B -> ( B \ { .0. } ) = ( Base ` ( (mulGrp ` R ) ↾s ( B \ { .0. } ) ) ) )
13	9, 12	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( B \ { .0. } ) = ( Base ` ( (mulGrp ` R ) ↾s ( B \ { .0. } ) ) )
14		fvex 6201	. . . . . . 7 |- ( Base ` R ) e. _V
15	5, 14	eqeltri 2697	. . . . . 6 |- B e. _V
16		difexg 4808	. . . . . 6 |- ( B e. _V -> ( B \ { .0. } ) e. _V )
17		drngid2.t	. . . . . . . 8 |- .x. = ( .r ` R )
18	10, 17	mgpplusg 18493	. . . . . . 7 |- .x. = ( +g ` (mulGrp ` R ) )
19	7, 18	ressplusg 15993	. . . . . 6 |- ( ( B \ { .0. } ) e. _V -> .x. = ( +g ` ( (mulGrp ` R ) ↾s ( B \ { .0. } ) ) ) )
20	15, 16, 19	mp2b 10	. . . . 5 |- .x. = ( +g ` ( (mulGrp ` R ) ↾s ( B \ { .0. } ) ) )
21		eqid 2622	. . . . 5 |- ( 0g ` ( (mulGrp ` R ) ↾s ( B \ { .0. } ) ) ) = ( 0g ` ( (mulGrp ` R ) ↾s ( B \ { .0. } ) ) )
22	13, 20, 21	isgrpid2 17458	. . . 4 |- ( ( (mulGrp ` R ) ↾s ( B \ { .0. } ) ) e. Grp -> ( ( I e. ( B \ { .0. } ) /\ ( I .x. I ) = I ) <-> ( 0g ` ( (mulGrp ` R ) ↾s ( B \ { .0. } ) ) ) = I ) )
23	8, 22	syl 17	. . 3 |- ( R e. DivRing -> ( ( I e. ( B \ { .0. } ) /\ ( I .x. I ) = I ) <-> ( 0g ` ( (mulGrp ` R ) ↾s ( B \ { .0. } ) ) ) = I ) )
24	4, 23	syl5bb 272	. 2 |- ( R e. DivRing -> ( ( I e. B /\ I =/= .0. /\ ( I .x. I ) = I ) <-> ( 0g ` ( (mulGrp ` R ) ↾s ( B \ { .0. } ) ) ) = I ) )
25		drngid2.u	. . . 4 |- .1. = ( 1r ` R )
26	5, 6, 25, 7	drngid 18761	. . 3 |- ( R e. DivRing -> .1. = ( 0g ` ( (mulGrp ` R ) ↾s ( B \ { .0. } ) ) ) )
27	26	eqeq1d 2624	. 2 |- ( R e. DivRing -> ( .1. = I <-> ( 0g ` ( (mulGrp ` R ) ↾s ( B \ { .0. } ) ) ) = I ) )
28	24, 27	bitr4d 271	1 |- ( R e. DivRing -> ( ( I e. B /\ I =/= .0. /\ ( I .x. I ) = I ) <-> .1. = I ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   {csn 4177   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   ↾_s cress 15858   +g cplusg 15941   .rcmulr 15942   0gc0g 16100   Grpcgrp 17422  mulGrpcmgp 18489   1rcur 18501   DivRingcdr 18747

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-drng 18749

This theorem is referenced by:  erng1r  36283  dvalveclem  36314