Theorem ressbas2 15931

Description: Base set of a structure restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressbas.r	|- R = ( W ↾s A )
ressbas.b	|- B = ( Base ` W )

Assertion

Ref	Expression
ressbas2	|- ( A C_ B -> A = ( Base ` R ) )

Proof of Theorem ressbas2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ss 3588	. . 3 |- ( A C_ B <-> ( A i^i B ) = A )
2	1	biimpi 206	. 2 |- ( A C_ B -> ( A i^i B ) = A )
3		ressbas.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` W )
4		fvex 6201	. . . . 5 |- ( Base ` W ) e. _V
5	3, 4	eqeltri 2697	. . . 4 |- B e. _V
6	5	ssex 4802	. . 3 |- ( A C_ B -> A e. _V )
7		ressbas.r	. . . 4 |- R = ( W ↾s A )
8	7, 3	ressbas 15930	. . 3 |- ( A e. _V -> ( A i^i B ) = ( Base ` R ) )
9	6, 8	syl 17	. 2 |- ( A C_ B -> ( A i^i B ) = ( Base ` R ) )
10	2, 9	eqtr3d 2658	1 |- ( A C_ B -> A = ( Base ` R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   ↾_s cress 15858

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-nn 11021  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865

This theorem is referenced by:  rescbas  16489  fullresc  16511  resssetc  16742  yoniso  16925  issstrmgm  17252  gsumress  17276  issubmnd  17318  ress0g  17319  submnd0  17320  submbas  17355  resmhm  17359  resgrpplusfrn  17436  subgbas  17598  issubg2  17609  resghm  17676  submod  17984  ringidss  18577  unitgrpbas  18666  isdrng2  18757  drngmcl  18760  drngid2  18763  isdrngd  18772  islss3  18959  lsslss  18961  lsslsp  19015  reslmhm  19052  issubassa  19324  resspsrbas  19415  mplbas  19429  ressmplbas  19456  evlssca  19522  mpfconst  19530  mpfind  19536  ply1bas  19565  ressply1bas  19599  evls1sca  19688  xrs1mnd  19784  xrs10  19785  xrs1cmn  19786  xrge0subm  19787  xrge0cmn  19788  cnmsubglem  19809  nn0srg  19816  rge0srg  19817  zringbas  19824  expghm  19844  cnmsgnbas  19924  psgnghm  19926  rebase  19952  dsmmbase  20079  dsmmval2  20080  lsslindf  20169  lsslinds  20170  islinds3  20173  m2cpmrngiso  20563  ressusp  22069  imasdsf1olem  22178  xrge0gsumle  22636  xrge0tsms  22637  cmsss  23147  minveclem3a  23198  efabl  24296  efsubm  24297  qrngbas  25308  ressplusf  29650  ressnm  29651  ressprs  29655  ressmulgnn  29683  ressmulgnn0  29684  xrge0tsmsd  29785  ress1r  29789  xrge0slmod  29844  prsssdm  29963  ordtrestNEW  29967  ordtrest2NEW  29969  xrge0iifmhm  29985  esumpfinvallem  30136  sitgaddlemb  30410  prdsbnd2  33594  cnpwstotbnd  33596  repwsmet  33633  rrnequiv  33634  lcdvbase  36882  islssfg  37640  lnmlsslnm  37651  pwssplit4  37659  cntzsdrg  37772  deg1mhm  37785  gsumge0cl  40588  sge0tsms  40597  cnfldsrngbas  41769  issubmgm2  41790  submgmbas  41796  resmgmhm  41798  amgmlemALT  42549