Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  el1fzopredsuc Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem el1fzopredsuc 41335
Description: An element of an open integer interval starting at 1 joined by 0 and a successor at the beginning and the end is either 0 or an element of the open integer interval or the successor. (Contributed by AV, 14-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
el1fzopredsuc |- ( N e. NN0 -> ( I e. ( 0 ... N ) <-> ( I = 0 \/ I e. ( 1..^ N ) \/ I = N ) ) )
Proof of Theorem el1fzopredsuc
StepHypRef Expression
1 elfzelz 12342 . . 3 |- ( I e. ( 0 ... N ) -> I e. ZZ )
2 1fzopredsuc 41334 . . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( 0 ... N ) = ( ( { 0 } u. ( 1..^ N ) ) u. { N } ) )
32eleq2d 2687 . . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( I e. ( 0 ... N ) <-> I e. ( ( { 0 } u. ( 1..^ N ) ) u. { N } ) ) )
4 elun 3753 . . . . . . . . 9 |- ( I e. ( ( { 0 } u. ( 1..^ N ) ) u. { N } ) <-> ( I e. ( { 0 } u. ( 1..^ N ) ) \/ I e. { N } ) )
5 elun 3753 . . . . . . . . . 10 |- ( I e. ( { 0 } u. ( 1..^ N ) ) <-> ( I e. { 0 } \/ I e. ( 1..^ N ) ) )
65orbi1i 542 . . . . . . . . 9 |- ( ( I e. ( { 0 } u. ( 1..^ N ) ) \/ I e. { N } ) <-> ( ( I e. { 0 } \/ I e. ( 1..^ N ) ) \/ I e. { N } ) )
74, 6bitri 264 . . . . . . . 8 |- ( I e. ( ( { 0 } u. ( 1..^ N ) ) u. { N } ) <-> ( ( I e. { 0 } \/ I e. ( 1..^ N ) ) \/ I e. { N } ) )
8 elsng 4191 . . . . . . . . . . 11 |- ( I e. ZZ -> ( I e. { 0 } <-> I = 0 ) )
98adantl 482 . . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ I e. ZZ ) -> ( I e. { 0 } <-> I = 0 ) )
109orbi1d 739 . . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ I e. ZZ ) -> ( ( I e. { 0 } \/ I e. ( 1..^ N ) ) <-> ( I = 0 \/ I e. ( 1..^ N ) ) ) )
11 elsng 4191 . . . . . . . . . 10 |- ( I e. ZZ -> ( I e. { N } <-> I = N ) )
1211adantl 482 . . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN0 /\ I e. ZZ ) -> ( I e. { N } <-> I = N ) )
1310, 12orbi12d 746 . . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ I e. ZZ ) -> ( ( ( I e. { 0 } \/ I e. ( 1..^ N ) ) \/ I e. { N } ) <-> ( ( I = 0 \/ I e. ( 1..^ N ) ) \/ I = N ) ) )
147, 13syl5bb 272 . . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ I e. ZZ ) -> ( I e. ( ( { 0 } u. ( 1..^ N ) ) u. { N } ) <-> ( ( I = 0 \/ I e. ( 1..^ N ) ) \/ I = N ) ) )
15 df-3or 1038 . . . . . . . 8 |- ( ( I = 0 \/ I e. ( 1..^ N ) \/ I = N ) <-> ( ( I = 0 \/ I e. ( 1..^ N ) ) \/ I = N ) )
1615biimpri 218 . . . . . . 7 |- ( ( ( I = 0 \/ I e. ( 1..^ N ) ) \/ I = N ) -> ( I = 0 \/ I e. ( 1..^ N ) \/ I = N ) )
1714, 16syl6bi 243 . . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ I e. ZZ ) -> ( I e. ( ( { 0 } u. ( 1..^ N ) ) u. { N } ) -> ( I = 0 \/ I e. ( 1..^ N ) \/ I = N ) ) )
1817ex 450 . . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( I e. ZZ -> ( I e. ( ( { 0 } u. ( 1..^ N ) ) u. { N } ) -> ( I = 0 \/ I e. ( 1..^ N ) \/ I = N ) ) ) )
1918com23 86 . . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( I e. ( ( { 0 } u. ( 1..^ N ) ) u. { N } ) -> ( I e. ZZ -> ( I = 0 \/ I e. ( 1..^ N ) \/ I = N ) ) ) )
203, 19sylbid 230 . . 3 |- ( N e. NN0 -> ( I e. ( 0 ... N ) -> ( I e. ZZ -> ( I = 0 \/ I e. ( 1..^ N ) \/ I = N ) ) ) )
211, 20mpdi 45 . 2 |- ( N e. NN0 -> ( I e. ( 0 ... N ) -> ( I = 0 \/ I e. ( 1..^ N ) \/ I = N ) ) )
22 c0ex 10034 . . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. _V
2322snid 4208 . . . . . . . . . . 11 |- 0 e. { 0 }
2423a1i 11 . . . . . . . . . 10 |- ( I = 0 -> 0 e. { 0 } )
25 eleq1 2689 . . . . . . . . . 10 |- ( I = 0 -> ( I e. { 0 } <-> 0 e. { 0 } ) )
2624, 25mpbird 247 . . . . . . . . 9 |- ( I = 0 -> I e. { 0 } )
2726a1i 11 . . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> ( I = 0 -> I e. { 0 } ) )
28 idd 24 . . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> ( I e. ( 1..^ N ) -> I e. ( 1..^ N ) ) )
29 snidg 4206 . . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> N e. { N } )
30 eleq1 2689 . . . . . . . . 9 |- ( I = N -> ( I e. { N } <-> N e. { N } ) )
3129, 30syl5ibrcom 237 . . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> ( I = N -> I e. { N } ) )
3227, 28, 313orim123d 1407 . . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( ( I = 0 \/ I e. ( 1..^ N ) \/ I = N ) -> ( I e. { 0 } \/ I e. ( 1..^ N ) \/ I e. { N } ) ) )
3332imp 445 . . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ ( I = 0 \/ I e. ( 1..^ N ) \/ I = N ) ) -> ( I e. { 0 } \/ I e. ( 1..^ N ) \/ I e. { N } ) )
34 df-3or 1038 . . . . . 6 |- ( ( I e. { 0 } \/ I e. ( 1..^ N ) \/ I e. { N } ) <-> ( ( I e. { 0 } \/ I e. ( 1..^ N ) ) \/ I e. { N } ) )
3533, 34sylib 208 . . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ ( I = 0 \/ I e. ( 1..^ N ) \/ I = N ) ) -> ( ( I e. { 0 } \/ I e. ( 1..^ N ) ) \/ I e. { N } ) )
3635, 7sylibr 224 . . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ ( I = 0 \/ I e. ( 1..^ N ) \/ I = N ) ) -> I e. ( ( { 0 } u. ( 1..^ N ) ) u. { N } ) )
373adantr 481 . . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ ( I = 0 \/ I e. ( 1..^ N ) \/ I = N ) ) -> ( I e. ( 0 ... N ) <-> I e. ( ( { 0 } u. ( 1..^ N ) ) u. { N } ) ) )
3836, 37mpbird 247 . . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ ( I = 0 \/ I e. ( 1..^ N ) \/ I = N ) ) -> I e. ( 0 ... N ) )
3938ex 450 . 2 |- ( N e. NN0 -> ( ( I = 0 \/ I e. ( 1..^ N ) \/ I = N ) -> I e. ( 0 ... N ) ) )
4021, 39impbid 202 1 |- ( N e. NN0 -> ( I e. ( 0 ... N ) <-> ( I = 0 \/ I e. ( 1..^ N ) \/ I = N ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   \/ w3o 1036   = wceq 1483   e. wcel 1990   u. cun 3572   {csn 4177  (class class class)co 6650   0cc0 9936   1c1 9937   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466
This theorem is referenced by:  fmtnofz04prm  41489
  Copyright terms: Public domain W3C validator