Theorem elfzmlbp 12450

Description: Subtracting the lower bound of a finite set of sequential integers from an element of this set. (Contributed by Alexander van der Vekens, 29-Mar-2018.)

Assertion

Ref	Expression
elfzmlbp	|- ( ( N e. ZZ /\ K e. ( M ... ( M + N ) ) ) -> ( K - M ) e. ( 0 ... N ) )

Proof of Theorem elfzmlbp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2 12333	. . . 4 |- ( K e. ( M ... ( M + N ) ) <-> ( ( M e. ZZ /\ ( M + N ) e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ ( M + N ) ) ) )
2		znn0sub 11424	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( M <_ K <-> ( K - M ) e. NN0 ) )
3	2	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) -> ( M <_ K <-> ( K - M ) e. NN0 ) )
4	3	biimpcd 239	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M <_ K -> ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) -> ( K - M ) e. NN0 ) )
5	4	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M <_ K /\ K <_ ( M + N ) ) -> ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) -> ( K - M ) e. NN0 ) )
6	5	impcom 446	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ ( M + N ) ) ) -> ( K - M ) e. NN0 )
7		zre 11381	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( M e. ZZ -> M e. RR )
8	7	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> M e. RR )
9	8	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) -> M e. RR )
10		zre 11381	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( K e. ZZ -> K e. RR )
11	10	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> K e. RR )
12	11	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) -> K e. RR )
13		zaddcl 11417	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M + N ) e. ZZ )
14	13	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) -> ( M + N ) e. ZZ )
15	14	zred 11482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) -> ( M + N ) e. RR )
16		letr 10131	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. RR /\ K e. RR /\ ( M + N ) e. RR ) -> ( ( M <_ K /\ K <_ ( M + N ) ) -> M <_ ( M + N ) ) )
17	9, 12, 15, 16	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( M <_ K /\ K <_ ( M + N ) ) -> M <_ ( M + N ) ) )
18		zre 11381	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
19		addge01 10538	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR ) -> ( 0 <_ N <-> M <_ ( M + N ) ) )
20	8, 18, 19	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) -> ( 0 <_ N <-> M <_ ( M + N ) ) )
21		elnn0z 11390	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. NN0 <-> ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) )
22	21	simplbi2 655	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ZZ -> ( 0 <_ N -> N e. NN0 ) )
23	22	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) -> ( 0 <_ N -> N e. NN0 ) )
24	20, 23	sylbird 250	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) -> ( M <_ ( M + N ) -> N e. NN0 ) )
25	17, 24	syld 47	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( M <_ K /\ K <_ ( M + N ) ) -> N e. NN0 ) )
26	25	imp 445	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ ( M + N ) ) ) -> N e. NN0 )
27		df-3an 1039	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N e. ZZ ) <-> ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) )
28		3ancoma 1045	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ /\ N e. ZZ ) <-> ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) )
29	27, 28	bitr3i 266	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) <-> ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) )
30	10, 7, 18	3anim123i 1247	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K e. RR /\ M e. RR /\ N e. RR ) )
31	29, 30	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) -> ( K e. RR /\ M e. RR /\ N e. RR ) )
32		lesubadd2 10501	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. RR /\ M e. RR /\ N e. RR ) -> ( ( K - M ) <_ N <-> K <_ ( M + N ) ) )
33	31, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( K - M ) <_ N <-> K <_ ( M + N ) ) )
34	33	biimprcd 240	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K <_ ( M + N ) -> ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) -> ( K - M ) <_ N ) )
35	34	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M <_ K /\ K <_ ( M + N ) ) -> ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) -> ( K - M ) <_ N ) )
36	35	impcom 446	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ ( M + N ) ) ) -> ( K - M ) <_ N )
37	6, 26, 36	3jca 1242	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ N e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ ( M + N ) ) ) -> ( ( K - M ) e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( K - M ) <_ N ) )
38	37	exp31 630	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( N e. ZZ -> ( ( M <_ K /\ K <_ ( M + N ) ) -> ( ( K - M ) e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( K - M ) <_ N ) ) ) )
39	38	com23 86	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( M <_ K /\ K <_ ( M + N ) ) -> ( N e. ZZ -> ( ( K - M ) e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( K - M ) <_ N ) ) ) )
40	39	3adant2 1080	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ ( M + N ) e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( M <_ K /\ K <_ ( M + N ) ) -> ( N e. ZZ -> ( ( K - M ) e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( K - M ) <_ N ) ) ) )
41	40	imp 445	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ZZ /\ ( M + N ) e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ ( M + N ) ) ) -> ( N e. ZZ -> ( ( K - M ) e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( K - M ) <_ N ) ) )
42	41	com12 32	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( M e. ZZ /\ ( M + N ) e. ZZ /\ K e. ZZ ) /\ ( M <_ K /\ K <_ ( M + N ) ) ) -> ( ( K - M ) e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( K - M ) <_ N ) ) )
43	1, 42	syl5bi 232	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( K e. ( M ... ( M + N ) ) -> ( ( K - M ) e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( K - M ) <_ N ) ) )
44	43	imp 445	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. ( M ... ( M + N ) ) ) -> ( ( K - M ) e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( K - M ) <_ N ) )
45		elfz2nn0 12431	. 2 |- ( ( K - M ) e. ( 0 ... N ) <-> ( ( K - M ) e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( K - M ) <_ N ) )
46	44, 45	sylibr 224	1 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. ( M ... ( M + N ) ) ) -> ( K - M ) e. ( 0 ... N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   e. wcel 1990   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   + caddc 9939   <_ cle 10075   - cmin 10266   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ...cfz 12326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327

This theorem is referenced by:  swrdccatin2  13487  swrdccatin12  13491  pfxccatin12  41425