swrdccatin2 - Metamath Proof Explorer

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Theorem swrdccatin2 13487

Description: The subword of a concatenation of two words within the second of the concatenated words. (Contributed by Alexander van der Vekens, 28-Mar-2018.) (Revised by Alexander van der Vekens, 27-May-2018.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
swrdccatin12.l

**Assertion**
Ref	Expression
swrdccatin2	Word $/\$ Word $/\$ ++ substr substr

Proof of Theorem swrdccatin2 Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		swrdccatin12.l	. . . . . . . 8
2		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10
3	2	eleq2d 2687	. . . . . . . . 9
4		id 22	. . . . . . . . . . 11
5		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11
6	4, 5	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10
7	6	eleq2d 2687	. . . . . . . . 9
8	3, 7	anbi12d 747	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
9	1, 8	ax-mp 5	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
10		lencl 13324	. . . . . . . . 9 Word
11		elnn0uz 11725	. . . . . . . . . . . . 13
12	11	biimpi 206	. . . . . . . . . . . 12
13		fzss1 12380	. . . . . . . . . . . 12
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . . . . 11
15	14	sseld 3602	. . . . . . . . . 10
16		fzss1 12380	. . . . . . . . . . . 12
17	12, 16	syl 17	. . . . . . . . . . 11
18	17	sseld 3602	. . . . . . . . . 10
19	15, 18	anim12d 586	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
20	10, 19	syl 17	. . . . . . . 8 Word $/\$ $/\$
21	20	adantr 481	. . . . . . 7 Word $/\$ Word $/\$ $/\$
22	9, 21	syl5bi 232	. . . . . 6 Word $/\$ Word $/\$ $/\$
23	22	imp 445	. . . . 5 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$
24		swrdccatfn 13482	. . . . 5 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ ++ substr ..^
25	23, 24	syldan 487	. . . 4 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ ++ substr ..^
26		elfz2 12333	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
27		zcn 11382	. . . . . . . . . . . . 13
28		zcn 11382	. . . . . . . . . . . . 13
29		zcn 11382	. . . . . . . . . . . . 13
30	27, 28, 29	3anim123i 1247	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
31	30	3comr 1273	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
32	31	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
33	26, 32	sylbi 207	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
34	33	adantr 481	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
35		nnncan2 10318	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
36	34, 35	syl 17	. . . . . . 7 $/\$
37	36	adantl 482	. . . . . 6 Word $/\$ Word $/\$ $/\$
38	37	oveq2d 6666	. . . . 5 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ ..^ ..^
39	38	fneq2d 5982	. . . 4 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ ++ substr ..^ ++ substr ..^
40	25, 39	mpbird 247	. . 3 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ ++ substr ..^
41		simpr 477	. . . . 5 Word $/\$ Word Word
42	41	adantr 481	. . . 4 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ Word
43		elfzmlbm 12449	. . . . 5
44	43	ad2antrl 764	. . . 4 Word $/\$ Word $/\$ $/\$
45		elfzmlbp 12450	. . . . . . . 8 $/\$
46	45	ex 450	. . . . . . 7
47		lencl 13324	. . . . . . . . 9 Word
48	47	nn0zd 11480	. . . . . . . 8 Word
49	48	adantl 482	. . . . . . 7 Word $/\$ Word
50	46, 49	syl11 33	. . . . . 6 Word $/\$ Word
51	50	adantl 482	. . . . 5 $/\$ Word $/\$ Word
52	51	impcom 446	. . . 4 Word $/\$ Word $/\$ $/\$
53		swrdvalfn 13426	. . . 4 Word $/\$ $/\$ substr ..^
54	42, 44, 52, 53	syl3anc 1326	. . 3 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ substr ..^
55		simpl 473	. . . . . . . 8 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ Word $/\$ Word
56	55	adantr 481	. . . . . . 7 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ ..^ Word $/\$ Word
57		elfzoelz 12470	. . . . . . . . 9 ..^
58		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . 11
59		zaddcl 11417	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
60	59	expcom 451	. . . . . . . . . . 11
61	58, 60	syl 17	. . . . . . . . . 10
62	61	ad2antrl 764	. . . . . . . . 9 Word $/\$ Word $/\$ $/\$
63	57, 62	syl5com 31	. . . . . . . 8 ..^ Word $/\$ Word $/\$ $/\$
64	63	impcom 446	. . . . . . 7 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ ..^
65		df-3an 1039	. . . . . . 7 Word $/\$ Word $/\$ Word $/\$ Word $/\$
66	56, 64, 65	sylanbrc 698	. . . . . 6 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ ..^ Word $/\$ Word $/\$
67		ccatsymb 13366	. . . . . 6 Word $/\$ Word $/\$ ++
68	66, 67	syl 17	. . . . 5 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ ..^ ++
69		elfzonn0 12512	. . . . . . . 8 ..^
70		zre 11381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
71		zre 11381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
72	70, 71	anim12i 590	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
73		elnn0z 11390	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
74		zre 11381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
75		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
76	75	anim1i 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$
77	76	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$
78	77	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$
79		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$
80	79	anim2i 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$
81		le2add 10510	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
82	78, 80, 81	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
83		recn 10026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
84	83	addid2d 10237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
85	84	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$
86	85	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$
87	82, 86	sylibd 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$
88		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$
89	88	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$
90		readdcl 10019	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$
91	80, 90	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$
92	89, 91	lenltd 10183	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$
93	87, 92	sylibd 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$
94	93	expd 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$
95	94	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
96	95	expd 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
97	74, 96	mpan9 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
98	73, 97	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
99	72, 98	mpan9 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
100	1	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
101	100	breq2i 4661	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
102	101	notbii 310	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
103	99, 102	syl6ibr 242	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
104	103	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
105	104	com23 86	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
106	105	3adant2 1080	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
107	106	com12 32	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
108	107	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
109	108	impcom 446	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
110	26, 109	sylbi 207	. . . . . . . . 9
111	110	ad2antrl 764	. . . . . . . 8 Word $/\$ Word $/\$ $/\$
112	69, 111	syl5com 31	. . . . . . 7 ..^ Word $/\$ Word $/\$ $/\$
113	112	impcom 446	. . . . . 6 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ ..^
114	113	iffalsed 4097	. . . . 5 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ ..^
115		zcn 11382	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
116	115	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
117	28	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
118	117	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
119	29	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
120	116, 118, 119	addsubassd 10412	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
121		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . 16
122	121	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . 15
123	120, 122	syl5ib 234	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
124	1, 123	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
125	124	ex 450	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
126	125	3adant2 1080	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
127	126	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
128	26, 127	sylbi 207	. . . . . . . . 9
129	128	ad2antrl 764	. . . . . . . 8 Word $/\$ Word $/\$ $/\$
130	57, 129	syl5com 31	. . . . . . 7 ..^ Word $/\$ Word $/\$ $/\$
131	130	impcom 446	. . . . . 6 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ ..^
132	131	fveq2d 6195	. . . . 5 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ ..^
133	68, 114, 132	3eqtrd 2660	. . . 4 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ ..^ ++
134		ccatcl 13359	. . . . . 6 Word $/\$ Word ++ Word
135	134	ad2antrr 762	. . . . 5 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ ..^ ++ Word
136	1, 12	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . . 12
137		fzss1 12380	. . . . . . . . . . . 12
138	10, 136, 137	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 Word
139	138	sseld 3602	. . . . . . . . . 10 Word
140	139	adantr 481	. . . . . . . . 9 Word $/\$ Word
141	140	com12 32	. . . . . . . 8 Word $/\$ Word
142	141	adantr 481	. . . . . . 7 $/\$ Word $/\$ Word
143	142	impcom 446	. . . . . 6 Word $/\$ Word $/\$ $/\$
144	143	adantr 481	. . . . 5 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ ..^
145	1, 7	ax-mp 5	. . . . . . . . 9
146	10, 12	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 Word
147	146	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 Word $/\$ Word
148	147, 16	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 Word $/\$ Word
149	148	sseld 3602	. . . . . . . . . . . 12 Word $/\$ Word
150	149	impcom 446	. . . . . . . . . . 11 $/\$ Word $/\$ Word
151		ccatlen 13360	. . . . . . . . . . . . . 14 Word $/\$ Word ++
152	151	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 Word $/\$ Word ++
153	152	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . 12 Word $/\$ Word ++
154	153	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 $/\$ Word $/\$ Word ++
155	150, 154	mpbird 247	. . . . . . . . . 10 $/\$ Word $/\$ Word ++
156	155	ex 450	. . . . . . . . 9 Word $/\$ Word ++
157	145, 156	sylbi 207	. . . . . . . 8 Word $/\$ Word ++
158	157	adantl 482	. . . . . . 7 $/\$ Word $/\$ Word ++
159	158	impcom 446	. . . . . 6 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ ++
160	159	adantr 481	. . . . 5 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ ..^ ++
161		fzmmmeqm 12374	. . . . . . . . . 10
162	161	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 ..^ ..^
163	162	eleq2d 2687	. . . . . . . 8 ..^ ..^
164	163	biimpd 219	. . . . . . 7 ..^ ..^
165	164	ad2antrl 764	. . . . . 6 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ ..^ ..^
166	165	imp 445	. . . . 5 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ ..^ ..^
167		swrdfv 13424	. . . . 5 ++ Word $/\$ $/\$ ++ $/\$ ..^ ++ substr ++
168	135, 144, 160, 166, 167	syl31anc 1329	. . . 4 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ ..^ ++ substr ++
169	48, 46	syl 17	. . . . . . . . . 10 Word
170	169	adantl 482	. . . . . . . . 9 Word $/\$ Word
171	170	com12 32	. . . . . . . 8 Word $/\$ Word
172	171	adantl 482	. . . . . . 7 $/\$ Word $/\$ Word
173	172	impcom 446	. . . . . 6 Word $/\$ Word $/\$ $/\$
174	42, 44, 173	3jca 1242	. . . . 5 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ Word $/\$ $/\$
175		swrdfv 13424	. . . . 5 Word $/\$ $/\$ $/\$ ..^ substr
176	174, 175	sylan 488	. . . 4 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ ..^ substr
177	133, 168, 176	3eqtr4d 2666	. . 3 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ $/\$ ..^ ++ substr substr
178	40, 54, 177	eqfnfvd 6314	. 2 Word $/\$ Word $/\$ $/\$ ++ substr substr
179	178	ex 450	1 Word $/\$ Word $/\$ ++ substr substr

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

wss 3574

cif 4086

cop 4183 class class class wbr 4653

wfn 5883

cfv 5888 (class class class)co 6650

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

caddc 9939

clt 10074

cle 10075

cmin 10266

cn0 11292

cz 11377

cuz 11687

cfz 12326 ..^cfzo 12465

chash 13117 Word cword 13291 ++ cconcat 13293 substr csubstr 13295

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-oadd 7564 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-card 8765 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-nn 11021 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-hash 13118 df-word 13299 df-concat 13301 df-substr 13303

This theorem is referenced by: swrdccat3 13492 swrdccatin2d 13500 pfxccat3 41426

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