Theorem episect 16445

Description: If F is an epimorphism and F is a section of G, then G is an inverse of F and they are both isomorphisms. This is also stated as "an epimorphism which is also a split monomorphism is an isomorphism". (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
sectepi.b	|- B = ( Base ` C )
sectepi.e	|- E = (Epi ` C )
sectepi.s	|- S = (Sect ` C )
sectepi.c	|- ( ph -> C e. Cat )
sectepi.x	|- ( ph -> X e. B )
sectepi.y	|- ( ph -> Y e. B )
episect.n	|- N = (Inv ` C )
episect.1	|- ( ph -> F e. ( X E Y ) )
episect.2	|- ( ph -> F ( X S Y ) G )

Assertion

Ref	Expression
episect	|- ( ph -> F ( X N Y ) G )

Proof of Theorem episect

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . . 4 |- (oppCat ` C ) = (oppCat ` C )
2		sectepi.b	. . . 4 |- B = ( Base ` C )
3	1, 2	oppcbas 16378	. . 3 |- B = ( Base ` (oppCat ` C ) )
4		eqid 2622	. . 3 |- (Mono ` (oppCat ` C ) ) = (Mono ` (oppCat ` C ) )
5		eqid 2622	. . 3 |- (Sect ` (oppCat ` C ) ) = (Sect ` (oppCat ` C ) )
6		sectepi.c	. . . 4 |- ( ph -> C e. Cat )
7	1	oppccat 16382	. . . 4 |- ( C e. Cat -> (oppCat ` C ) e. Cat )
8	6, 7	syl 17	. . 3 |- ( ph -> (oppCat ` C ) e. Cat )
9		sectepi.y	. . 3 |- ( ph -> Y e. B )
10		sectepi.x	. . 3 |- ( ph -> X e. B )
11		eqid 2622	. . 3 |- (Inv ` (oppCat ` C ) ) = (Inv ` (oppCat ` C ) )
12		episect.1	. . . 4 |- ( ph -> F e. ( X E Y ) )
13		sectepi.e	. . . . 5 |- E = (Epi ` C )
14	1, 6, 4, 13	oppcmon 16398	. . . 4 |- ( ph -> ( Y (Mono ` (oppCat ` C ) ) X ) = ( X E Y ) )
15	12, 14	eleqtrrd 2704	. . 3 |- ( ph -> F e. ( Y (Mono ` (oppCat ` C ) ) X ) )
16		episect.2	. . . 4 |- ( ph -> F ( X S Y ) G )
17		sectepi.s	. . . . 5 |- S = (Sect ` C )
18	2, 1, 6, 10, 9, 17, 5	oppcsect 16438	. . . 4 |- ( ph -> ( G ( X (Sect ` (oppCat ` C ) ) Y ) F <-> F ( X S Y ) G ) )
19	16, 18	mpbird 247	. . 3 |- ( ph -> G ( X (Sect ` (oppCat ` C ) ) Y ) F )
20	3, 4, 5, 8, 9, 10, 11, 15, 19	monsect 16443	. 2 |- ( ph -> F ( Y (Inv ` (oppCat ` C ) ) X ) G )
21		episect.n	. . . 4 |- N = (Inv ` C )
22	2, 1, 6, 9, 10, 21, 11	oppcinv 16440	. . 3 |- ( ph -> ( Y (Inv ` (oppCat ` C ) ) X ) = ( X N Y ) )
23	22	breqd 4664	. 2 |- ( ph -> ( F ( Y (Inv ` (oppCat ` C ) ) X ) G <-> F ( X N Y ) G ) )
24	20, 23	mpbid 222	1 |- ( ph -> F ( X N Y ) G )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   Catccat 16325  oppCatcoppc 16371  Monocmon 16388  Epicepi 16389  Sectcsect 16404  Invcinv 16405

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-hom 15966  df-cco 15967  df-cat 16329  df-cid 16330  df-oppc 16372  df-mon 16390  df-epi 16391  df-sect 16407  df-inv 16408

This theorem is referenced by: (None)