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Theorem ewlkle 26501
Description: An s-walk of edges is also a t-walk of edges if t <_ s. (Contributed by AV, 4-Jan-2021.)
Assertion
Ref Expression
ewlkle |- ( ( F e. ( G EdgWalks S ) /\ T e. NN0* /\ T <_ S ) -> F e. ( G EdgWalks T ) )
Proof of Theorem ewlkle
Dummy variable k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2622 . . . 4 |- (iEdg ` G ) = (iEdg ` G )
21ewlkprop 26499 . . 3 |- ( F e. ( G EdgWalks S ) -> ( ( G e. _V /\ S e. NN0* ) /\ F e. Word dom (iEdg ` G ) /\ A. k e. ( 1..^ ( # ` F ) ) S <_ ( # ` ( ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) ) ) )
3 simpl2 1065 . . . . 5 |- ( ( ( ( G e. _V /\ S e. NN0* ) /\ F e. Word dom (iEdg ` G ) /\ A. k e. ( 1..^ ( # ` F ) ) S <_ ( # ` ( ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) ) ) /\ ( T e. NN0* /\ T <_ S ) ) -> F e. Word dom (iEdg ` G ) )
4 xnn0xr 11368 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( T e. NN0* -> T e. RR* )
54adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( S e. NN0* /\ T e. NN0* ) -> T e. RR* )
6 xnn0xr 11368 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( S e. NN0* -> S e. RR* )
76adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( S e. NN0* /\ T e. NN0* ) -> S e. RR* )
8 fvex 6201 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) e. _V
98inex1 4799 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) e. _V
10 hashxrcl 13148 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) e. _V -> ( # ` ( ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) ) e. RR* )
119, 10mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( S e. NN0* /\ T e. NN0* ) -> ( # ` ( ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) ) e. RR* )
12 xrletr 11989 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( T e. RR* /\ S e. RR* /\ ( # ` ( ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) ) e. RR* ) -> ( ( T <_ S /\ S <_ ( # ` ( ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) ) ) -> T <_ ( # ` ( ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) ) ) )
135, 7, 11, 12syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S e. NN0* /\ T e. NN0* ) -> ( ( T <_ S /\ S <_ ( # ` ( ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) ) ) -> T <_ ( # ` ( ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) ) ) )
1413exp4b 632 . . . . . . . . . . . 12 |- ( S e. NN0* -> ( T e. NN0* -> ( T <_ S -> ( S <_ ( # ` ( ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) ) -> T <_ ( # ` ( ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) ) ) ) ) )
1514adantl 482 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. _V /\ S e. NN0* ) -> ( T e. NN0* -> ( T <_ S -> ( S <_ ( # ` ( ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) ) -> T <_ ( # ` ( ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) ) ) ) ) )
1615imp32 449 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. _V /\ S e. NN0* ) /\ ( T e. NN0* /\ T <_ S ) ) -> ( S <_ ( # ` ( ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) ) -> T <_ ( # ` ( ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) ) ) )
1716ralimdv 2963 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. _V /\ S e. NN0* ) /\ ( T e. NN0* /\ T <_ S ) ) -> ( A. k e. ( 1..^ ( # ` F ) ) S <_ ( # ` ( ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) ) -> A. k e. ( 1..^ ( # ` F ) ) T <_ ( # ` ( ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) ) ) )
1817ex 450 . . . . . . . 8 |- ( ( G e. _V /\ S e. NN0* ) -> ( ( T e. NN0* /\ T <_ S ) -> ( A. k e. ( 1..^ ( # ` F ) ) S <_ ( # ` ( ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) ) -> A. k e. ( 1..^ ( # ` F ) ) T <_ ( # ` ( ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) ) ) ) )
1918com23 86 . . . . . . 7 |- ( ( G e. _V /\ S e. NN0* ) -> ( A. k e. ( 1..^ ( # ` F ) ) S <_ ( # ` ( ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) ) -> ( ( T e. NN0* /\ T <_ S ) -> A. k e. ( 1..^ ( # ` F ) ) T <_ ( # ` ( ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) ) ) ) )
2019a1d 25 . . . . . 6 |- ( ( G e. _V /\ S e. NN0* ) -> ( F e. Word dom (iEdg ` G ) -> ( A. k e. ( 1..^ ( # ` F ) ) S <_ ( # ` ( ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) ) -> ( ( T e. NN0* /\ T <_ S ) -> A. k e. ( 1..^ ( # ` F ) ) T <_ ( # ` ( ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) ) ) ) ) )
21203imp1 1280 . . . . 5 |- ( ( ( ( G e. _V /\ S e. NN0* ) /\ F e. Word dom (iEdg ` G ) /\ A. k e. ( 1..^ ( # ` F ) ) S <_ ( # ` ( ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) ) ) /\ ( T e. NN0* /\ T <_ S ) ) -> A. k e. ( 1..^ ( # ` F ) ) T <_ ( # ` ( ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) ) )
22 simpl1l 1112 . . . . . 6 |- ( ( ( ( G e. _V /\ S e. NN0* ) /\ F e. Word dom (iEdg ` G ) /\ A. k e. ( 1..^ ( # ` F ) ) S <_ ( # ` ( ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) ) ) /\ ( T e. NN0* /\ T <_ S ) ) -> G e. _V )
23 simprl 794 . . . . . 6 |- ( ( ( ( G e. _V /\ S e. NN0* ) /\ F e. Word dom (iEdg ` G ) /\ A. k e. ( 1..^ ( # ` F ) ) S <_ ( # ` ( ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) ) ) /\ ( T e. NN0* /\ T <_ S ) ) -> T e. NN0* )
241isewlk 26498 . . . . . 6 |- ( ( G e. _V /\ T e. NN0* /\ F e. Word dom (iEdg ` G ) ) -> ( F e. ( G EdgWalks T ) <-> ( F e. Word dom (iEdg ` G ) /\ A. k e. ( 1..^ ( # ` F ) ) T <_ ( # ` ( ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) ) ) ) )
2522, 23, 3, 24syl3anc 1326 . . . . 5 |- ( ( ( ( G e. _V /\ S e. NN0* ) /\ F e. Word dom (iEdg ` G ) /\ A. k e. ( 1..^ ( # ` F ) ) S <_ ( # ` ( ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) ) ) /\ ( T e. NN0* /\ T <_ S ) ) -> ( F e. ( G EdgWalks T ) <-> ( F e. Word dom (iEdg ` G ) /\ A. k e. ( 1..^ ( # ` F ) ) T <_ ( # ` ( ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) ) ) ) )
263, 21, 25mpbir2and 957 . . . 4 |- ( ( ( ( G e. _V /\ S e. NN0* ) /\ F e. Word dom (iEdg ` G ) /\ A. k e. ( 1..^ ( # ` F ) ) S <_ ( # ` ( ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) ) ) /\ ( T e. NN0* /\ T <_ S ) ) -> F e. ( G EdgWalks T ) )
2726ex 450 . . 3 |- ( ( ( G e. _V /\ S e. NN0* ) /\ F e. Word dom (iEdg ` G ) /\ A. k e. ( 1..^ ( # ` F ) ) S <_ ( # ` ( ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) ) ) -> ( ( T e. NN0* /\ T <_ S ) -> F e. ( G EdgWalks T ) ) )
282, 27syl 17 . 2 |- ( F e. ( G EdgWalks S ) -> ( ( T e. NN0* /\ T <_ S ) -> F e. ( G EdgWalks T ) ) )
29283impib 1262 1 |- ( ( F e. ( G EdgWalks S ) /\ T e. NN0* /\ T <_ S ) -> F e. ( G EdgWalks T ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1c1 9937   RR*cxr 10073   <_ cle 10075   - cmin 10266  NN0*cxnn0 11363  ..^cfzo 12465   #chash 13117  Word cword 13291  iEdgciedg 25875   EdgWalks cewlks 26491
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-ewlks 26494
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