Theorem upgrewlkle2 26502

Description: In a pseudograph, there is no s-walk of edges of length greater than 1 with s>2. (Contributed by AV, 4-Jan-2021.)

Assertion

Ref	Expression
upgrewlkle2	|- ( ( G e. UPGraph /\ F e. ( G EdgWalks S ) /\ 1 < ( # ` F ) ) -> S <_ 2 )

Proof of Theorem upgrewlkle2

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . . 4 |- (iEdg ` G ) = (iEdg ` G )
2	1	ewlkprop 26499	. . 3 |- ( F e. ( G EdgWalks S ) -> ( ( G e. _V /\ S e. NN0* ) /\ F e. Word dom (iEdg ` G ) /\ A. k e. ( 1..^ ( # ` F ) ) S <_ ( # ` ( ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) ) ) )
3		fvex 6201	. . . . . . . . . . 11 |- ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) e. _V
4		hashin 13199	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) e. _V -> ( # ` ( ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) ) <_ ( # ` ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) ) )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( # ` ( ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) ) <_ ( # ` ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) )
6		simpl3 1066	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( G e. _V /\ S e. NN0* ) /\ F e. Word dom (iEdg ` G ) /\ G e. UPGraph ) /\ k e. ( 1..^ ( # ` F ) ) ) -> G e. UPGraph )
7		upgruhgr 25997	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( G e. UPGraph -> G e. UHGraph )
8	1	uhgrfun 25961	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( G e. UHGraph -> Fun (iEdg ` G ) )
9	7, 8	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( G e. UPGraph -> Fun (iEdg ` G ) )
10		funfn 5918	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Fun (iEdg ` G ) <-> (iEdg ` G ) Fn dom (iEdg ` G ) )
11	9, 10	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( G e. UPGraph -> (iEdg ` G ) Fn dom (iEdg ` G ) )
12	11	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( G e. _V /\ S e. NN0* ) /\ F e. Word dom (iEdg ` G ) /\ G e. UPGraph ) -> (iEdg ` G ) Fn dom (iEdg ` G ) )
13	12	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( G e. _V /\ S e. NN0* ) /\ F e. Word dom (iEdg ` G ) /\ G e. UPGraph ) /\ k e. ( 1..^ ( # ` F ) ) ) -> (iEdg ` G ) Fn dom (iEdg ` G ) )
14		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F e. Word dom (iEdg ` G ) /\ k e. ( 1..^ ( # ` F ) ) ) -> F e. Word dom (iEdg ` G ) )
15		elfzofz 12485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. ( 1..^ ( # ` F ) ) -> k e. ( 1 ... ( # ` F ) ) )
16		fz1fzo0m1 12515	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. ( 1 ... ( # ` F ) ) -> ( k - 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) )
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. ( 1..^ ( # ` F ) ) -> ( k - 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) )
18	17	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F e. Word dom (iEdg ` G ) /\ k e. ( 1..^ ( # ` F ) ) ) -> ( k - 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) )
19	14, 18	jca 554	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F e. Word dom (iEdg ` G ) /\ k e. ( 1..^ ( # ` F ) ) ) -> ( F e. Word dom (iEdg ` G ) /\ ( k - 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) )
20		wrdsymbcl 13318	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F e. Word dom (iEdg ` G ) /\ ( k - 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( F ` ( k - 1 ) ) e. dom (iEdg ` G ) )
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F e. Word dom (iEdg ` G ) /\ k e. ( 1..^ ( # ` F ) ) ) -> ( F ` ( k - 1 ) ) e. dom (iEdg ` G ) )
22	21	3ad2antl2 1224	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( G e. _V /\ S e. NN0* ) /\ F e. Word dom (iEdg ` G ) /\ G e. UPGraph ) /\ k e. ( 1..^ ( # ` F ) ) ) -> ( F ` ( k - 1 ) ) e. dom (iEdg ` G ) )
23		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- (Vtx ` G ) = (Vtx ` G )
24	23, 1	upgrle 25985	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. UPGraph /\ (iEdg ` G ) Fn dom (iEdg ` G ) /\ ( F ` ( k - 1 ) ) e. dom (iEdg ` G ) ) -> ( # ` ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) ) <_ 2 )
25	6, 13, 22, 24	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( G e. _V /\ S e. NN0* ) /\ F e. Word dom (iEdg ` G ) /\ G e. UPGraph ) /\ k e. ( 1..^ ( # ` F ) ) ) -> ( # ` ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) ) <_ 2 )
26	3	inex1 4799	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) e. _V
27		hashxrcl 13148	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) e. _V -> ( # ` ( ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) ) e. RR* )
28	26, 27	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( # ` ( ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) ) e. RR*
29		hashxrcl 13148	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) e. _V -> ( # ` ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) ) e. RR* )
30	3, 29	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( # ` ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) ) e. RR*
31		2re 11090	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 e. RR
32	31	rexri 10097	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. RR*
33	28, 30, 32	3pm3.2i 1239	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( # ` ( ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) ) e. RR* /\ ( # ` ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) ) e. RR* /\ 2 e. RR* )
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( G e. _V /\ S e. NN0* ) /\ F e. Word dom (iEdg ` G ) /\ G e. UPGraph ) /\ k e. ( 1..^ ( # ` F ) ) ) -> ( ( # ` ( ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) ) e. RR* /\ ( # ` ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) ) e. RR* /\ 2 e. RR* ) )
35		xrletr 11989	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( # ` ( ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) ) e. RR* /\ ( # ` ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) ) e. RR* /\ 2 e. RR* ) -> ( ( ( # ` ( ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) ) <_ ( # ` ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) ) /\ ( # ` ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) ) <_ 2 ) -> ( # ` ( ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) ) <_ 2 ) )
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( G e. _V /\ S e. NN0* ) /\ F e. Word dom (iEdg ` G ) /\ G e. UPGraph ) /\ k e. ( 1..^ ( # ` F ) ) ) -> ( ( ( # ` ( ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) ) <_ ( # ` ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) ) /\ ( # ` ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) ) <_ 2 ) -> ( # ` ( ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) ) <_ 2 ) )
37	25, 36	mpan2d 710	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( G e. _V /\ S e. NN0* ) /\ F e. Word dom (iEdg ` G ) /\ G e. UPGraph ) /\ k e. ( 1..^ ( # ` F ) ) ) -> ( ( # ` ( ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) ) <_ ( # ` ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) ) -> ( # ` ( ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) ) <_ 2 ) )
38	5, 37	mpi 20	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. _V /\ S e. NN0* ) /\ F e. Word dom (iEdg ` G ) /\ G e. UPGraph ) /\ k e. ( 1..^ ( # ` F ) ) ) -> ( # ` ( ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) ) <_ 2 )
39		xnn0xr 11368	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( S e. NN0* -> S e. RR* )
40	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( S e. NN0* -> ( # ` ( ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) ) e. RR* )
41	32	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( S e. NN0* -> 2 e. RR* )
42		xrletr 11989	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( S e. RR* /\ ( # ` ( ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) ) e. RR* /\ 2 e. RR* ) -> ( ( S <_ ( # ` ( ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) ) /\ ( # ` ( ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) ) <_ 2 ) -> S <_ 2 ) )
43	39, 40, 41, 42	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( S e. NN0* -> ( ( S <_ ( # ` ( ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) ) /\ ( # ` ( ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) ) <_ 2 ) -> S <_ 2 ) )
44	43	expcomd 454	. . . . . . . . . . . 12 |- ( S e. NN0* -> ( ( # ` ( ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) ) <_ 2 -> ( S <_ ( # ` ( ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) ) -> S <_ 2 ) ) )
45	44	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. _V /\ S e. NN0* ) -> ( ( # ` ( ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) ) <_ 2 -> ( S <_ ( # ` ( ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) ) -> S <_ 2 ) ) )
46	45	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. _V /\ S e. NN0* ) /\ F e. Word dom (iEdg ` G ) /\ G e. UPGraph ) -> ( ( # ` ( ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) ) <_ 2 -> ( S <_ ( # ` ( ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) ) -> S <_ 2 ) ) )
47	46	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. _V /\ S e. NN0* ) /\ F e. Word dom (iEdg ` G ) /\ G e. UPGraph ) /\ k e. ( 1..^ ( # ` F ) ) ) -> ( ( # ` ( ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) ) <_ 2 -> ( S <_ ( # ` ( ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) ) -> S <_ 2 ) ) )
48	38, 47	mpd 15	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( G e. _V /\ S e. NN0* ) /\ F e. Word dom (iEdg ` G ) /\ G e. UPGraph ) /\ k e. ( 1..^ ( # ` F ) ) ) -> ( S <_ ( # ` ( ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) ) -> S <_ 2 ) )
49	48	ralimdva 2962	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. _V /\ S e. NN0* ) /\ F e. Word dom (iEdg ` G ) /\ G e. UPGraph ) -> ( A. k e. ( 1..^ ( # ` F ) ) S <_ ( # ` ( ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) ) -> A. k e. ( 1..^ ( # ` F ) ) S <_ 2 ) )
50	49	3exp 1264	. . . . . 6 |- ( ( G e. _V /\ S e. NN0* ) -> ( F e. Word dom (iEdg ` G ) -> ( G e. UPGraph -> ( A. k e. ( 1..^ ( # ` F ) ) S <_ ( # ` ( ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) ) -> A. k e. ( 1..^ ( # ` F ) ) S <_ 2 ) ) ) )
51	50	com34 91	. . . . 5 |- ( ( G e. _V /\ S e. NN0* ) -> ( F e. Word dom (iEdg ` G ) -> ( A. k e. ( 1..^ ( # ` F ) ) S <_ ( # ` ( ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) ) -> ( G e. UPGraph -> A. k e. ( 1..^ ( # ` F ) ) S <_ 2 ) ) ) )
52	51	3imp 1256	. . . 4 |- ( ( ( G e. _V /\ S e. NN0* ) /\ F e. Word dom (iEdg ` G ) /\ A. k e. ( 1..^ ( # ` F ) ) S <_ ( # ` ( ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) ) ) -> ( G e. UPGraph -> A. k e. ( 1..^ ( # ` F ) ) S <_ 2 ) )
53		lencl 13324	. . . . . 6 |- ( F e. Word dom (iEdg ` G ) -> ( # ` F ) e. NN0 )
54		1zzd 11408	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( # ` F ) e. NN0 -> 1 e. ZZ )
55		nn0z 11400	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( # ` F ) e. NN0 -> ( # ` F ) e. ZZ )
56	54, 55	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( # ` F ) e. NN0 -> ( 1 e. ZZ /\ ( # ` F ) e. ZZ ) )
57		fzon 12489	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 1 e. ZZ /\ ( # ` F ) e. ZZ ) -> ( ( # ` F ) <_ 1 <-> ( 1..^ ( # ` F ) ) = (/) ) )
58	56, 57	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( # ` F ) e. NN0 -> ( ( # ` F ) <_ 1 <-> ( 1..^ ( # ` F ) ) = (/) ) )
59	58	bicomd 213	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( # ` F ) e. NN0 -> ( ( 1..^ ( # ` F ) ) = (/) <-> ( # ` F ) <_ 1 ) )
60		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( # ` F ) e. NN0 -> ( # ` F ) e. RR )
61		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( # ` F ) e. NN0 -> 1 e. RR )
62	60, 61	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( # ` F ) e. NN0 -> ( ( # ` F ) e. RR /\ 1 e. RR ) )
63		lenlt 10116	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( # ` F ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( # ` F ) <_ 1 <-> -. 1 < ( # ` F ) ) )
64	62, 63	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( # ` F ) e. NN0 -> ( ( # ` F ) <_ 1 <-> -. 1 < ( # ` F ) ) )
65	59, 64	bitrd 268	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( # ` F ) e. NN0 -> ( ( 1..^ ( # ` F ) ) = (/) <-> -. 1 < ( # ` F ) ) )
66	65	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( # ` F ) e. NN0 -> ( ( 1..^ ( # ` F ) ) = (/) -> -. 1 < ( # ` F ) ) )
67	66	necon2ad 2809	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( # ` F ) e. NN0 -> ( 1 < ( # ` F ) -> ( 1..^ ( # ` F ) ) =/= (/) ) )
68	67	impcom 446	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 < ( # ` F ) /\ ( # ` F ) e. NN0 ) -> ( 1..^ ( # ` F ) ) =/= (/) )
69		rspn0 3934	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1..^ ( # ` F ) ) =/= (/) -> ( A. k e. ( 1..^ ( # ` F ) ) S <_ 2 -> S <_ 2 ) )
70	68, 69	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 < ( # ` F ) /\ ( # ` F ) e. NN0 ) -> ( A. k e. ( 1..^ ( # ` F ) ) S <_ 2 -> S <_ 2 ) )
71	70	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( 1 < ( # ` F ) -> ( ( # ` F ) e. NN0 -> ( A. k e. ( 1..^ ( # ` F ) ) S <_ 2 -> S <_ 2 ) ) )
72	71	com23 86	. . . . . . . 8 |- ( 1 < ( # ` F ) -> ( A. k e. ( 1..^ ( # ` F ) ) S <_ 2 -> ( ( # ` F ) e. NN0 -> S <_ 2 ) ) )
73	72	com13 88	. . . . . . 7 |- ( ( # ` F ) e. NN0 -> ( A. k e. ( 1..^ ( # ` F ) ) S <_ 2 -> ( 1 < ( # ` F ) -> S <_ 2 ) ) )
74	73	a1i 11	. . . . . 6 |- ( F e. Word dom (iEdg ` G ) -> ( ( # ` F ) e. NN0 -> ( A. k e. ( 1..^ ( # ` F ) ) S <_ 2 -> ( 1 < ( # ` F ) -> S <_ 2 ) ) ) )
75	53, 74	mpd 15	. . . . 5 |- ( F e. Word dom (iEdg ` G ) -> ( A. k e. ( 1..^ ( # ` F ) ) S <_ 2 -> ( 1 < ( # ` F ) -> S <_ 2 ) ) )
76	75	3ad2ant2 1083	. . . 4 |- ( ( ( G e. _V /\ S e. NN0* ) /\ F e. Word dom (iEdg ` G ) /\ A. k e. ( 1..^ ( # ` F ) ) S <_ ( # ` ( ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) ) ) -> ( A. k e. ( 1..^ ( # ` F ) ) S <_ 2 -> ( 1 < ( # ` F ) -> S <_ 2 ) ) )
77	52, 76	syld 47	. . 3 |- ( ( ( G e. _V /\ S e. NN0* ) /\ F e. Word dom (iEdg ` G ) /\ A. k e. ( 1..^ ( # ` F ) ) S <_ ( # ` ( ( (iEdg ` G ) ` ( F ` ( k - 1 ) ) ) i^i ( (iEdg ` G ) ` ( F ` k ) ) ) ) ) -> ( G e. UPGraph -> ( 1 < ( # ` F ) -> S <_ 2 ) ) )
78	2, 77	syl 17	. 2 |- ( F e. ( G EdgWalks S ) -> ( G e. UPGraph -> ( 1 < ( # ` F ) -> S <_ 2 ) ) )
79	78	3imp21 1277	1 |- ( ( G e. UPGraph /\ F e. ( G EdgWalks S ) /\ 1 < ( # ` F ) ) -> S <_ 2 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   2c2 11070   NN0cn0 11292  NN0*cxnn0 11363   ZZcz 11377   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465   #chash 13117  Word cword 13291  Vtxcvtx 25874  iEdgciedg 25875   UHGraph cuhgr 25951   UPGraph cupgr 25975   EdgWalks cewlks 26491

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-hash 13118  df-word 13299  df-uhgr 25953  df-upgr 25977  df-ewlks 26494

This theorem is referenced by: (None)