Theorem expmhm 19815

Description: Exponentiation is a monoid homomorphism from addition to multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
expmhm.1	|- N = (ℂfld ↾s NN0 )
expmhm.2	|- M = (mulGrp ` ℂfld )

Assertion

Ref	Expression
expmhm	|- ( A e. CC -> ( x e. NN0 |-> ( A ^ x ) ) e. ( N MndHom M ) )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hints:   M( x)   N( x)

Proof of Theorem expmhm

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		expcl 12878	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ x e. NN0 ) -> ( A ^ x ) e. CC )
2		eqid 2622	. . 3 |- ( x e. NN0 |-> ( A ^ x ) ) = ( x e. NN0 |-> ( A ^ x ) )
3	1, 2	fmptd 6385	. 2 |- ( A e. CC -> ( x e. NN0 |-> ( A ^ x ) ) : NN0 --> CC )
4		expadd 12902	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ y e. NN0 /\ z e. NN0 ) -> ( A ^ ( y + z ) ) = ( ( A ^ y ) x. ( A ^ z ) ) )
5	4	3expb 1266	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( y e. NN0 /\ z e. NN0 ) ) -> ( A ^ ( y + z ) ) = ( ( A ^ y ) x. ( A ^ z ) ) )
6		nn0addcl 11328	. . . . . 6 |- ( ( y e. NN0 /\ z e. NN0 ) -> ( y + z ) e. NN0 )
7	6	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( y e. NN0 /\ z e. NN0 ) ) -> ( y + z ) e. NN0 )
8		oveq2 6658	. . . . . 6 |- ( x = ( y + z ) -> ( A ^ x ) = ( A ^ ( y + z ) ) )
9		ovex 6678	. . . . . 6 |- ( A ^ ( y + z ) ) e. _V
10	8, 2, 9	fvmpt 6282	. . . . 5 |- ( ( y + z ) e. NN0 -> ( ( x e. NN0 |-> ( A ^ x ) ) ` ( y + z ) ) = ( A ^ ( y + z ) ) )
11	7, 10	syl 17	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( y e. NN0 /\ z e. NN0 ) ) -> ( ( x e. NN0 |-> ( A ^ x ) ) ` ( y + z ) ) = ( A ^ ( y + z ) ) )
12		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( A ^ x ) = ( A ^ y ) )
13		ovex 6678	. . . . . . 7 |- ( A ^ y ) e. _V
14	12, 2, 13	fvmpt 6282	. . . . . 6 |- ( y e. NN0 -> ( ( x e. NN0 |-> ( A ^ x ) ) ` y ) = ( A ^ y ) )
15		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( x = z -> ( A ^ x ) = ( A ^ z ) )
16		ovex 6678	. . . . . . 7 |- ( A ^ z ) e. _V
17	15, 2, 16	fvmpt 6282	. . . . . 6 |- ( z e. NN0 -> ( ( x e. NN0 |-> ( A ^ x ) ) ` z ) = ( A ^ z ) )
18	14, 17	oveqan12d 6669	. . . . 5 |- ( ( y e. NN0 /\ z e. NN0 ) -> ( ( ( x e. NN0 |-> ( A ^ x ) ) ` y ) x. ( ( x e. NN0 |-> ( A ^ x ) ) ` z ) ) = ( ( A ^ y ) x. ( A ^ z ) ) )
19	18	adantl 482	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( y e. NN0 /\ z e. NN0 ) ) -> ( ( ( x e. NN0 |-> ( A ^ x ) ) ` y ) x. ( ( x e. NN0 |-> ( A ^ x ) ) ` z ) ) = ( ( A ^ y ) x. ( A ^ z ) ) )
20	5, 11, 19	3eqtr4d 2666	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ ( y e. NN0 /\ z e. NN0 ) ) -> ( ( x e. NN0 |-> ( A ^ x ) ) ` ( y + z ) ) = ( ( ( x e. NN0 |-> ( A ^ x ) ) ` y ) x. ( ( x e. NN0 |-> ( A ^ x ) ) ` z ) ) )
21	20	ralrimivva 2971	. 2 |- ( A e. CC -> A. y e. NN0 A. z e. NN0 ( ( x e. NN0 |-> ( A ^ x ) ) ` ( y + z ) ) = ( ( ( x e. NN0 |-> ( A ^ x ) ) ` y ) x. ( ( x e. NN0 |-> ( A ^ x ) ) ` z ) ) )
22		0nn0 11307	. . . 4 |- 0 e. NN0
23		oveq2 6658	. . . . 5 |- ( x = 0 -> ( A ^ x ) = ( A ^ 0 ) )
24		ovex 6678	. . . . 5 |- ( A ^ 0 ) e. _V
25	23, 2, 24	fvmpt 6282	. . . 4 |- ( 0 e. NN0 -> ( ( x e. NN0 |-> ( A ^ x ) ) ` 0 ) = ( A ^ 0 ) )
26	22, 25	ax-mp 5	. . 3 |- ( ( x e. NN0 |-> ( A ^ x ) ) ` 0 ) = ( A ^ 0 )
27		exp0 12864	. . 3 |- ( A e. CC -> ( A ^ 0 ) = 1 )
28	26, 27	syl5eq 2668	. 2 |- ( A e. CC -> ( ( x e. NN0 |-> ( A ^ x ) ) ` 0 ) = 1 )
29		nn0subm 19801	. . . . 5 |- NN0 e. (SubMnd ` ℂfld )
30		expmhm.1	. . . . . 6 |- N = (ℂfld ↾s NN0 )
31	30	submmnd 17354	. . . . 5 |- ( NN0 e. (SubMnd ` ℂfld ) -> N e. Mnd )
32	29, 31	ax-mp 5	. . . 4 |- N e. Mnd
33		cnring 19768	. . . . 5 |- ℂfld e. Ring
34		expmhm.2	. . . . . 6 |- M = (mulGrp ` ℂfld )
35	34	ringmgp 18553	. . . . 5 |- (ℂfld e. Ring -> M e. Mnd )
36	33, 35	ax-mp 5	. . . 4 |- M e. Mnd
37	32, 36	pm3.2i 471	. . 3 |- ( N e. Mnd /\ M e. Mnd )
38	30	submbas 17355	. . . . 5 |- ( NN0 e. (SubMnd ` ℂfld ) -> NN0 = ( Base ` N ) )
39	29, 38	ax-mp 5	. . . 4 |- NN0 = ( Base ` N )
40		cnfldbas 19750	. . . . 5 |- CC = ( Base ` ℂfld )
41	34, 40	mgpbas 18495	. . . 4 |- CC = ( Base ` M )
42		cnfldadd 19751	. . . . . 6 |- + = ( +g ` ℂfld )
43	30, 42	ressplusg 15993	. . . . 5 |- ( NN0 e. (SubMnd ` ℂfld ) -> + = ( +g ` N ) )
44	29, 43	ax-mp 5	. . . 4 |- + = ( +g ` N )
45		cnfldmul 19752	. . . . 5 |- x. = ( .r ` ℂfld )
46	34, 45	mgpplusg 18493	. . . 4 |- x. = ( +g ` M )
47		cnfld0 19770	. . . . . 6 |- 0 = ( 0g ` ℂfld )
48	30, 47	subm0 17356	. . . . 5 |- ( NN0 e. (SubMnd ` ℂfld ) -> 0 = ( 0g ` N ) )
49	29, 48	ax-mp 5	. . . 4 |- 0 = ( 0g ` N )
50		cnfld1 19771	. . . . 5 |- 1 = ( 1r ` ℂfld )
51	34, 50	ringidval 18503	. . . 4 |- 1 = ( 0g ` M )
52	39, 41, 44, 46, 49, 51	ismhm 17337	. . 3 |- ( ( x e. NN0 |-> ( A ^ x ) ) e. ( N MndHom M ) <-> ( ( N e. Mnd /\ M e. Mnd ) /\ ( ( x e. NN0 |-> ( A ^ x ) ) : NN0 --> CC /\ A. y e. NN0 A. z e. NN0 ( ( x e. NN0 |-> ( A ^ x ) ) ` ( y + z ) ) = ( ( ( x e. NN0 |-> ( A ^ x ) ) ` y ) x. ( ( x e. NN0 |-> ( A ^ x ) ) ` z ) ) /\ ( ( x e. NN0 |-> ( A ^ x ) ) ` 0 ) = 1 ) ) )
53	37, 52	mpbiran 953	. 2 |- ( ( x e. NN0 |-> ( A ^ x ) ) e. ( N MndHom M ) <-> ( ( x e. NN0 |-> ( A ^ x ) ) : NN0 --> CC /\ A. y e. NN0 A. z e. NN0 ( ( x e. NN0 |-> ( A ^ x ) ) ` ( y + z ) ) = ( ( ( x e. NN0 |-> ( A ^ x ) ) ` y ) x. ( ( x e. NN0 |-> ( A ^ x ) ) ` z ) ) /\ ( ( x e. NN0 |-> ( A ^ x ) ) ` 0 ) = 1 ) )
54	3, 21, 28, 53	syl3anbrc 1246	1 |- ( A e. CC -> ( x e. NN0 |-> ( A ^ x ) ) e. ( N MndHom M ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   NN0cn0 11292   ^cexp 12860   Basecbs 15857   ↾_s cress 15858   +g cplusg 15941   0gc0g 16100   Mndcmnd 17294   MndHom cmhm 17333  SubMndcsubmnd 17334  mulGrpcmgp 18489   Ringcrg 18547  ℂ_fldccnfld 19746

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-cmn 18195  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-cnfld 19747

This theorem is referenced by: (None)