Theorem regsumfsum 19814

Description: Relate a group sum on (ℂ_fld ↾_s RR ) to a finite sum on the reals. Cf. gsumfsum 19813. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
regsumfsum.1	|- ( ph -> A e. Fin )
regsumfsum.2	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. RR )

Assertion

Ref	Expression
regsumfsum	|- ( ph -> ( (ℂfld ↾s RR ) gsumg ( k e. A |-> B ) ) = sum_ k e. A B )

Distinct variable groups:   A, k   ph, k

Allowed substitution hint:   B( k)

Proof of Theorem regsumfsum

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfldbas 19750	. . 3 |- CC = ( Base ` ℂfld )
2		cnfldadd 19751	. . 3 |- + = ( +g ` ℂfld )
3		eqid 2622	. . 3 |- (ℂfld ↾s RR ) = (ℂfld ↾s RR )
4		cnfldex 19749	. . . 4 |- ℂfld e. _V
5	4	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> ℂfld e. _V )
6		regsumfsum.1	. . 3 |- ( ph -> A e. Fin )
7		ax-resscn 9993	. . . 4 |- RR C_ CC
8	7	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> RR C_ CC )
9		regsumfsum.2	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. RR )
10		eqid 2622	. . . 4 |- ( k e. A |-> B ) = ( k e. A |-> B )
11	9, 10	fmptd 6385	. . 3 |- ( ph -> ( k e. A |-> B ) : A --> RR )
12		0red 10041	. . 3 |- ( ph -> 0 e. RR )
13		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. CC ) -> x e. CC )
14	13	addid2d 10237	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. CC ) -> ( 0 + x ) = x )
15	13	addid1d 10236	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. CC ) -> ( x + 0 ) = x )
16	14, 15	jca 554	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. CC ) -> ( ( 0 + x ) = x /\ ( x + 0 ) = x ) )
17	1, 2, 3, 5, 6, 8, 11, 12, 16	gsumress 17276	. 2 |- ( ph -> (ℂfld gsumg ( k e. A |-> B ) ) = ( (ℂfld ↾s RR ) gsumg ( k e. A |-> B ) ) )
18	9	recnd 10068	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
19	6, 18	gsumfsum 19813	. 2 |- ( ph -> (ℂfld gsumg ( k e. A |-> B ) ) = sum_ k e. A B )
20	17, 19	eqtr3d 2658	1 |- ( ph -> ( (ℂfld ↾s RR ) gsumg ( k e. A |-> B ) ) = sum_ k e. A B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   |-> cmpt 4729  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   + caddc 9939   sum_csu 14416   ↾_s cress 15858   gsum_g cgsu 16101  ℂ_fldccnfld 19746

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-cnfld 19747

This theorem is referenced by:  rrxdsfi  40505