Theorem facnn 13062

Description: Value of the factorial function for positive integers. (Contributed by NM, 2-Dec-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
facnn	|- ( N e. NN -> ( ! ` N ) = ( seq 1 ( x. , _I ) ` N ) )

Proof of Theorem facnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 10034	. . 3 |- 0 e. _V
2		1ex 10035	. . 3 |- 1 e. _V
3		df-fac 13061	. . . 4 |- ! = ( { <. 0 , 1 >. } u. seq 1 ( x. , _I ) )
4		nnuz 11723	. . . . . . . 8 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
5		dfn2 11305	. . . . . . . 8 |- NN = ( NN0 \ { 0 } )
6	4, 5	eqtr3i 2646	. . . . . . 7 |- ( ZZ>= ` 1 ) = ( NN0 \ { 0 } )
7	6	reseq2i 5393	. . . . . 6 |- ( seq 1 ( x. , _I ) |` ( ZZ>= ` 1 ) ) = ( seq 1 ( x. , _I ) |` ( NN0 \ { 0 } ) )
8		1z 11407	. . . . . . 7 |- 1 e. ZZ
9		seqfn 12813	. . . . . . 7 |- ( 1 e. ZZ -> seq 1 ( x. , _I ) Fn ( ZZ>= ` 1 ) )
10		fnresdm 6000	. . . . . . 7 |- ( seq 1 ( x. , _I ) Fn ( ZZ>= ` 1 ) -> ( seq 1 ( x. , _I ) |` ( ZZ>= ` 1 ) ) = seq 1 ( x. , _I ) )
11	8, 9, 10	mp2b 10	. . . . . 6 |- ( seq 1 ( x. , _I ) |` ( ZZ>= ` 1 ) ) = seq 1 ( x. , _I )
12	7, 11	eqtr3i 2646	. . . . 5 |- ( seq 1 ( x. , _I ) |` ( NN0 \ { 0 } ) ) = seq 1 ( x. , _I )
13	12	uneq2i 3764	. . . 4 |- ( { <. 0 , 1 >. } u. ( seq 1 ( x. , _I ) |` ( NN0 \ { 0 } ) ) ) = ( { <. 0 , 1 >. } u. seq 1 ( x. , _I ) )
14	3, 13	eqtr4i 2647	. . 3 |- ! = ( { <. 0 , 1 >. } u. ( seq 1 ( x. , _I ) |` ( NN0 \ { 0 } ) ) )
15	1, 2, 14	fvsnun2 6449	. 2 |- ( N e. ( NN0 \ { 0 } ) -> ( ! ` N ) = ( seq 1 ( x. , _I ) ` N ) )
16	15, 5	eleq2s 2719	1 |- ( N e. NN -> ( ! ` N ) = ( seq 1 ( x. , _I ) ` N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   \ cdif 3571   u. cun 3572   {csn 4177   <.cop 4183   _I cid 5023   |` cres 5116   Fn wfn 5883   ` cfv 5888   0cc0 9936   1c1 9937   x. cmul 9941   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   seqcseq 12801   !cfa 13060

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-seq 12802  df-fac 13061

This theorem is referenced by:  fac1  13064  facp1  13065  bcval5  13105  fprodfac  14703  logfac  24347  wilthlem3  24796