Theorem bcval5 13105

Description: Write out the top and bottom parts of the binomial coefficient ( N _C K ) = ( N x. ( N - 1 ) x. ... x. ( ( N - K ) + 1 ) ) / K ! explicitly. In this form, it is valid even for N < K, although it is no longer valid for nonpositive K. (Contributed by Mario Carneiro, 22-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
bcval5	|- ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) -> ( N _C K ) = ( ( seq ( ( N - K ) + 1 ) ( x. , _I ) ` N ) / ( ! ` K ) ) )

Proof of Theorem bcval5

Dummy variables x k y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bcval2 13092	. . . 4 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> ( N _C K ) = ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) )
2	1	adantl 482	. . 3 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( N _C K ) = ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) )
3		mulcl 10020	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. CC /\ x e. CC ) -> ( k x. x ) e. CC )
4	3	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( N - K ) e. NN ) ) /\ ( k e. CC /\ x e. CC ) ) -> ( k x. x ) e. CC )
5		mulass 10024	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. CC /\ x e. CC /\ y e. CC ) -> ( ( k x. x ) x. y ) = ( k x. ( x x. y ) ) )
6	5	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( N - K ) e. NN ) ) /\ ( k e. CC /\ x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( ( k x. x ) x. y ) = ( k x. ( x x. y ) ) )
7		simplr 792	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> K e. NN )
8		elfzuz3 12339	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> N e. ( ZZ>= ` K ) )
9	8	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> N e. ( ZZ>= ` K ) )
10		eluznn 11758	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. NN /\ N e. ( ZZ>= ` K ) ) -> N e. NN )
11	7, 9, 10	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> N e. NN )
12	11	adantrr 753	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( N - K ) e. NN ) ) -> N e. NN )
13		simplr 792	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( N - K ) e. NN ) ) -> K e. NN )
14		nnre 11027	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> N e. RR )
15		nnrp 11842	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. NN -> K e. RR+ )
16		ltsubrp 11866	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. RR /\ K e. RR+ ) -> ( N - K ) < N )
17	14, 15, 16	syl2an 494	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ K e. NN ) -> ( N - K ) < N )
18	12, 13, 17	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( N - K ) e. NN ) ) -> ( N - K ) < N )
19	12	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( N - K ) e. NN ) ) -> N e. ZZ )
20		nnz 11399	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. NN -> K e. ZZ )
21	20	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( N - K ) e. NN ) ) -> K e. ZZ )
22	19, 21	zsubcld 11487	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( N - K ) e. NN ) ) -> ( N - K ) e. ZZ )
23		zltp1le 11427	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N - K ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( N - K ) < N <-> ( ( N - K ) + 1 ) <_ N ) )
24	22, 19, 23	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( N - K ) e. NN ) ) -> ( ( N - K ) < N <-> ( ( N - K ) + 1 ) <_ N ) )
25	18, 24	mpbid 222	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( N - K ) e. NN ) ) -> ( ( N - K ) + 1 ) <_ N )
26	22	peano2zd 11485	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( N - K ) e. NN ) ) -> ( ( N - K ) + 1 ) e. ZZ )
27		eluz 11701	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N - K ) + 1 ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N e. ( ZZ>= ` ( ( N - K ) + 1 ) ) <-> ( ( N - K ) + 1 ) <_ N ) )
28	26, 19, 27	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( N - K ) e. NN ) ) -> ( N e. ( ZZ>= ` ( ( N - K ) + 1 ) ) <-> ( ( N - K ) + 1 ) <_ N ) )
29	25, 28	mpbird 247	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( N - K ) e. NN ) ) -> N e. ( ZZ>= ` ( ( N - K ) + 1 ) ) )
30		simprr 796	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( N - K ) e. NN ) ) -> ( N - K ) e. NN )
31		nnuz 11723	. . . . . . . . 9 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
32	30, 31	syl6eleq 2711	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( N - K ) e. NN ) ) -> ( N - K ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
33		fvi 6255	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> ( _I ` k ) = k )
34		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> k e. ZZ )
35	34	zcnd 11483	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> k e. CC )
36	33, 35	eqeltrd 2701	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> ( _I ` k ) e. CC )
37	36	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( N - K ) e. NN ) ) /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( _I ` k ) e. CC )
38	4, 6, 29, 32, 37	seqsplit 12834	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( N - K ) e. NN ) ) -> ( seq 1 ( x. , _I ) ` N ) = ( ( seq 1 ( x. , _I ) ` ( N - K ) ) x. ( seq ( ( N - K ) + 1 ) ( x. , _I ) ` N ) ) )
39		facnn 13062	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( ! ` N ) = ( seq 1 ( x. , _I ) ` N ) )
40	12, 39	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( N - K ) e. NN ) ) -> ( ! ` N ) = ( seq 1 ( x. , _I ) ` N ) )
41		facnn 13062	. . . . . . . . 9 |- ( ( N - K ) e. NN -> ( ! ` ( N - K ) ) = ( seq 1 ( x. , _I ) ` ( N - K ) ) )
42	30, 41	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( N - K ) e. NN ) ) -> ( ! ` ( N - K ) ) = ( seq 1 ( x. , _I ) ` ( N - K ) ) )
43	42	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( N - K ) e. NN ) ) -> ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( seq ( ( N - K ) + 1 ) ( x. , _I ) ` N ) ) = ( ( seq 1 ( x. , _I ) ` ( N - K ) ) x. ( seq ( ( N - K ) + 1 ) ( x. , _I ) ` N ) ) )
44	38, 40, 43	3eqtr4d 2666	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ ( K e. ( 0 ... N ) /\ ( N - K ) e. NN ) ) -> ( ! ` N ) = ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( seq ( ( N - K ) + 1 ) ( x. , _I ) ` N ) ) )
45	44	expr 643	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( N - K ) e. NN -> ( ! ` N ) = ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( seq ( ( N - K ) + 1 ) ( x. , _I ) ` N ) ) ) )
46		simpll 790	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> N e. NN0 )
47		faccl 13070	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) e. NN )
48		nncn 11028	. . . . . . . . 9 |- ( ( ! ` N ) e. NN -> ( ! ` N ) e. CC )
49	46, 47, 48	3syl 18	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ! ` N ) e. CC )
50	49	mulid2d 10058	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( 1 x. ( ! ` N ) ) = ( ! ` N ) )
51	11, 39	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ! ` N ) = ( seq 1 ( x. , _I ) ` N ) )
52	51	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( 1 x. ( ! ` N ) ) = ( 1 x. ( seq 1 ( x. , _I ) ` N ) ) )
53	50, 52	eqtr3d 2658	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ! ` N ) = ( 1 x. ( seq 1 ( x. , _I ) ` N ) ) )
54		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( ( N - K ) = 0 -> ( ! ` ( N - K ) ) = ( ! ` 0 ) )
55		fac0 13063	. . . . . . . . 9 |- ( ! ` 0 ) = 1
56	54, 55	syl6eq 2672	. . . . . . . 8 |- ( ( N - K ) = 0 -> ( ! ` ( N - K ) ) = 1 )
57		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N - K ) = 0 -> ( ( N - K ) + 1 ) = ( 0 + 1 ) )
58		0p1e1 11132	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 + 1 ) = 1
59	57, 58	syl6eq 2672	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N - K ) = 0 -> ( ( N - K ) + 1 ) = 1 )
60	59	seqeq1d 12807	. . . . . . . . 9 |- ( ( N - K ) = 0 -> seq ( ( N - K ) + 1 ) ( x. , _I ) = seq 1 ( x. , _I ) )
61	60	fveq1d 6193	. . . . . . . 8 |- ( ( N - K ) = 0 -> ( seq ( ( N - K ) + 1 ) ( x. , _I ) ` N ) = ( seq 1 ( x. , _I ) ` N ) )
62	56, 61	oveq12d 6668	. . . . . . 7 |- ( ( N - K ) = 0 -> ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( seq ( ( N - K ) + 1 ) ( x. , _I ) ` N ) ) = ( 1 x. ( seq 1 ( x. , _I ) ` N ) ) )
63	62	eqeq2d 2632	. . . . . 6 |- ( ( N - K ) = 0 -> ( ( ! ` N ) = ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( seq ( ( N - K ) + 1 ) ( x. , _I ) ` N ) ) <-> ( ! ` N ) = ( 1 x. ( seq 1 ( x. , _I ) ` N ) ) ) )
64	53, 63	syl5ibrcom 237	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( N - K ) = 0 -> ( ! ` N ) = ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( seq ( ( N - K ) + 1 ) ( x. , _I ) ` N ) ) ) )
65		fznn0sub 12373	. . . . . . 7 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> ( N - K ) e. NN0 )
66	65	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( N - K ) e. NN0 )
67		elnn0 11294	. . . . . 6 |- ( ( N - K ) e. NN0 <-> ( ( N - K ) e. NN \/ ( N - K ) = 0 ) )
68	66, 67	sylib 208	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( N - K ) e. NN \/ ( N - K ) = 0 ) )
69	45, 64, 68	mpjaod 396	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ! ` N ) = ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( seq ( ( N - K ) + 1 ) ( x. , _I ) ` N ) ) )
70	69	oveq1d 6665	. . 3 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) = ( ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( seq ( ( N - K ) + 1 ) ( x. , _I ) ` N ) ) / ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) )
71		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( ZZ>= ` ( ( N - K ) + 1 ) ) = ( ZZ>= ` ( ( N - K ) + 1 ) )
72		nn0z 11400	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
73		zsubcl 11419	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( N - K ) e. ZZ )
74	72, 20, 73	syl2an 494	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) -> ( N - K ) e. ZZ )
75	74	peano2zd 11485	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) -> ( ( N - K ) + 1 ) e. ZZ )
76	75	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( N - K ) + 1 ) e. ZZ )
77		fvi 6255	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( ZZ>= ` ( ( N - K ) + 1 ) ) -> ( _I ` k ) = k )
78		eluzelcn 11699	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( ZZ>= ` ( ( N - K ) + 1 ) ) -> k e. CC )
79	77, 78	eqeltrd 2701	. . . . . . 7 |- ( k e. ( ZZ>= ` ( ( N - K ) + 1 ) ) -> ( _I ` k ) e. CC )
80	79	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( ( N - K ) + 1 ) ) ) -> ( _I ` k ) e. CC )
81	3	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) /\ ( k e. CC /\ x e. CC ) ) -> ( k x. x ) e. CC )
82	71, 76, 80, 81	seqf 12822	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> seq ( ( N - K ) + 1 ) ( x. , _I ) : ( ZZ>= ` ( ( N - K ) + 1 ) ) --> CC )
83	11, 7, 17	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( N - K ) < N )
84	74	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( N - K ) e. ZZ )
85	11	nnzd 11481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> N e. ZZ )
86	84, 85, 23	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( N - K ) < N <-> ( ( N - K ) + 1 ) <_ N ) )
87	83, 86	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( N - K ) + 1 ) <_ N )
88	76, 85, 27	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( N e. ( ZZ>= ` ( ( N - K ) + 1 ) ) <-> ( ( N - K ) + 1 ) <_ N ) )
89	87, 88	mpbird 247	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> N e. ( ZZ>= ` ( ( N - K ) + 1 ) ) )
90	82, 89	ffvelrnd 6360	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( seq ( ( N - K ) + 1 ) ( x. , _I ) ` N ) e. CC )
91		elfznn0 12433	. . . . . . 7 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> K e. NN0 )
92	91	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> K e. NN0 )
93		faccl 13070	. . . . . 6 |- ( K e. NN0 -> ( ! ` K ) e. NN )
94	92, 93	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ! ` K ) e. NN )
95	94	nncnd 11036	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ! ` K ) e. CC )
96		faccl 13070	. . . . . 6 |- ( ( N - K ) e. NN0 -> ( ! ` ( N - K ) ) e. NN )
97	66, 96	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ! ` ( N - K ) ) e. NN )
98	97	nncnd 11036	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ! ` ( N - K ) ) e. CC )
99	94	nnne0d 11065	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ! ` K ) =/= 0 )
100	97	nnne0d 11065	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ! ` ( N - K ) ) =/= 0 )
101	90, 95, 98, 99, 100	divcan5d 10827	. . 3 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( seq ( ( N - K ) + 1 ) ( x. , _I ) ` N ) ) / ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) = ( ( seq ( ( N - K ) + 1 ) ( x. , _I ) ` N ) / ( ! ` K ) ) )
102	2, 70, 101	3eqtrd 2660	. 2 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( N _C K ) = ( ( seq ( ( N - K ) + 1 ) ( x. , _I ) ` N ) / ( ! ` K ) ) )
103		nnnn0 11299	. . . . 5 |- ( K e. NN -> K e. NN0 )
104	103	ad2antlr 763	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> K e. NN0 )
105		nncn 11028	. . . . 5 |- ( ( ! ` K ) e. NN -> ( ! ` K ) e. CC )
106		nnne0 11053	. . . . 5 |- ( ( ! ` K ) e. NN -> ( ! ` K ) =/= 0 )
107	105, 106	div0d 10800	. . . 4 |- ( ( ! ` K ) e. NN -> ( 0 / ( ! ` K ) ) = 0 )
108	104, 93, 107	3syl 18	. . 3 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> ( 0 / ( ! ` K ) ) = 0 )
109	3	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) /\ ( k e. CC /\ x e. CC ) ) -> ( k x. x ) e. CC )
110		fvi 6255	. . . . . . 7 |- ( k e. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) -> ( _I ` k ) = k )
111		elfzelz 12342	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) -> k e. ZZ )
112	111	zcnd 11483	. . . . . . 7 |- ( k e. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) -> k e. CC )
113	110, 112	eqeltrd 2701	. . . . . 6 |- ( k e. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) -> ( _I ` k ) e. CC )
114	113	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) /\ k e. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ) -> ( _I ` k ) e. CC )
115		mul02 10214	. . . . . 6 |- ( k e. CC -> ( 0 x. k ) = 0 )
116	115	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) /\ k e. CC ) -> ( 0 x. k ) = 0 )
117		mul01 10215	. . . . . 6 |- ( k e. CC -> ( k x. 0 ) = 0 )
118	117	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) /\ k e. CC ) -> ( k x. 0 ) = 0 )
119		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> -. K e. ( 0 ... N ) )
120		nn0uz 11722	. . . . . . . . . . . 12 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
121	104, 120	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> K e. ( ZZ>= ` 0 ) )
122	72	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> N e. ZZ )
123		elfz5 12334	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ N e. ZZ ) -> ( K e. ( 0 ... N ) <-> K <_ N ) )
124	121, 122, 123	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> ( K e. ( 0 ... N ) <-> K <_ N ) )
125		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
126	125	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> N e. RR )
127		nnre 11027	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. NN -> K e. RR )
128	127	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> K e. RR )
129	126, 128	subge0d 10617	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> ( 0 <_ ( N - K ) <-> K <_ N ) )
130	124, 129	bitr4d 271	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> ( K e. ( 0 ... N ) <-> 0 <_ ( N - K ) ) )
131	119, 130	mtbid 314	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> -. 0 <_ ( N - K ) )
132	74	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> ( N - K ) e. ZZ )
133	132	zred 11482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> ( N - K ) e. RR )
134		0re 10040	. . . . . . . . 9 |- 0 e. RR
135		ltnle 10117	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N - K ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( ( N - K ) < 0 <-> -. 0 <_ ( N - K ) ) )
136	133, 134, 135	sylancl 694	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( N - K ) < 0 <-> -. 0 <_ ( N - K ) ) )
137	131, 136	mpbird 247	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> ( N - K ) < 0 )
138		0z 11388	. . . . . . . 8 |- 0 e. ZZ
139		zltp1le 11427	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N - K ) e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> ( ( N - K ) < 0 <-> ( ( N - K ) + 1 ) <_ 0 ) )
140	132, 138, 139	sylancl 694	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( N - K ) < 0 <-> ( ( N - K ) + 1 ) <_ 0 ) )
141	137, 140	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( N - K ) + 1 ) <_ 0 )
142		nn0ge0 11318	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> 0 <_ N )
143	142	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> 0 <_ N )
144		0zd 11389	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> 0 e. ZZ )
145	75	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( N - K ) + 1 ) e. ZZ )
146		elfz 12332	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. ZZ /\ ( ( N - K ) + 1 ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 0 e. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) <-> ( ( ( N - K ) + 1 ) <_ 0 /\ 0 <_ N ) ) )
147	144, 145, 122, 146	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> ( 0 e. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) <-> ( ( ( N - K ) + 1 ) <_ 0 /\ 0 <_ N ) ) )
148	141, 143, 147	mpbir2and 957	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> 0 e. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) )
149		simpll 790	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> N e. NN0 )
150		0cn 10032	. . . . . 6 |- 0 e. CC
151		fvi 6255	. . . . . 6 |- ( 0 e. CC -> ( _I ` 0 ) = 0 )
152	150, 151	mp1i 13	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> ( _I ` 0 ) = 0 )
153	109, 114, 116, 118, 148, 149, 152	seqz 12849	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> ( seq ( ( N - K ) + 1 ) ( x. , _I ) ` N ) = 0 )
154	153	oveq1d 6665	. . 3 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( seq ( ( N - K ) + 1 ) ( x. , _I ) ` N ) / ( ! ` K ) ) = ( 0 / ( ! ` K ) ) )
155		bcval3 13093	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. ZZ /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> ( N _C K ) = 0 )
156	20, 155	syl3an2 1360	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. NN /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> ( N _C K ) = 0 )
157	156	3expa 1265	. . 3 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> ( N _C K ) = 0 )
158	108, 154, 157	3eqtr4rd 2667	. 2 |- ( ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) /\ -. K e. ( 0 ... N ) ) -> ( N _C K ) = ( ( seq ( ( N - K ) + 1 ) ( x. , _I ) ` N ) / ( ! ` K ) ) )
159	102, 158	pm2.61dan 832	1 |- ( ( N e. NN0 /\ K e. NN ) -> ( N _C K ) = ( ( seq ( ( N - K ) + 1 ) ( x. , _I ) ` N ) / ( ! ` K ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   class class class wbr 4653   _I cid 5023   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   ...cfz 12326   seqcseq 12801   !cfa 13060   _C cbc 13089

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-seq 12802  df-fac 13061  df-bc 13090

This theorem is referenced by:  bcn2  13106