Theorem 1z 11407

Description: One is an integer. (Contributed by NM, 10-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
1z	|- 1 e. ZZ

Proof of Theorem 1z

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 11031	. 2 |- 1 e. NN
2	1	nnzi 11401	1 |- 1 e. ZZ

Syntax hints:   e. wcel 1990   1c1 9937   ZZcz 11377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-z 11378

This theorem is referenced by:  1zzd  11408  peano2z  11418  peano2zm  11420  3halfnz  11456  peano5uzti  11467  nnuz  11723  eluz2nn  11726  eluzge3nn  11730  1eluzge0  11732  2eluzge1  11734  eluz2b1  11759  uz2m1nn  11763  nninf  11769  nnrecq  11811  qbtwnxr  12031  fz1n  12359  fz10  12362  fz01en  12369  fznatpl1  12395  fzprval  12401  fztpval  12402  fseq1p1m1  12414  elfzp1b  12417  elfzm1b  12418  4fvwrd4  12459  ige2m2fzo  12530  fz0add1fz1  12537  fzo12sn  12551  fzo13pr  12552  fzo1to4tp  12556  fzofzp1  12565  fzostep1  12584  flge1nn  12622  fldiv4p1lem1div2  12636  modid0  12696  nnnfi  12765  fzennn  12767  fzen2  12768  f13idfv  12800  ser1const  12857  exp1  12866  zexpcl  12875  qexpcl  12876  qexpclz  12881  m1expcl  12883  expp1z  12909  expm1  12910  facnn  13062  fac0  13063  fac1  13064  bcn1  13100  bcpasc  13108  bcnm1  13114  hashsng  13159  hashfz  13214  fz1isolem  13245  seqcoll  13248  hashge2el2difr  13263  ccat2s1p2  13406  s2f1o  13661  f1oun2prg  13662  swrd2lsw  13695  2swrd2eqwrdeq  13696  relexp1g  13766  climuni  14283  isercoll2  14399  iseraltlem1  14412  sum0  14452  sumsnf  14473  sumsn  14475  climcndslem1  14581  climcndslem2  14582  divcnvshft  14587  supcvg  14588  prod0  14673  prodsn  14692  prodsnf  14694  zrisefaccl  14751  zfallfaccl  14752  sin01gt0  14920  rpnnen2lem10  14952  nthruc  14981  iddvds  14995  1dvds  14996  dvdsle  15032  dvds1  15041  3dvds  15052  3dvdsOLD  15053  divalglem5  15120  divalg  15126  bitsfzolem  15156  bitsfzo  15157  gcdcllem1  15221  gcdcllem3  15223  gcdaddmlem  15245  gcdadd  15247  gcdid  15248  gcd1  15249  1gcd  15254  bezoutlem1  15256  gcdmultiple  15269  lcmgcdlem  15319  lcm1  15323  3lcm2e6woprm  15328  lcmfunsnlem  15354  isprm3  15396  prmgt1  15409  phicl2  15473  phi1  15478  dfphi2  15479  eulerthlem2  15487  prmdiv  15490  prmdiveq  15491  odzcllem  15497  oddprm  15515  pythagtriplem4  15524  pcpre1  15547  pc1  15560  pcrec  15563  pcmpt  15596  fldivp1  15601  expnprm  15606  pockthlem  15609  unbenlem  15612  prmreclem2  15621  prmrec  15626  igz  15638  4sqlem12  15660  4sqlem13  15661  4sqlem19  15667  vdwlem8  15692  vdwlem13  15697  prmo1  15741  fvprmselgcd1  15749  prmgaplem7  15761  prmlem0  15812  1259lem4  15841  2503lem2  15845  4001lem1  15848  setsstruct  15898  gsumpropd2lem  17273  mulg1  17548  mulgm1  17562  mulgp1  17574  mulgneg2  17575  cycsubgcl  17620  odinv  17978  efgs1b  18149  lt6abl  18296  pgpfac1lem2  18474  srgbinomlem4  18543  qsubdrg  19798  zsubrg  19799  gzsubrg  19800  zringmulg  19826  zringcyg  19839  mulgrhm  19846  mulgrhm2  19847  chrnzr  19878  frgpcyg  19922  zrhpsgnmhm  19930  zrhpsgnodpm  19938  m2detleiblem1  20430  m2detleiblem2  20434  zfbas  21700  imasdsf1olem  22178  cphipval  23042  cmetcaulem  23086  bcthlem5  23125  ovolctb  23258  ovolunlem1a  23264  ovolunlem1  23265  ovoliunnul  23275  ovolicc1  23284  ovolicc2lem4  23288  voliunlem1  23318  volsup  23324  uniioombllem6  23356  vitalilem5  23381  plyeq0lem  23966  vieta1lem2  24066  elqaalem2  24075  qaa  24078  iaa  24080  abelthlem6  24190  abelthlem9  24194  sin2pim  24237  cos2pim  24238  logbleb  24521  logblt  24522  1cubrlem  24568  leibpilem2  24668  emcllem5  24726  emcllem7  24728  lgamgulm2  24762  lgamcvglem  24766  gamcvg2lem  24785  lgam1  24790  wilthlem2  24795  wilthlem3  24796  ppip1le  24887  ppi1  24890  cht1  24891  chp1  24893  cht2  24898  ppieq0  24902  ppiub  24929  chpeq0  24933  chpchtsum  24944  chpub  24945  logfacbnd3  24948  logexprlim  24950  bposlem1  25009  bposlem2  25010  bposlem5  25013  bposlem6  25014  lgslem2  25023  lgsfcl2  25028  lgsval2lem  25032  lgsdir2lem1  25050  lgsdir2lem5  25054  1lgs  25065  lgsdchr  25080  lgsquad2lem2  25110  2sqlem9  25152  2sqlem10  25153  2sqblem  25156  2sqb  25157  dchrisumlem3  25180  log2sumbnd  25233  qabvle  25314  ostth3  25327  istrkg3ld  25360  tgldimor  25397  axlowdimlem3  25824  axlowdimlem4  25825  axlowdimlem6  25827  axlowdimlem7  25828  axlowdimlem16  25837  axlowdimlem17  25838  axlowdim  25841  usgrexmpldifpr  26150  uhgrwkspthlem2  26650  pthdlem2  26664  wwlksnextproplem1  26804  0ewlk  26975  0pth  26986  1wlkdlem1  26997  ntrl2v2e  27018  eupth2lem3lem4  27091  ex-fl  27304  ipval2  27562  hlim0  28092  opsqrlem2  29000  iuninc  29379  nndiffz1  29548  0dp2dp  29617  lmatfvlem  29881  mdetpmtr1  29889  mdetpmtr12  29891  lmlim  29993  qqh0  30028  qqh1  30029  esumfzf  30131  esumfsup  30132  esumpcvgval  30140  esumcvg  30148  esumcvgsum  30150  esumsup  30151  dya2ub  30332  rrvsum  30516  dstfrvclim1  30539  ballotlem2  30550  ballotlemfc0  30554  ballotlemfcc  30555  signsvf0  30657  hgt750leme  30736  subfac1  31160  subfacp1lem1  31161  subfacp1lem2a  31162  subfacp1lem5  31166  subfacp1lem6  31167  cvmliftlem10  31276  divcnvlin  31618  faclimlem1  31629  fwddifnp1  32272  poimirlem3  33412  poimirlem4  33413  poimirlem16  33425  poimirlem17  33426  poimirlem19  33428  poimirlem20  33429  poimirlem24  33433  poimirlem27  33436  poimirlem28  33437  poimirlem31  33440  poimirlem32  33441  mblfinlem1  33446  mblfinlem2  33447  ovoliunnfl  33451  voliunnfl  33453  fdc  33541  heibor1lem  33608  rrncmslem  33631  mapfzcons  37279  mzpexpmpt  37308  eldioph3b  37328  fz1eqin  37332  diophin  37336  diophun  37337  0dioph  37342  elnnrabdioph  37371  rabren3dioph  37379  irrapxlem1  37386  irrapxlem3  37388  rmxyadd  37486  rmxy1  37487  rmxy0  37488  rmxp1  37497  rmyp1  37498  rmxm1  37499  rmym1  37500  jm2.24nn  37526  acongeq  37550  jm2.23  37563  jm2.15nn0  37570  jm2.16nn0  37571  jm2.27c  37574  jm2.27dlem2  37577  rmydioph  37581  rmxdioph  37583  expdiophlem2  37589  expdioph  37590  mpaaeu  37720  trclfvdecomr  38020  k0004val0  38452  hashnzfzclim  38521  sumsnd  39185  fmuldfeq  39815  stoweidlem3  40220  stoweidlem20  40237  stoweidlem34  40251  wallispilem4  40285  wallispi2lem1  40288  wallispi2lem2  40289  stirlinglem11  40301  dirkerper  40313  dirkertrigeqlem1  40315  dirkertrigeqlem3  40317  fourierdlem47  40370  fourierswlem  40447  smfmullem4  41001  1oddALTV  41601  1nevenALTV  41602  2evenALTV  41603  nnsum3primes4  41676  nnsum3primesprm  41678  nnsum3primesgbe  41680  nnsum4primesodd  41684  nnsum4primesoddALTV  41685  nnsum4primeseven  41688  nnsum4primesevenALTV  41689  tgblthelfgott  41703  tgblthelfgottOLD  41709  1odd  41811  altgsumbcALT  42131  zlmodzxzsubm  42137  blen2  42379  blennngt2o2  42386  nn0sumshdiglemA  42413  nn0sumshdiglemB  42414