Theorem frgr3vlem2 27138

Description: Lemma 2 for frgr3v 27139. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Oct-2017.) (Revised by AV, 29-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
frgr3v.v	|- V = (Vtx ` G )
frgr3v.e	|- E = (Edg ` G )

Assertion

Ref	Expression
frgr3vlem2	|- ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) -> ( ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) -> ( E! x e. { A , B , C } { { x , A } , { x , B } } C_ E <-> ( { C , A } e. E /\ { C , B } e. E ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, C   x, E   x, G   x, V   x, X   x, Y   x, Z

Proof of Theorem frgr3vlem2

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-reu 2919	. . 3 |- ( E! x e. { A , B , C } { { x , A } , { x , B } } C_ E <-> E! x ( x e. { A , B , C } /\ { { x , A } , { x , B } } C_ E ) )
2		eleq1 2689	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( x e. { A , B , C } <-> y e. { A , B , C } ) )
3		preq1 4268	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> { x , A } = { y , A } )
4		preq1 4268	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> { x , B } = { y , B } )
5	3, 4	preq12d 4276	. . . . . . 7 |- ( x = y -> { { x , A } , { x , B } } = { { y , A } , { y , B } } )
6	5	sseq1d 3632	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( { { x , A } , { x , B } } C_ E <-> { { y , A } , { y , B } } C_ E ) )
7	2, 6	anbi12d 747	. . . . 5 |- ( x = y -> ( ( x e. { A , B , C } /\ { { x , A } , { x , B } } C_ E ) <-> ( y e. { A , B , C } /\ { { y , A } , { y , B } } C_ E ) ) )
8	7	eu4 2518	. . . 4 |- ( E! x ( x e. { A , B , C } /\ { { x , A } , { x , B } } C_ E ) <-> ( E. x ( x e. { A , B , C } /\ { { x , A } , { x , B } } C_ E ) /\ A. x A. y ( ( ( x e. { A , B , C } /\ { { x , A } , { x , B } } C_ E ) /\ ( y e. { A , B , C } /\ { { y , A } , { y , B } } C_ E ) ) -> x = y ) ) )
9		frgr3v.v	. . . . . . . 8 |- V = (Vtx ` G )
10		frgr3v.e	. . . . . . . 8 |- E = (Edg ` G )
11	9, 10	frgr3vlem1 27137	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) -> A. x A. y ( ( ( x e. { A , B , C } /\ { { x , A } , { x , B } } C_ E ) /\ ( y e. { A , B , C } /\ { { y , A } , { y , B } } C_ E ) ) -> x = y ) )
12	11	3expa 1265	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) -> A. x A. y ( ( ( x e. { A , B , C } /\ { { x , A } , { x , B } } C_ E ) /\ ( y e. { A , B , C } /\ { { y , A } , { y , B } } C_ E ) ) -> x = y ) )
13	12	biantrud 528	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) -> ( E. x ( x e. { A , B , C } /\ { { x , A } , { x , B } } C_ E ) <-> ( E. x ( x e. { A , B , C } /\ { { x , A } , { x , B } } C_ E ) /\ A. x A. y ( ( ( x e. { A , B , C } /\ { { x , A } , { x , B } } C_ E ) /\ ( y e. { A , B , C } /\ { { y , A } , { y , B } } C_ E ) ) -> x = y ) ) ) )
14		vex 3203	. . . . . . . . . . 11 |- x e. _V
15	14	eltp 4230	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. { A , B , C } <-> ( x = A \/ x = B \/ x = C ) )
16		preq1 4268	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = A -> { x , A } = { A , A } )
17		preq1 4268	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = A -> { x , B } = { A , B } )
18	16, 17	preq12d 4276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = A -> { { x , A } , { x , B } } = { { A , A } , { A , B } } )
19	18	sseq1d 3632	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = A -> ( { { x , A } , { x , B } } C_ E <-> { { A , A } , { A , B } } C_ E ) )
20		prex 4909	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { A , A } e. _V
21		prex 4909	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { A , B } e. _V
22	20, 21	prss 4351	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( { A , A } e. E /\ { A , B } e. E ) <-> { { A , A } , { A , B } } C_ E )
23	10	usgredgne 26098	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( G e. USGraph /\ { A , A } e. E ) -> A =/= A )
24	23	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) /\ { A , A } e. E ) -> A =/= A )
25		df-ne 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A =/= A <-> -. A = A )
26		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- A = A
27	26	pm2.24i 146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( -. A = A -> ( { C , A } e. E /\ { C , B } e. E ) )
28	25, 27	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A =/= A -> ( { C , A } e. E /\ { C , B } e. E ) )
29	24, 28	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) /\ { A , A } e. E ) -> ( { C , A } e. E /\ { C , B } e. E ) )
30	29	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) -> ( { A , A } e. E -> ( { C , A } e. E /\ { C , B } e. E ) ) )
31	30	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) -> ( { A , A } e. E -> ( { C , A } e. E /\ { C , B } e. E ) ) )
32	31	com12 32	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { A , A } e. E -> ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) -> ( { C , A } e. E /\ { C , B } e. E ) ) )
33	32	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( { A , A } e. E /\ { A , B } e. E ) -> ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) -> ( { C , A } e. E /\ { C , B } e. E ) ) )
34	22, 33	sylbir 225	. . . . . . . . . . . 12 |- ( { { A , A } , { A , B } } C_ E -> ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) -> ( { C , A } e. E /\ { C , B } e. E ) ) )
35	19, 34	syl6bi 243	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = A -> ( { { x , A } , { x , B } } C_ E -> ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) -> ( { C , A } e. E /\ { C , B } e. E ) ) ) )
36		preq1 4268	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = B -> { x , A } = { B , A } )
37		preq1 4268	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = B -> { x , B } = { B , B } )
38	36, 37	preq12d 4276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = B -> { { x , A } , { x , B } } = { { B , A } , { B , B } } )
39	38	sseq1d 3632	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = B -> ( { { x , A } , { x , B } } C_ E <-> { { B , A } , { B , B } } C_ E ) )
40		prex 4909	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { B , A } e. _V
41		prex 4909	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { B , B } e. _V
42	40, 41	prss 4351	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( { B , A } e. E /\ { B , B } e. E ) <-> { { B , A } , { B , B } } C_ E )
43	10	usgredgne 26098	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( G e. USGraph /\ { B , B } e. E ) -> B =/= B )
44	43	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) /\ { B , B } e. E ) -> B =/= B )
45		df-ne 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( B =/= B <-> -. B = B )
46		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- B = B
47	46	pm2.24i 146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( -. B = B -> ( { C , A } e. E /\ { C , B } e. E ) )
48	45, 47	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( B =/= B -> ( { C , A } e. E /\ { C , B } e. E ) )
49	44, 48	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) /\ { B , B } e. E ) -> ( { C , A } e. E /\ { C , B } e. E ) )
50	49	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) -> ( { B , B } e. E -> ( { C , A } e. E /\ { C , B } e. E ) ) )
51	50	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) -> ( { B , B } e. E -> ( { C , A } e. E /\ { C , B } e. E ) ) )
52	51	com12 32	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { B , B } e. E -> ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) -> ( { C , A } e. E /\ { C , B } e. E ) ) )
53	52	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( { B , A } e. E /\ { B , B } e. E ) -> ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) -> ( { C , A } e. E /\ { C , B } e. E ) ) )
54	42, 53	sylbir 225	. . . . . . . . . . . 12 |- ( { { B , A } , { B , B } } C_ E -> ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) -> ( { C , A } e. E /\ { C , B } e. E ) ) )
55	39, 54	syl6bi 243	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = B -> ( { { x , A } , { x , B } } C_ E -> ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) -> ( { C , A } e. E /\ { C , B } e. E ) ) ) )
56		preq1 4268	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = C -> { x , A } = { C , A } )
57		preq1 4268	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = C -> { x , B } = { C , B } )
58	56, 57	preq12d 4276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = C -> { { x , A } , { x , B } } = { { C , A } , { C , B } } )
59	58	sseq1d 3632	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = C -> ( { { x , A } , { x , B } } C_ E <-> { { C , A } , { C , B } } C_ E ) )
60		prex 4909	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { C , A } e. _V
61		prex 4909	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { C , B } e. _V
62	60, 61	prss 4351	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( { C , A } e. E /\ { C , B } e. E ) <-> { { C , A } , { C , B } } C_ E )
63		ax-1 6	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( { C , A } e. E /\ { C , B } e. E ) -> ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) -> ( { C , A } e. E /\ { C , B } e. E ) ) )
64	62, 63	sylbir 225	. . . . . . . . . . . 12 |- ( { { C , A } , { C , B } } C_ E -> ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) -> ( { C , A } e. E /\ { C , B } e. E ) ) )
65	59, 64	syl6bi 243	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = C -> ( { { x , A } , { x , B } } C_ E -> ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) -> ( { C , A } e. E /\ { C , B } e. E ) ) ) )
66	35, 55, 65	3jaoi 1391	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = A \/ x = B \/ x = C ) -> ( { { x , A } , { x , B } } C_ E -> ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) -> ( { C , A } e. E /\ { C , B } e. E ) ) ) )
67	15, 66	sylbi 207	. . . . . . . . 9 |- ( x e. { A , B , C } -> ( { { x , A } , { x , B } } C_ E -> ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) -> ( { C , A } e. E /\ { C , B } e. E ) ) ) )
68	67	imp 445	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. { A , B , C } /\ { { x , A } , { x , B } } C_ E ) -> ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) -> ( { C , A } e. E /\ { C , B } e. E ) ) )
69	68	com12 32	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) -> ( ( x e. { A , B , C } /\ { { x , A } , { x , B } } C_ E ) -> ( { C , A } e. E /\ { C , B } e. E ) ) )
70	69	exlimdv 1861	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) -> ( E. x ( x e. { A , B , C } /\ { { x , A } , { x , B } } C_ E ) -> ( { C , A } e. E /\ { C , B } e. E ) ) )
71		prssi 4353	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( { C , A } e. E /\ { C , B } e. E ) -> { { C , A } , { C , B } } C_ E )
72	71	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) /\ ( { C , A } e. E /\ { C , B } e. E ) ) -> { { C , A } , { C , B } } C_ E )
73	72	3mix3d 1238	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) /\ ( { C , A } e. E /\ { C , B } e. E ) ) -> ( { { A , A } , { A , B } } C_ E \/ { { B , A } , { B , B } } C_ E \/ { { C , A } , { C , B } } C_ E ) )
74	19, 39, 59	rextpg 4237	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) -> ( E. x e. { A , B , C } { { x , A } , { x , B } } C_ E <-> ( { { A , A } , { A , B } } C_ E \/ { { B , A } , { B , B } } C_ E \/ { { C , A } , { C , B } } C_ E ) ) )
75	74	ad3antrrr 766	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) /\ ( { C , A } e. E /\ { C , B } e. E ) ) -> ( E. x e. { A , B , C } { { x , A } , { x , B } } C_ E <-> ( { { A , A } , { A , B } } C_ E \/ { { B , A } , { B , B } } C_ E \/ { { C , A } , { C , B } } C_ E ) ) )
76	73, 75	mpbird 247	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) /\ ( { C , A } e. E /\ { C , B } e. E ) ) -> E. x e. { A , B , C } { { x , A } , { x , B } } C_ E )
77		df-rex 2918	. . . . . . . 8 |- ( E. x e. { A , B , C } { { x , A } , { x , B } } C_ E <-> E. x ( x e. { A , B , C } /\ { { x , A } , { x , B } } C_ E ) )
78	76, 77	sylib 208	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) /\ ( { C , A } e. E /\ { C , B } e. E ) ) -> E. x ( x e. { A , B , C } /\ { { x , A } , { x , B } } C_ E ) )
79	78	ex 450	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) -> ( ( { C , A } e. E /\ { C , B } e. E ) -> E. x ( x e. { A , B , C } /\ { { x , A } , { x , B } } C_ E ) ) )
80	70, 79	impbid 202	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) -> ( E. x ( x e. { A , B , C } /\ { { x , A } , { x , B } } C_ E ) <-> ( { C , A } e. E /\ { C , B } e. E ) ) )
81	13, 80	bitr3d 270	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) -> ( ( E. x ( x e. { A , B , C } /\ { { x , A } , { x , B } } C_ E ) /\ A. x A. y ( ( ( x e. { A , B , C } /\ { { x , A } , { x , B } } C_ E ) /\ ( y e. { A , B , C } /\ { { y , A } , { y , B } } C_ E ) ) -> x = y ) ) <-> ( { C , A } e. E /\ { C , B } e. E ) ) )
82	8, 81	syl5bb 272	. . 3 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) -> ( E! x ( x e. { A , B , C } /\ { { x , A } , { x , B } } C_ E ) <-> ( { C , A } e. E /\ { C , B } e. E ) ) )
83	1, 82	syl5bb 272	. 2 |- ( ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) /\ ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) ) -> ( E! x e. { A , B , C } { { x , A } , { x , B } } C_ E <-> ( { C , A } e. E /\ { C , B } e. E ) ) )
84	83	ex 450	1 |- ( ( ( A e. X /\ B e. Y /\ C e. Z ) /\ ( A =/= B /\ A =/= C /\ B =/= C ) ) -> ( ( V = { A , B , C } /\ G e. USGraph ) -> ( E! x e. { A , B , C } { { x , A } , { x , B } } C_ E <-> ( { C , A } e. E /\ { C , B } e. E ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   \/ w3o 1036   /\ w3a 1037   A.wal 1481   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   E!weu 2470   =/= wne 2794   E.wrex 2913   E!wreu 2914   C_ wss 3574   {cpr 4179   {ctp 4181   ` cfv 5888  Vtxcvtx 25874  Edgcedg 25939   USGraph cusgr 26044

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-hash 13118  df-edg 25940  df-umgr 25978  df-usgr 26046

This theorem is referenced by:  frgr3v  27139