Theorem fsequb 12774

Description: The values of a finite real sequence have an upper bound. (Contributed by NM, 19-Sep-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fsequb	|- ( A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) e. RR -> E. x e. RR A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) < x )

Distinct variable groups:   x, k, F   k, M, x   k, N, x

Proof of Theorem fsequb

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfi 12771	. . 3 |- ( M ... N ) e. Fin
2		fimaxre3 10970	. . 3 |- ( ( ( M ... N ) e. Fin /\ A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) e. RR ) -> E. y e. RR A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) <_ y )
3	1, 2	mpan 706	. 2 |- ( A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) e. RR -> E. y e. RR A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) <_ y )
4		r19.26 3064	. . . . . 6 |- ( A. k e. ( M ... N ) ( ( F ` k ) e. RR /\ ( F ` k ) <_ y ) <-> ( A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) e. RR /\ A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) <_ y ) )
5		peano2re 10209	. . . . . . 7 |- ( y e. RR -> ( y + 1 ) e. RR )
6		ltp1 10861	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. RR -> y < ( y + 1 ) )
7	6	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. RR /\ ( F ` k ) e. RR ) -> y < ( y + 1 ) )
8		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. RR /\ ( F ` k ) e. RR ) -> ( F ` k ) e. RR )
9		simpl 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. RR /\ ( F ` k ) e. RR ) -> y e. RR )
10	5	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. RR /\ ( F ` k ) e. RR ) -> ( y + 1 ) e. RR )
11		lelttr 10128	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F ` k ) e. RR /\ y e. RR /\ ( y + 1 ) e. RR ) -> ( ( ( F ` k ) <_ y /\ y < ( y + 1 ) ) -> ( F ` k ) < ( y + 1 ) ) )
12	8, 9, 10, 11	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. RR /\ ( F ` k ) e. RR ) -> ( ( ( F ` k ) <_ y /\ y < ( y + 1 ) ) -> ( F ` k ) < ( y + 1 ) ) )
13	7, 12	mpan2d 710	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. RR /\ ( F ` k ) e. RR ) -> ( ( F ` k ) <_ y -> ( F ` k ) < ( y + 1 ) ) )
14	13	expimpd 629	. . . . . . . 8 |- ( y e. RR -> ( ( ( F ` k ) e. RR /\ ( F ` k ) <_ y ) -> ( F ` k ) < ( y + 1 ) ) )
15	14	ralimdv 2963	. . . . . . 7 |- ( y e. RR -> ( A. k e. ( M ... N ) ( ( F ` k ) e. RR /\ ( F ` k ) <_ y ) -> A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) < ( y + 1 ) ) )
16		breq2 4657	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( ( F ` k ) < x <-> ( F ` k ) < ( y + 1 ) ) )
17	16	ralbidv 2986	. . . . . . . 8 |- ( x = ( y + 1 ) -> ( A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) < x <-> A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) < ( y + 1 ) ) )
18	17	rspcev 3309	. . . . . . 7 |- ( ( ( y + 1 ) e. RR /\ A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) < ( y + 1 ) ) -> E. x e. RR A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) < x )
19	5, 15, 18	syl6an 568	. . . . . 6 |- ( y e. RR -> ( A. k e. ( M ... N ) ( ( F ` k ) e. RR /\ ( F ` k ) <_ y ) -> E. x e. RR A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) < x ) )
20	4, 19	syl5bir 233	. . . . 5 |- ( y e. RR -> ( ( A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) e. RR /\ A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) <_ y ) -> E. x e. RR A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) < x ) )
21	20	expd 452	. . . 4 |- ( y e. RR -> ( A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) e. RR -> ( A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) <_ y -> E. x e. RR A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) < x ) ) )
22	21	impcom 446	. . 3 |- ( ( A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) e. RR /\ y e. RR ) -> ( A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) <_ y -> E. x e. RR A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) < x ) )
23	22	rexlimdva 3031	. 2 |- ( A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) e. RR -> ( E. y e. RR A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) <_ y -> E. x e. RR A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) < x ) )
24	3, 23	mpd 15	1 |- ( A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) e. RR -> E. x e. RR A. k e. ( M ... N ) ( F ` k ) < x )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   RRcr 9935   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   ...cfz 12326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327

This theorem is referenced by: (None)