Theorem fimaxre3 10970

Description: A nonempty finite set of real numbers has a maximum (image set version). (Contributed by Mario Carneiro, 13-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fimaxre3	|- ( ( A e. Fin /\ A. y e. A B e. RR ) -> E. x e. RR A. y e. A B <_ x )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B

Allowed substitution hint:   B( y)

Proof of Theorem fimaxre3

Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r19.29 3072	. . . . . 6 |- ( ( A. y e. A B e. RR /\ E. y e. A z = B ) -> E. y e. A ( B e. RR /\ z = B ) )
2		eleq1 2689	. . . . . . . 8 |- ( z = B -> ( z e. RR <-> B e. RR ) )
3	2	biimparc 504	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR /\ z = B ) -> z e. RR )
4	3	rexlimivw 3029	. . . . . 6 |- ( E. y e. A ( B e. RR /\ z = B ) -> z e. RR )
5	1, 4	syl 17	. . . . 5 |- ( ( A. y e. A B e. RR /\ E. y e. A z = B ) -> z e. RR )
6	5	ex 450	. . . 4 |- ( A. y e. A B e. RR -> ( E. y e. A z = B -> z e. RR ) )
7	6	abssdv 3676	. . 3 |- ( A. y e. A B e. RR -> { z | E. y e. A z = B } C_ RR )
8		abrexfi 8266	. . 3 |- ( A e. Fin -> { z | E. y e. A z = B } e. Fin )
9		fimaxre2 10969	. . 3 |- ( ( { z | E. y e. A z = B } C_ RR /\ { z | E. y e. A z = B } e. Fin ) -> E. x e. RR A. w e. { z | E. y e. A z = B } w <_ x )
10	7, 8, 9	syl2anr 495	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ A. y e. A B e. RR ) -> E. x e. RR A. w e. { z | E. y e. A z = B } w <_ x )
11		r19.23v 3023	. . . . . . 7 |- ( A. y e. A ( w = B -> w <_ x ) <-> ( E. y e. A w = B -> w <_ x ) )
12	11	albii 1747	. . . . . 6 |- ( A. w A. y e. A ( w = B -> w <_ x ) <-> A. w ( E. y e. A w = B -> w <_ x ) )
13		ralcom4 3224	. . . . . 6 |- ( A. y e. A A. w ( w = B -> w <_ x ) <-> A. w A. y e. A ( w = B -> w <_ x ) )
14		eqeq1 2626	. . . . . . . 8 |- ( z = w -> ( z = B <-> w = B ) )
15	14	rexbidv 3052	. . . . . . 7 |- ( z = w -> ( E. y e. A z = B <-> E. y e. A w = B ) )
16	15	ralab 3367	. . . . . 6 |- ( A. w e. { z | E. y e. A z = B } w <_ x <-> A. w ( E. y e. A w = B -> w <_ x ) )
17	12, 13, 16	3bitr4i 292	. . . . 5 |- ( A. y e. A A. w ( w = B -> w <_ x ) <-> A. w e. { z | E. y e. A z = B } w <_ x )
18		nfv 1843	. . . . . . . 8 |- F/ w B <_ x
19		breq1 4656	. . . . . . . 8 |- ( w = B -> ( w <_ x <-> B <_ x ) )
20	18, 19	ceqsalg 3230	. . . . . . 7 |- ( B e. RR -> ( A. w ( w = B -> w <_ x ) <-> B <_ x ) )
21	20	ralimi 2952	. . . . . 6 |- ( A. y e. A B e. RR -> A. y e. A ( A. w ( w = B -> w <_ x ) <-> B <_ x ) )
22		ralbi 3068	. . . . . 6 |- ( A. y e. A ( A. w ( w = B -> w <_ x ) <-> B <_ x ) -> ( A. y e. A A. w ( w = B -> w <_ x ) <-> A. y e. A B <_ x ) )
23	21, 22	syl 17	. . . . 5 |- ( A. y e. A B e. RR -> ( A. y e. A A. w ( w = B -> w <_ x ) <-> A. y e. A B <_ x ) )
24	17, 23	syl5bbr 274	. . . 4 |- ( A. y e. A B e. RR -> ( A. w e. { z | E. y e. A z = B } w <_ x <-> A. y e. A B <_ x ) )
25	24	rexbidv 3052	. . 3 |- ( A. y e. A B e. RR -> ( E. x e. RR A. w e. { z | E. y e. A z = B } w <_ x <-> E. x e. RR A. y e. A B <_ x ) )
26	25	adantl 482	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ A. y e. A B e. RR ) -> ( E. x e. RR A. w e. { z | E. y e. A z = B } w <_ x <-> E. x e. RR A. y e. A B <_ x ) )
27	10, 26	mpbid 222	1 |- ( ( A e. Fin /\ A. y e. A B e. RR ) -> E. x e. RR A. y e. A B <_ x )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   Fincfn 7955   RRcr 9935   <_ cle 10075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080

This theorem is referenced by:  fsequb  12774  fsequb2  12775  caubnd  14098  limsupgre  14212  vdwnnlem3  15701  cnheibor  22754  bndth  22757  ovoliunlem2  23271  dchrisum  25181  ssfiunibd  39523  fimaxre4  39625  uzublem  39657  fourierdlem70  40393  fourierdlem71  40394  fourierdlem80  40403