Theorem funcringcsetcALTV2lem9 42044

Description: Lemma 9 for funcringcsetcALTV2 42045. (Contributed by AV, 15-Feb-2020.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
funcringcsetcALTV2.r	|- R = (RingCat ` U )
funcringcsetcALTV2.s	|- S = ( SetCat ` U )
funcringcsetcALTV2.b	|- B = ( Base ` R )
funcringcsetcALTV2.c	|- C = ( Base ` S )
funcringcsetcALTV2.u	|- ( ph -> U e. WUni )
funcringcsetcALTV2.f	|- ( ph -> F = ( x e. B |-> ( Base ` x ) ) )
funcringcsetcALTV2.g	|- ( ph -> G = ( x e. B , y e. B |-> ( _I |` ( x RingHom y ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
funcringcsetcALTV2lem9	|- ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ ( H e. ( X ( Hom ` R ) Y ) /\ K e. ( Y ( Hom ` R ) Z ) ) ) -> ( ( X G Z ) ` ( K ( <. X , Y >. (comp ` R ) Z ) H ) ) = ( ( ( Y G Z ) ` K ) ( <. ( F ` X ) , ( F ` Y ) >. (comp ` S ) ( F ` Z ) ) ( ( X G Y ) ` H ) ) )

Distinct variable groups:   x, B   x, X   ph, x   x, C   y, B, x   y, X   x, Y, y   ph, y   x, Z, y

Allowed substitution hints:   C( y)   R( x, y)   S( x, y)   U( x, y)   F( x, y)   G( x, y)   H( x, y)   K( x, y)

Proof of Theorem funcringcsetcALTV2lem9

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funcringcsetcALTV2.r	. . . . . 6 |- R = (RingCat ` U )
2		funcringcsetcALTV2.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` R )
3		funcringcsetcALTV2.u	. . . . . . 7 |- ( ph -> U e. WUni )
4	3	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> U e. WUni )
5		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( Hom ` R ) = ( Hom ` R )
6		simpr1 1067	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> X e. B )
7		simpr2 1068	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Y e. B )
8	1, 2, 4, 5, 6, 7	ringchom 42013	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X ( Hom ` R ) Y ) = ( X RingHom Y ) )
9	8	eleq2d 2687	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( H e. ( X ( Hom ` R ) Y ) <-> H e. ( X RingHom Y ) ) )
10		simpr3 1069	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Z e. B )
11	1, 2, 4, 5, 7, 10	ringchom 42013	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( Y ( Hom ` R ) Z ) = ( Y RingHom Z ) )
12	11	eleq2d 2687	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( K e. ( Y ( Hom ` R ) Z ) <-> K e. ( Y RingHom Z ) ) )
13	9, 12	anbi12d 747	. . 3 |- ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( H e. ( X ( Hom ` R ) Y ) /\ K e. ( Y ( Hom ` R ) Z ) ) <-> ( H e. ( X RingHom Y ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) ) )
14		rhmco 18737	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. ( Y RingHom Z ) /\ H e. ( X RingHom Y ) ) -> ( K o. H ) e. ( X RingHom Z ) )
15	14	ancoms 469	. . . . . . 7 |- ( ( H e. ( X RingHom Y ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) -> ( K o. H ) e. ( X RingHom Z ) )
16	15	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( X RingHom Y ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) ) -> ( K o. H ) e. ( X RingHom Z ) )
17		fvresi 6439	. . . . . 6 |- ( ( K o. H ) e. ( X RingHom Z ) -> ( ( _I |` ( X RingHom Z ) ) ` ( K o. H ) ) = ( K o. H ) )
18	16, 17	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( X RingHom Y ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) ) -> ( ( _I |` ( X RingHom Z ) ) ` ( K o. H ) ) = ( K o. H ) )
19		funcringcsetcALTV2.s	. . . . . . . . 9 |- S = ( SetCat ` U )
20		funcringcsetcALTV2.c	. . . . . . . . 9 |- C = ( Base ` S )
21		funcringcsetcALTV2.f	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F = ( x e. B |-> ( Base ` x ) ) )
22		funcringcsetcALTV2.g	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> G = ( x e. B , y e. B |-> ( _I |` ( x RingHom y ) ) ) )
23	1, 19, 2, 20, 3, 21, 22	funcringcsetcALTV2lem5 42040	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( X e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X G Z ) = ( _I |` ( X RingHom Z ) ) )
24	23	3adantr2 1221	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X G Z ) = ( _I |` ( X RingHom Z ) ) )
25	24	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( X RingHom Y ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) ) -> ( X G Z ) = ( _I |` ( X RingHom Z ) ) )
26	4	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( X RingHom Y ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) ) -> U e. WUni )
27		eqid 2622	. . . . . . 7 |- (comp ` R ) = (comp ` R )
28	1, 2, 3	ringcbas 42011	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> B = ( U i^i Ring ) )
29		inss1 3833	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( U i^i Ring ) C_ U
30	28, 29	syl6eqss 3655	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> B C_ U )
31	30	sseld 3602	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( X e. B -> X e. U ) )
32	31	com12 32	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. B -> ( ph -> X e. U ) )
33	32	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) -> ( ph -> X e. U ) )
34	33	impcom 446	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> X e. U )
35	34	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( X RingHom Y ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) ) -> X e. U )
36	30	sseld 3602	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( Y e. B -> Y e. U ) )
37	36	com12 32	. . . . . . . . . 10 |- ( Y e. B -> ( ph -> Y e. U ) )
38	37	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) -> ( ph -> Y e. U ) )
39	38	impcom 446	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Y e. U )
40	39	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( X RingHom Y ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) ) -> Y e. U )
41	30	sseld 3602	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( Z e. B -> Z e. U ) )
42	41	com12 32	. . . . . . . . . 10 |- ( Z e. B -> ( ph -> Z e. U ) )
43	42	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) -> ( ph -> Z e. U ) )
44	43	impcom 446	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Z e. U )
45	44	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( X RingHom Y ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) ) -> Z e. U )
46		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( Base ` X ) = ( Base ` X )
47		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( Base ` Y ) = ( Base ` Y )
48	46, 47	rhmf 18726	. . . . . . . 8 |- ( H e. ( X RingHom Y ) -> H : ( Base ` X ) --> ( Base ` Y ) )
49	48	ad2antrl 764	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( X RingHom Y ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) ) -> H : ( Base ` X ) --> ( Base ` Y ) )
50		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( Base ` Z ) = ( Base ` Z )
51	47, 50	rhmf 18726	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( Y RingHom Z ) -> K : ( Base ` Y ) --> ( Base ` Z ) )
52	51	ad2antll 765	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( X RingHom Y ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) ) -> K : ( Base ` Y ) --> ( Base ` Z ) )
53	1, 26, 27, 35, 40, 45, 49, 52	ringcco 42017	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( X RingHom Y ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) ) -> ( K ( <. X , Y >. (comp ` R ) Z ) H ) = ( K o. H ) )
54	25, 53	fveq12d 6197	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( X RingHom Y ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) ) -> ( ( X G Z ) ` ( K ( <. X , Y >. (comp ` R ) Z ) H ) ) = ( ( _I |` ( X RingHom Z ) ) ` ( K o. H ) ) )
55		eqid 2622	. . . . . . 7 |- (comp ` S ) = (comp ` S )
56	1, 19, 2, 20, 3, 21	funcringcsetcALTV2lem2 42037	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ X e. B ) -> ( F ` X ) e. U )
57	56	3ad2antr1 1226	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( F ` X ) e. U )
58	57	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( X RingHom Y ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) ) -> ( F ` X ) e. U )
59	1, 19, 2, 20, 3, 21	funcringcsetcALTV2lem2 42037	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ Y e. B ) -> ( F ` Y ) e. U )
60	59	3ad2antr2 1227	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( F ` Y ) e. U )
61	60	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( X RingHom Y ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) ) -> ( F ` Y ) e. U )
62	1, 19, 2, 20, 3, 21	funcringcsetcALTV2lem2 42037	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ Z e. B ) -> ( F ` Z ) e. U )
63	62	3ad2antr3 1228	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( F ` Z ) e. U )
64	63	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( X RingHom Y ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) ) -> ( F ` Z ) e. U )
65	1, 19, 2, 20, 3, 21	funcringcsetcALTV2lem1 42036	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ X e. B ) -> ( F ` X ) = ( Base ` X ) )
66	65	3ad2antr1 1226	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( F ` X ) = ( Base ` X ) )
67	1, 19, 2, 20, 3, 21	funcringcsetcALTV2lem1 42036	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ Y e. B ) -> ( F ` Y ) = ( Base ` Y ) )
68	67	3ad2antr2 1227	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( F ` Y ) = ( Base ` Y ) )
69	66, 68	feq23d 6040	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( H : ( F ` X ) --> ( F ` Y ) <-> H : ( Base ` X ) --> ( Base ` Y ) ) )
70	69	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( X RingHom Y ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) ) -> ( H : ( F ` X ) --> ( F ` Y ) <-> H : ( Base ` X ) --> ( Base ` Y ) ) )
71	49, 70	mpbird 247	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( X RingHom Y ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) ) -> H : ( F ` X ) --> ( F ` Y ) )
72		simpll 790	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( X RingHom Y ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) ) -> ph )
73		3simpa 1058	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) -> ( X e. B /\ Y e. B ) )
74	73	ad2antlr 763	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( X RingHom Y ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) ) -> ( X e. B /\ Y e. B ) )
75		simprl 794	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( X RingHom Y ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) ) -> H e. ( X RingHom Y ) )
76	1, 19, 2, 20, 3, 21, 22	funcringcsetcALTV2lem6 42041	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ H e. ( X RingHom Y ) ) -> ( ( X G Y ) ` H ) = H )
77	72, 74, 75, 76	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( X RingHom Y ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) ) -> ( ( X G Y ) ` H ) = H )
78	77	feq1d 6030	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( X RingHom Y ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) ) -> ( ( ( X G Y ) ` H ) : ( F ` X ) --> ( F ` Y ) <-> H : ( F ` X ) --> ( F ` Y ) ) )
79	71, 78	mpbird 247	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( X RingHom Y ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) ) -> ( ( X G Y ) ` H ) : ( F ` X ) --> ( F ` Y ) )
80	1, 19, 2, 20, 3, 21	funcringcsetcALTV2lem1 42036	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ Z e. B ) -> ( F ` Z ) = ( Base ` Z ) )
81	80	3ad2antr3 1228	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( F ` Z ) = ( Base ` Z ) )
82	68, 81	feq23d 6040	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( K : ( F ` Y ) --> ( F ` Z ) <-> K : ( Base ` Y ) --> ( Base ` Z ) ) )
83	82	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( X RingHom Y ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) ) -> ( K : ( F ` Y ) --> ( F ` Z ) <-> K : ( Base ` Y ) --> ( Base ` Z ) ) )
84	52, 83	mpbird 247	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( X RingHom Y ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) ) -> K : ( F ` Y ) --> ( F ` Z ) )
85		3simpc 1060	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) -> ( Y e. B /\ Z e. B ) )
86	85	ad2antlr 763	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( X RingHom Y ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) ) -> ( Y e. B /\ Z e. B ) )
87		simprr 796	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( X RingHom Y ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) ) -> K e. ( Y RingHom Z ) )
88	1, 19, 2, 20, 3, 21, 22	funcringcsetcALTV2lem6 42041	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) -> ( ( Y G Z ) ` K ) = K )
89	72, 86, 87, 88	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( X RingHom Y ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) ) -> ( ( Y G Z ) ` K ) = K )
90	89	feq1d 6030	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( X RingHom Y ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) ) -> ( ( ( Y G Z ) ` K ) : ( F ` Y ) --> ( F ` Z ) <-> K : ( F ` Y ) --> ( F ` Z ) ) )
91	84, 90	mpbird 247	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( X RingHom Y ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) ) -> ( ( Y G Z ) ` K ) : ( F ` Y ) --> ( F ` Z ) )
92	19, 26, 55, 58, 61, 64, 79, 91	setcco 16733	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( X RingHom Y ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) ) -> ( ( ( Y G Z ) ` K ) ( <. ( F ` X ) , ( F ` Y ) >. (comp ` S ) ( F ` Z ) ) ( ( X G Y ) ` H ) ) = ( ( ( Y G Z ) ` K ) o. ( ( X G Y ) ` H ) ) )
93	89, 77	coeq12d 5286	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( X RingHom Y ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) ) -> ( ( ( Y G Z ) ` K ) o. ( ( X G Y ) ` H ) ) = ( K o. H ) )
94	92, 93	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( X RingHom Y ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) ) -> ( ( ( Y G Z ) ` K ) ( <. ( F ` X ) , ( F ` Y ) >. (comp ` S ) ( F ` Z ) ) ( ( X G Y ) ` H ) ) = ( K o. H ) )
95	18, 54, 94	3eqtr4d 2666	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( H e. ( X RingHom Y ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) ) -> ( ( X G Z ) ` ( K ( <. X , Y >. (comp ` R ) Z ) H ) ) = ( ( ( Y G Z ) ` K ) ( <. ( F ` X ) , ( F ` Y ) >. (comp ` S ) ( F ` Z ) ) ( ( X G Y ) ` H ) ) )
96	95	ex 450	. . 3 |- ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( H e. ( X RingHom Y ) /\ K e. ( Y RingHom Z ) ) -> ( ( X G Z ) ` ( K ( <. X , Y >. (comp ` R ) Z ) H ) ) = ( ( ( Y G Z ) ` K ) ( <. ( F ` X ) , ( F ` Y ) >. (comp ` S ) ( F ` Z ) ) ( ( X G Y ) ` H ) ) ) )
97	13, 96	sylbid 230	. 2 |- ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( H e. ( X ( Hom ` R ) Y ) /\ K e. ( Y ( Hom ` R ) Z ) ) -> ( ( X G Z ) ` ( K ( <. X , Y >. (comp ` R ) Z ) H ) ) = ( ( ( Y G Z ) ` K ) ( <. ( F ` X ) , ( F ` Y ) >. (comp ` S ) ( F ` Z ) ) ( ( X G Y ) ` H ) ) ) )
98	97	3impia 1261	1 |- ( ( ph /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ ( H e. ( X ( Hom ` R ) Y ) /\ K e. ( Y ( Hom ` R ) Z ) ) ) -> ( ( X G Z ) ` ( K ( <. X , Y >. (comp ` R ) Z ) H ) ) = ( ( ( Y G Z ) ` K ) ( <. ( F ` X ) , ( F ` Y ) >. (comp ` S ) ( F ` Z ) ) ( ( X G Y ) ` H ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   i^i cin 3573   <.cop 4183   |-> cmpt 4729   _I cid 5023   |` cres 5116   o. ccom 5118   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652  WUnicwun 9522   Basecbs 15857   Hom chom 15952  compcco 15953   SetCatcsetc 16725   Ringcrg 18547   RingHom crh 18712  RingCatcringc 42003

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-wun 9524  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-resc 16471  df-setc 16726  df-estrc 16763  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-grp 17425  df-ghm 17658  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-rnghom 18715  df-ringc 42005

This theorem is referenced by:  funcringcsetcALTV2  42045