Theorem hashdvds 15480

Description: The number of numbers in a given residue class in a finite set of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 7-Jun-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
hashdvds.1	|- ( ph -> N e. NN )
hashdvds.2	|- ( ph -> A e. ZZ )
hashdvds.3	|- ( ph -> B e. ( ZZ>= ` ( A - 1 ) ) )
hashdvds.4	|- ( ph -> C e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
hashdvds	|- ( ph -> ( # ` { x e. ( A ... B ) | N || ( x - C ) } ) = ( ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) - ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, C   x, N

Allowed substitution hint:   ph( x)

Proof of Theorem hashdvds

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1zzd 11408	. . . . . 6 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
2		hashdvds.3	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> B e. ( ZZ>= ` ( A - 1 ) ) )
3		eluzelz 11697	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. ( ZZ>= ` ( A - 1 ) ) -> B e. ZZ )
4	2, 3	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B e. ZZ )
5		hashdvds.4	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> C e. ZZ )
6	4, 5	zsubcld 11487	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( B - C ) e. ZZ )
7	6	zred 11482	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( B - C ) e. RR )
8		hashdvds.1	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. NN )
9	7, 8	nndivred 11069	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( B - C ) / N ) e. RR )
10	9	flcld 12599	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) e. ZZ )
11		hashdvds.2	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A e. ZZ )
12		peano2zm 11420	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. ZZ -> ( A - 1 ) e. ZZ )
13	11, 12	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( A - 1 ) e. ZZ )
14	13, 5	zsubcld 11487	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( A - 1 ) - C ) e. ZZ )
15	14	zred 11482	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( A - 1 ) - C ) e. RR )
16	15, 8	nndivred 11069	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) e. RR )
17	16	flcld 12599	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) e. ZZ )
18	10, 17	zsubcld 11487	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) - ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) e. ZZ )
19		fzen 12358	. . . . . 6 |- ( ( 1 e. ZZ /\ ( ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) - ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) e. ZZ /\ ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) e. ZZ ) -> ( 1 ... ( ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) - ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) ) ~~ ( ( 1 + ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) ... ( ( ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) - ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) + ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) ) )
20	1, 18, 17, 19	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 ... ( ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) - ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) ) ~~ ( ( 1 + ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) ... ( ( ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) - ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) + ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) ) )
21		ax-1cn 9994	. . . . . . 7 |- 1 e. CC
22	17	zcnd 11483	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) e. CC )
23		addcom 10222	. . . . . . 7 |- ( ( 1 e. CC /\ ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) e. CC ) -> ( 1 + ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) = ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) )
24	21, 22, 23	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 + ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) = ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) )
25	10	zcnd 11483	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) e. CC )
26	25, 22	npcand 10396	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) - ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) + ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) = ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) )
27	24, 26	oveq12d 6668	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 1 + ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) ... ( ( ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) - ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) + ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) ) = ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) )
28	20, 27	breqtrd 4679	. . . 4 |- ( ph -> ( 1 ... ( ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) - ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) ) ~~ ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) )
29		ovexd 6680	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) e. _V )
30		fzfi 12771	. . . . . 6 |- ( A ... B ) e. Fin
31		rabexg 4812	. . . . . 6 |- ( ( A ... B ) e. Fin -> { x e. ( A ... B ) | N || ( x - C ) } e. _V )
32	30, 31	mp1i 13	. . . . 5 |- ( ph -> { x e. ( A ... B ) | N || ( x - C ) } e. _V )
33		elfzle1 12344	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) -> ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) <_ z )
34	33	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) <_ z )
35		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) -> z e. ZZ )
36		zltp1le 11427	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) e. ZZ /\ z e. ZZ ) -> ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) < z <-> ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) <_ z ) )
37	17, 35, 36	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) < z <-> ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) <_ z ) )
38	34, 37	mpbird 247	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) < z )
39		fllt 12607	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) e. RR /\ z e. ZZ ) -> ( ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) < z <-> ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) < z ) )
40	16, 35, 39	syl2an 494	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> ( ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) < z <-> ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) < z ) )
41	38, 40	mpbird 247	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) < z )
42	15	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> ( ( A - 1 ) - C ) e. RR )
43	35	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> z e. ZZ )
44	43	zred 11482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> z e. RR )
45	8	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> N e. RR )
46	8	nngt0d 11064	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 0 < N )
47	45, 46	jca 554	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( N e. RR /\ 0 < N ) )
48	47	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> ( N e. RR /\ 0 < N ) )
49		ltdivmul2 10900	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A - 1 ) - C ) e. RR /\ z e. RR /\ ( N e. RR /\ 0 < N ) ) -> ( ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) < z <-> ( ( A - 1 ) - C ) < ( z x. N ) ) )
50	42, 44, 48, 49	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> ( ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) < z <-> ( ( A - 1 ) - C ) < ( z x. N ) ) )
51	41, 50	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> ( ( A - 1 ) - C ) < ( z x. N ) )
52	13	zred 11482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( A - 1 ) e. RR )
53	52	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> ( A - 1 ) e. RR )
54	5	zred 11482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> C e. RR )
55	54	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> C e. RR )
56	8	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> N e. ZZ )
57	56	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> N e. ZZ )
58	43, 57	zmulcld 11488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> ( z x. N ) e. ZZ )
59	58	zred 11482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> ( z x. N ) e. RR )
60	53, 55, 59	ltsubaddd 10623	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> ( ( ( A - 1 ) - C ) < ( z x. N ) <-> ( A - 1 ) < ( ( z x. N ) + C ) ) )
61	51, 60	mpbid 222	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> ( A - 1 ) < ( ( z x. N ) + C ) )
62	11	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> A e. ZZ )
63	5	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> C e. ZZ )
64	58, 63	zaddcld 11486	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> ( ( z x. N ) + C ) e. ZZ )
65		zlem1lt 11429	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( z x. N ) + C ) e. ZZ ) -> ( A <_ ( ( z x. N ) + C ) <-> ( A - 1 ) < ( ( z x. N ) + C ) ) )
66	62, 64, 65	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> ( A <_ ( ( z x. N ) + C ) <-> ( A - 1 ) < ( ( z x. N ) + C ) ) )
67	61, 66	mpbird 247	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> A <_ ( ( z x. N ) + C ) )
68		elfzle2 12345	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) -> z <_ ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) )
69	68	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> z <_ ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) )
70		flge 12606	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( B - C ) / N ) e. RR /\ z e. ZZ ) -> ( z <_ ( ( B - C ) / N ) <-> z <_ ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) )
71	9, 35, 70	syl2an 494	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> ( z <_ ( ( B - C ) / N ) <-> z <_ ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) )
72	69, 71	mpbird 247	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> z <_ ( ( B - C ) / N ) )
73	7	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> ( B - C ) e. RR )
74		lemuldiv 10903	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. RR /\ ( B - C ) e. RR /\ ( N e. RR /\ 0 < N ) ) -> ( ( z x. N ) <_ ( B - C ) <-> z <_ ( ( B - C ) / N ) ) )
75	44, 73, 48, 74	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> ( ( z x. N ) <_ ( B - C ) <-> z <_ ( ( B - C ) / N ) ) )
76	72, 75	mpbird 247	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> ( z x. N ) <_ ( B - C ) )
77	4	zred 11482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B e. RR )
78	77	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> B e. RR )
79		leaddsub 10504	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z x. N ) e. RR /\ C e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( ( z x. N ) + C ) <_ B <-> ( z x. N ) <_ ( B - C ) ) )
80	59, 55, 78, 79	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> ( ( ( z x. N ) + C ) <_ B <-> ( z x. N ) <_ ( B - C ) ) )
81	76, 80	mpbird 247	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> ( ( z x. N ) + C ) <_ B )
82	4	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> B e. ZZ )
83		elfz 12332	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( z x. N ) + C ) e. ZZ /\ A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( ( z x. N ) + C ) e. ( A ... B ) <-> ( A <_ ( ( z x. N ) + C ) /\ ( ( z x. N ) + C ) <_ B ) ) )
84	64, 62, 82, 83	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> ( ( ( z x. N ) + C ) e. ( A ... B ) <-> ( A <_ ( ( z x. N ) + C ) /\ ( ( z x. N ) + C ) <_ B ) ) )
85	67, 81, 84	mpbir2and 957	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> ( ( z x. N ) + C ) e. ( A ... B ) )
86		dvdsmul2 15004	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> N || ( z x. N ) )
87	43, 57, 86	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> N || ( z x. N ) )
88	58	zcnd 11483	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> ( z x. N ) e. CC )
89	5	zcnd 11483	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> C e. CC )
90	89	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> C e. CC )
91	88, 90	pncand 10393	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> ( ( ( z x. N ) + C ) - C ) = ( z x. N ) )
92	87, 91	breqtrrd 4681	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> N || ( ( ( z x. N ) + C ) - C ) )
93		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( ( z x. N ) + C ) -> ( x - C ) = ( ( ( z x. N ) + C ) - C ) )
94	93	breq2d 4665	. . . . . . . 8 |- ( x = ( ( z x. N ) + C ) -> ( N || ( x - C ) <-> N || ( ( ( z x. N ) + C ) - C ) ) )
95	94	elrab 3363	. . . . . . 7 |- ( ( ( z x. N ) + C ) e. { x e. ( A ... B ) | N || ( x - C ) } <-> ( ( ( z x. N ) + C ) e. ( A ... B ) /\ N || ( ( ( z x. N ) + C ) - C ) ) )
96	85, 92, 95	sylanbrc 698	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> ( ( z x. N ) + C ) e. { x e. ( A ... B ) | N || ( x - C ) } )
97	96	ex 450	. . . . 5 |- ( ph -> ( z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) -> ( ( z x. N ) + C ) e. { x e. ( A ... B ) | N || ( x - C ) } ) )
98		oveq1 6657	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( x - C ) = ( y - C ) )
99	98	breq2d 4665	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( N || ( x - C ) <-> N || ( y - C ) ) )
100	99	elrab 3363	. . . . . 6 |- ( y e. { x e. ( A ... B ) | N || ( x - C ) } <-> ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) )
101	52	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> ( A - 1 ) e. RR )
102		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. ( A ... B ) -> y e. ZZ )
103	102	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> y e. ZZ )
104	103	zred 11482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> y e. RR )
105	54	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> C e. RR )
106		elfzle1 12344	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. ( A ... B ) -> A <_ y )
107	106	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> A <_ y )
108	11	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> A e. ZZ )
109		zlem1lt 11429	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( A <_ y <-> ( A - 1 ) < y ) )
110	108, 103, 109	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> ( A <_ y <-> ( A - 1 ) < y ) )
111	107, 110	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> ( A - 1 ) < y )
112	101, 104, 105, 111	ltsub1dd 10639	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> ( ( A - 1 ) - C ) < ( y - C ) )
113	15	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> ( ( A - 1 ) - C ) e. RR )
114	5	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> C e. ZZ )
115	103, 114	zsubcld 11487	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> ( y - C ) e. ZZ )
116	115	zred 11482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> ( y - C ) e. RR )
117	47	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> ( N e. RR /\ 0 < N ) )
118		ltdiv1 10887	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A - 1 ) - C ) e. RR /\ ( y - C ) e. RR /\ ( N e. RR /\ 0 < N ) ) -> ( ( ( A - 1 ) - C ) < ( y - C ) <-> ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) < ( ( y - C ) / N ) ) )
119	113, 116, 117, 118	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> ( ( ( A - 1 ) - C ) < ( y - C ) <-> ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) < ( ( y - C ) / N ) ) )
120	112, 119	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) < ( ( y - C ) / N ) )
121	16	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) e. RR )
122		simprr 796	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> N || ( y - C ) )
123	56	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> N e. ZZ )
124	8	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> N =/= 0 )
125	124	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> N =/= 0 )
126		dvdsval2 14986	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. ZZ /\ N =/= 0 /\ ( y - C ) e. ZZ ) -> ( N || ( y - C ) <-> ( ( y - C ) / N ) e. ZZ ) )
127	123, 125, 115, 126	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> ( N || ( y - C ) <-> ( ( y - C ) / N ) e. ZZ ) )
128	122, 127	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> ( ( y - C ) / N ) e. ZZ )
129		fllt 12607	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) e. RR /\ ( ( y - C ) / N ) e. ZZ ) -> ( ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) < ( ( y - C ) / N ) <-> ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) < ( ( y - C ) / N ) ) )
130	121, 128, 129	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> ( ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) < ( ( y - C ) / N ) <-> ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) < ( ( y - C ) / N ) ) )
131	120, 130	mpbid 222	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) < ( ( y - C ) / N ) )
132	17	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) e. ZZ )
133		zltp1le 11427	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) e. ZZ /\ ( ( y - C ) / N ) e. ZZ ) -> ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) < ( ( y - C ) / N ) <-> ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) <_ ( ( y - C ) / N ) ) )
134	132, 128, 133	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) < ( ( y - C ) / N ) <-> ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) <_ ( ( y - C ) / N ) ) )
135	131, 134	mpbid 222	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) <_ ( ( y - C ) / N ) )
136	77	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> B e. RR )
137		elfzle2 12345	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. ( A ... B ) -> y <_ B )
138	137	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> y <_ B )
139	104, 136, 105, 138	lesub1dd 10643	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> ( y - C ) <_ ( B - C ) )
140	7	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> ( B - C ) e. RR )
141		lediv1 10888	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y - C ) e. RR /\ ( B - C ) e. RR /\ ( N e. RR /\ 0 < N ) ) -> ( ( y - C ) <_ ( B - C ) <-> ( ( y - C ) / N ) <_ ( ( B - C ) / N ) ) )
142	116, 140, 117, 141	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> ( ( y - C ) <_ ( B - C ) <-> ( ( y - C ) / N ) <_ ( ( B - C ) / N ) ) )
143	139, 142	mpbid 222	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> ( ( y - C ) / N ) <_ ( ( B - C ) / N ) )
144	9	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> ( ( B - C ) / N ) e. RR )
145		flge 12606	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( B - C ) / N ) e. RR /\ ( ( y - C ) / N ) e. ZZ ) -> ( ( ( y - C ) / N ) <_ ( ( B - C ) / N ) <-> ( ( y - C ) / N ) <_ ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) )
146	144, 128, 145	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> ( ( ( y - C ) / N ) <_ ( ( B - C ) / N ) <-> ( ( y - C ) / N ) <_ ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) )
147	143, 146	mpbid 222	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> ( ( y - C ) / N ) <_ ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) )
148	17	peano2zd 11485	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) e. ZZ )
149	148	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) e. ZZ )
150	10	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) e. ZZ )
151		elfz 12332	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( y - C ) / N ) e. ZZ /\ ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) e. ZZ /\ ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) e. ZZ ) -> ( ( ( y - C ) / N ) e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) <-> ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) <_ ( ( y - C ) / N ) /\ ( ( y - C ) / N ) <_ ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) )
152	128, 149, 150, 151	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> ( ( ( y - C ) / N ) e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) <-> ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) <_ ( ( y - C ) / N ) /\ ( ( y - C ) / N ) <_ ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) )
153	135, 147, 152	mpbir2and 957	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> ( ( y - C ) / N ) e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) )
154	153	ex 450	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) -> ( ( y - C ) / N ) e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) )
155	100, 154	syl5bi 232	. . . . 5 |- ( ph -> ( y e. { x e. ( A ... B ) | N || ( x - C ) } -> ( ( y - C ) / N ) e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) )
156	100	anbi2i 730	. . . . . . 7 |- ( ( z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) /\ y e. { x e. ( A ... B ) | N || ( x - C ) } ) <-> ( z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) )
157	115	zcnd 11483	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> ( y - C ) e. CC )
158	157	adantrl 752	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) ) -> ( y - C ) e. CC )
159	43	zcnd 11483	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ) -> z e. CC )
160	159	adantrr 753	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) ) -> z e. CC )
161	8	nncnd 11036	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. CC )
162	161	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) ) -> N e. CC )
163	124	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) ) -> N =/= 0 )
164	158, 160, 162, 163	divmul3d 10835	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) ) -> ( ( ( y - C ) / N ) = z <-> ( y - C ) = ( z x. N ) ) )
165	103	zcnd 11483	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) -> y e. CC )
166	165	adantrl 752	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) ) -> y e. CC )
167	89	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) ) -> C e. CC )
168	88	adantrr 753	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) ) -> ( z x. N ) e. CC )
169	166, 167, 168	subadd2d 10411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) ) -> ( ( y - C ) = ( z x. N ) <-> ( ( z x. N ) + C ) = y ) )
170	164, 169	bitrd 268	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) ) -> ( ( ( y - C ) / N ) = z <-> ( ( z x. N ) + C ) = y ) )
171		eqcom 2629	. . . . . . . 8 |- ( z = ( ( y - C ) / N ) <-> ( ( y - C ) / N ) = z )
172		eqcom 2629	. . . . . . . 8 |- ( y = ( ( z x. N ) + C ) <-> ( ( z x. N ) + C ) = y )
173	170, 171, 172	3bitr4g 303	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) /\ ( y e. ( A ... B ) /\ N || ( y - C ) ) ) ) -> ( z = ( ( y - C ) / N ) <-> y = ( ( z x. N ) + C ) ) )
174	156, 173	sylan2b 492	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) /\ y e. { x e. ( A ... B ) | N || ( x - C ) } ) ) -> ( z = ( ( y - C ) / N ) <-> y = ( ( z x. N ) + C ) ) )
175	174	ex 450	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( z e. ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) /\ y e. { x e. ( A ... B ) | N || ( x - C ) } ) -> ( z = ( ( y - C ) / N ) <-> y = ( ( z x. N ) + C ) ) ) )
176	29, 32, 97, 155, 175	en3d 7992	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ~~ { x e. ( A ... B ) | N || ( x - C ) } )
177		entr 8008	. . . 4 |- ( ( ( 1 ... ( ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) - ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) ) ~~ ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) /\ ( ( ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) ) ~~ { x e. ( A ... B ) | N || ( x - C ) } ) -> ( 1 ... ( ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) - ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) ) ~~ { x e. ( A ... B ) | N || ( x - C ) } )
178	28, 176, 177	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> ( 1 ... ( ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) - ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) ) ~~ { x e. ( A ... B ) | N || ( x - C ) } )
179		fzfi 12771	. . . 4 |- ( 1 ... ( ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) - ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) ) e. Fin
180		ssrab2 3687	. . . . 5 |- { x e. ( A ... B ) | N || ( x - C ) } C_ ( A ... B )
181		ssfi 8180	. . . . 5 |- ( ( ( A ... B ) e. Fin /\ { x e. ( A ... B ) | N || ( x - C ) } C_ ( A ... B ) ) -> { x e. ( A ... B ) | N || ( x - C ) } e. Fin )
182	30, 180, 181	mp2an 708	. . . 4 |- { x e. ( A ... B ) | N || ( x - C ) } e. Fin
183		hashen 13135	. . . 4 |- ( ( ( 1 ... ( ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) - ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) ) e. Fin /\ { x e. ( A ... B ) | N || ( x - C ) } e. Fin ) -> ( ( # ` ( 1 ... ( ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) - ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) ) ) = ( # ` { x e. ( A ... B ) | N || ( x - C ) } ) <-> ( 1 ... ( ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) - ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) ) ~~ { x e. ( A ... B ) | N || ( x - C ) } ) )
184	179, 182, 183	mp2an 708	. . 3 |- ( ( # ` ( 1 ... ( ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) - ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) ) ) = ( # ` { x e. ( A ... B ) | N || ( x - C ) } ) <-> ( 1 ... ( ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) - ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) ) ~~ { x e. ( A ... B ) | N || ( x - C ) } )
185	178, 184	sylibr 224	. 2 |- ( ph -> ( # ` ( 1 ... ( ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) - ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) ) ) = ( # ` { x e. ( A ... B ) | N || ( x - C ) } ) )
186		eluzle 11700	. . . . . . 7 |- ( B e. ( ZZ>= ` ( A - 1 ) ) -> ( A - 1 ) <_ B )
187	2, 186	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A - 1 ) <_ B )
188		zre 11381	. . . . . . . 8 |- ( ( A - 1 ) e. ZZ -> ( A - 1 ) e. RR )
189		zre 11381	. . . . . . . 8 |- ( B e. ZZ -> B e. RR )
190		zre 11381	. . . . . . . 8 |- ( C e. ZZ -> C e. RR )
191		lesub1 10522	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A - 1 ) e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A - 1 ) <_ B <-> ( ( A - 1 ) - C ) <_ ( B - C ) ) )
192	188, 189, 190, 191	syl3an 1368	. . . . . . 7 |- ( ( ( A - 1 ) e. ZZ /\ B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( ( A - 1 ) <_ B <-> ( ( A - 1 ) - C ) <_ ( B - C ) ) )
193	13, 4, 5, 192	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( A - 1 ) <_ B <-> ( ( A - 1 ) - C ) <_ ( B - C ) ) )
194	187, 193	mpbid 222	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A - 1 ) - C ) <_ ( B - C ) )
195		lediv1 10888	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A - 1 ) - C ) e. RR /\ ( B - C ) e. RR /\ ( N e. RR /\ 0 < N ) ) -> ( ( ( A - 1 ) - C ) <_ ( B - C ) <-> ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) <_ ( ( B - C ) / N ) ) )
196	15, 7, 47, 195	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( A - 1 ) - C ) <_ ( B - C ) <-> ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) <_ ( ( B - C ) / N ) ) )
197	194, 196	mpbid 222	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) <_ ( ( B - C ) / N ) )
198		flword2 12614	. . . 4 |- ( ( ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) e. RR /\ ( ( B - C ) / N ) e. RR /\ ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) <_ ( ( B - C ) / N ) ) -> ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) e. ( ZZ>= ` ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) )
199	16, 9, 197, 198	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ph -> ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) e. ( ZZ>= ` ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) )
200		uznn0sub 11719	. . 3 |- ( ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) e. ( ZZ>= ` ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) -> ( ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) - ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) e. NN0 )
201		hashfz1 13134	. . 3 |- ( ( ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) - ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) e. NN0 -> ( # ` ( 1 ... ( ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) - ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) ) ) = ( ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) - ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) )
202	199, 200, 201	3syl 18	. 2 |- ( ph -> ( # ` ( 1 ... ( ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) - ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) ) ) = ( ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) - ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) )
203	185, 202	eqtr3d 2658	1 |- ( ph -> ( # ` { x e. ( A ... B ) | N || ( x - C ) } ) = ( ( |_ ` ( ( B - C ) / N ) ) - ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) - C ) / N ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   {crab 2916   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ~~ cen 7952   Fincfn 7955   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   |_cfl 12591   #chash 13117   || cdvds 14983

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fl 12593  df-hash 13118  df-dvds 14984

This theorem is referenced by:  phiprmpw  15481  prmreclem4  15623  ppiub  24929  hashnzfz  38519