Theorem birthdaylem2 24679

Description: For general N and K, count the fraction of injective functions from 1 ... K to 1 ... N. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
birthday.s	|- S = { f | f : ( 1 ... K ) --> ( 1 ... N ) }
birthday.t	|- T = { f | f : ( 1 ... K ) -1-1-> ( 1 ... N ) }

Assertion

Ref	Expression
birthdaylem2	|- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( # ` T ) / ( # ` S ) ) = ( exp ` sum_ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ( log ` ( 1 - ( k / N ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   f, k, K   f, N, k

Allowed substitution hints:   S( f, k)   T( f, k)

Proof of Theorem birthdaylem2

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		birthday.t	. . . . . . 7 |- T = { f | f : ( 1 ... K ) -1-1-> ( 1 ... N ) }
2	1	fveq2i 6194	. . . . . 6 |- ( # ` T ) = ( # ` { f | f : ( 1 ... K ) -1-1-> ( 1 ... N ) } )
3		fzfi 12771	. . . . . . 7 |- ( 1 ... K ) e. Fin
4		fzfi 12771	. . . . . . 7 |- ( 1 ... N ) e. Fin
5		hashf1 13241	. . . . . . 7 |- ( ( ( 1 ... K ) e. Fin /\ ( 1 ... N ) e. Fin ) -> ( # ` { f | f : ( 1 ... K ) -1-1-> ( 1 ... N ) } ) = ( ( ! ` ( # ` ( 1 ... K ) ) ) x. ( ( # ` ( 1 ... N ) ) _C ( # ` ( 1 ... K ) ) ) ) )
6	3, 4, 5	mp2an 708	. . . . . 6 |- ( # ` { f | f : ( 1 ... K ) -1-1-> ( 1 ... N ) } ) = ( ( ! ` ( # ` ( 1 ... K ) ) ) x. ( ( # ` ( 1 ... N ) ) _C ( # ` ( 1 ... K ) ) ) )
7	2, 6	eqtri 2644	. . . . 5 |- ( # ` T ) = ( ( ! ` ( # ` ( 1 ... K ) ) ) x. ( ( # ` ( 1 ... N ) ) _C ( # ` ( 1 ... K ) ) ) )
8		elfznn0 12433	. . . . . . . . 9 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> K e. NN0 )
9	8	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> K e. NN0 )
10		hashfz1 13134	. . . . . . . 8 |- ( K e. NN0 -> ( # ` ( 1 ... K ) ) = K )
11	9, 10	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( # ` ( 1 ... K ) ) = K )
12	11	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ! ` ( # ` ( 1 ... K ) ) ) = ( ! ` K ) )
13		nnnn0 11299	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
14		hashfz1 13134	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> ( # ` ( 1 ... N ) ) = N )
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( # ` ( 1 ... N ) ) = N )
16	15	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( # ` ( 1 ... N ) ) = N )
17	16, 11	oveq12d 6668	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( # ` ( 1 ... N ) ) _C ( # ` ( 1 ... K ) ) ) = ( N _C K ) )
18	12, 17	oveq12d 6668	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( ! ` ( # ` ( 1 ... K ) ) ) x. ( ( # ` ( 1 ... N ) ) _C ( # ` ( 1 ... K ) ) ) ) = ( ( ! ` K ) x. ( N _C K ) ) )
19	7, 18	syl5eq 2668	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( # ` T ) = ( ( ! ` K ) x. ( N _C K ) ) )
20	13	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> N e. NN0 )
21		faccl 13070	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) e. NN )
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ! ` N ) e. NN )
23	22	nncnd 11036	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ! ` N ) e. CC )
24		fznn0sub 12373	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> ( N - K ) e. NN0 )
25	24	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( N - K ) e. NN0 )
26		faccl 13070	. . . . . . . . 9 |- ( ( N - K ) e. NN0 -> ( ! ` ( N - K ) ) e. NN )
27	25, 26	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ! ` ( N - K ) ) e. NN )
28	27	nncnd 11036	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ! ` ( N - K ) ) e. CC )
29	27	nnne0d 11065	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ! ` ( N - K ) ) =/= 0 )
30	23, 28, 29	divcld 10801	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( ! ` N ) / ( ! ` ( N - K ) ) ) e. CC )
31		faccl 13070	. . . . . . . 8 |- ( K e. NN0 -> ( ! ` K ) e. NN )
32	9, 31	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ! ` K ) e. NN )
33	32	nncnd 11036	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ! ` K ) e. CC )
34	32	nnne0d 11065	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ! ` K ) =/= 0 )
35	30, 33, 34	divcan2d 10803	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( ! ` K ) x. ( ( ( ! ` N ) / ( ! ` ( N - K ) ) ) / ( ! ` K ) ) ) = ( ( ! ` N ) / ( ! ` ( N - K ) ) ) )
36		bcval2 13092	. . . . . . . 8 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> ( N _C K ) = ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) )
37	36	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( N _C K ) = ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) )
38	23, 28, 33, 29, 34	divdiv1d 10832	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( ( ! ` N ) / ( ! ` ( N - K ) ) ) / ( ! ` K ) ) = ( ( ! ` N ) / ( ( ! ` ( N - K ) ) x. ( ! ` K ) ) ) )
39	37, 38	eqtr4d 2659	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( N _C K ) = ( ( ( ! ` N ) / ( ! ` ( N - K ) ) ) / ( ! ` K ) ) )
40	39	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( ! ` K ) x. ( N _C K ) ) = ( ( ! ` K ) x. ( ( ( ! ` N ) / ( ! ` ( N - K ) ) ) / ( ! ` K ) ) ) )
41		fzfid 12772	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( 1 ... N ) e. Fin )
42		elfznn 12370	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( 1 ... N ) -> n e. NN )
43	42	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> n e. NN )
44		nnrp 11842	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN -> n e. RR+ )
45	44	relogcld 24369	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> ( log ` n ) e. RR )
46	45	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN -> ( log ` n ) e. CC )
47	43, 46	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) /\ n e. ( 1 ... N ) ) -> ( log ` n ) e. CC )
48	41, 47	fsumcl 14464	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... N ) ( log ` n ) e. CC )
49		fzfid 12772	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( 1 ... ( N - K ) ) e. Fin )
50		elfznn 12370	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( 1 ... ( N - K ) ) -> n e. NN )
51	50	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) /\ n e. ( 1 ... ( N - K ) ) ) -> n e. NN )
52	51, 46	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) /\ n e. ( 1 ... ( N - K ) ) ) -> ( log ` n ) e. CC )
53	49, 52	fsumcl 14464	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... ( N - K ) ) ( log ` n ) e. CC )
54		efsub 14830	. . . . . . 7 |- ( ( sum_ n e. ( 1 ... N ) ( log ` n ) e. CC /\ sum_ n e. ( 1 ... ( N - K ) ) ( log ` n ) e. CC ) -> ( exp ` ( sum_ n e. ( 1 ... N ) ( log ` n ) - sum_ n e. ( 1 ... ( N - K ) ) ( log ` n ) ) ) = ( ( exp ` sum_ n e. ( 1 ... N ) ( log ` n ) ) / ( exp ` sum_ n e. ( 1 ... ( N - K ) ) ( log ` n ) ) ) )
55	48, 53, 54	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( exp ` ( sum_ n e. ( 1 ... N ) ( log ` n ) - sum_ n e. ( 1 ... ( N - K ) ) ( log ` n ) ) ) = ( ( exp ` sum_ n e. ( 1 ... N ) ( log ` n ) ) / ( exp ` sum_ n e. ( 1 ... ( N - K ) ) ( log ` n ) ) ) )
56	25	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( N - K ) e. RR )
57	56	ltp1d 10954	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( N - K ) < ( ( N - K ) + 1 ) )
58		fzdisj 12368	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N - K ) < ( ( N - K ) + 1 ) -> ( ( 1 ... ( N - K ) ) i^i ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ) = (/) )
59	57, 58	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( 1 ... ( N - K ) ) i^i ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ) = (/) )
60		fznn0sub2 12446	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> ( N - K ) e. ( 0 ... N ) )
61	60	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( N - K ) e. ( 0 ... N ) )
62		elfzle2 12345	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N - K ) e. ( 0 ... N ) -> ( N - K ) <_ N )
63	61, 62	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( N - K ) <_ N )
64	63	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) /\ ( N - K ) e. NN ) -> ( N - K ) <_ N )
65		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) /\ ( N - K ) e. NN ) -> ( N - K ) e. NN )
66		nnuz 11723	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
67	65, 66	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) /\ ( N - K ) e. NN ) -> ( N - K ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
68		nnz 11399	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
69	68	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) /\ ( N - K ) e. NN ) -> N e. ZZ )
70		elfz5 12334	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N - K ) e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ N e. ZZ ) -> ( ( N - K ) e. ( 1 ... N ) <-> ( N - K ) <_ N ) )
71	67, 69, 70	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) /\ ( N - K ) e. NN ) -> ( ( N - K ) e. ( 1 ... N ) <-> ( N - K ) <_ N ) )
72	64, 71	mpbird 247	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) /\ ( N - K ) e. NN ) -> ( N - K ) e. ( 1 ... N ) )
73		fzsplit 12367	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N - K ) e. ( 1 ... N ) -> ( 1 ... N ) = ( ( 1 ... ( N - K ) ) u. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ) )
74	72, 73	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) /\ ( N - K ) e. NN ) -> ( 1 ... N ) = ( ( 1 ... ( N - K ) ) u. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ) )
75		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) /\ ( N - K ) = 0 ) -> ( N - K ) = 0 )
76	75	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) /\ ( N - K ) = 0 ) -> ( 1 ... ( N - K ) ) = ( 1 ... 0 ) )
77		fz10 12362	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1 ... 0 ) = (/)
78	76, 77	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) /\ ( N - K ) = 0 ) -> ( 1 ... ( N - K ) ) = (/) )
79	78	uneq1d 3766	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) /\ ( N - K ) = 0 ) -> ( ( 1 ... ( N - K ) ) u. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ) = ( (/) u. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ) )
80		uncom 3757	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( (/) u. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ) = ( ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) u. (/) )
81		un0 3967	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) u. (/) ) = ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N )
82	80, 81	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( (/) u. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ) = ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N )
83	75	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) /\ ( N - K ) = 0 ) -> ( ( N - K ) + 1 ) = ( 0 + 1 ) )
84		1e0p1 11552	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 = ( 0 + 1 )
85	83, 84	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) /\ ( N - K ) = 0 ) -> ( ( N - K ) + 1 ) = 1 )
86	85	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) /\ ( N - K ) = 0 ) -> ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) = ( 1 ... N ) )
87	82, 86	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) /\ ( N - K ) = 0 ) -> ( (/) u. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ) = ( 1 ... N ) )
88	79, 87	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) /\ ( N - K ) = 0 ) -> ( 1 ... N ) = ( ( 1 ... ( N - K ) ) u. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ) )
89		elnn0 11294	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N - K ) e. NN0 <-> ( ( N - K ) e. NN \/ ( N - K ) = 0 ) )
90	25, 89	sylib 208	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( N - K ) e. NN \/ ( N - K ) = 0 ) )
91	74, 88, 90	mpjaodan 827	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( 1 ... N ) = ( ( 1 ... ( N - K ) ) u. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ) )
92	59, 91, 41, 47	fsumsplit 14471	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> sum_ n e. ( 1 ... N ) ( log ` n ) = ( sum_ n e. ( 1 ... ( N - K ) ) ( log ` n ) + sum_ n e. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ( log ` n ) ) )
93	92	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( sum_ n e. ( 1 ... N ) ( log ` n ) - sum_ n e. ( 1 ... ( N - K ) ) ( log ` n ) ) = ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( N - K ) ) ( log ` n ) + sum_ n e. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ( log ` n ) ) - sum_ n e. ( 1 ... ( N - K ) ) ( log ` n ) ) )
94		fzfid 12772	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) e. Fin )
95		nn0p1nn 11332	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N - K ) e. NN0 -> ( ( N - K ) + 1 ) e. NN )
96	25, 95	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( N - K ) + 1 ) e. NN )
97		elfzuz 12338	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) -> n e. ( ZZ>= ` ( ( N - K ) + 1 ) ) )
98		eluznn 11758	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N - K ) + 1 ) e. NN /\ n e. ( ZZ>= ` ( ( N - K ) + 1 ) ) ) -> n e. NN )
99	96, 97, 98	syl2an 494	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) /\ n e. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ) -> n e. NN )
100	99, 46	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) /\ n e. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ) -> ( log ` n ) e. CC )
101	94, 100	fsumcl 14464	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> sum_ n e. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ( log ` n ) e. CC )
102	53, 101	pncan2d 10394	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( sum_ n e. ( 1 ... ( N - K ) ) ( log ` n ) + sum_ n e. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ( log ` n ) ) - sum_ n e. ( 1 ... ( N - K ) ) ( log ` n ) ) = sum_ n e. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ( log ` n ) )
103	93, 102	eqtr2d 2657	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> sum_ n e. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ( log ` n ) = ( sum_ n e. ( 1 ... N ) ( log ` n ) - sum_ n e. ( 1 ... ( N - K ) ) ( log ` n ) ) )
104	103	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( exp ` sum_ n e. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ( log ` n ) ) = ( exp ` ( sum_ n e. ( 1 ... N ) ( log ` n ) - sum_ n e. ( 1 ... ( N - K ) ) ( log ` n ) ) ) )
105	22	nnne0d 11065	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ! ` N ) =/= 0 )
106		eflog 24323	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ! ` N ) e. CC /\ ( ! ` N ) =/= 0 ) -> ( exp ` ( log ` ( ! ` N ) ) ) = ( ! ` N ) )
107	23, 105, 106	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( exp ` ( log ` ( ! ` N ) ) ) = ( ! ` N ) )
108		logfac 24347	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN0 -> ( log ` ( ! ` N ) ) = sum_ n e. ( 1 ... N ) ( log ` n ) )
109	20, 108	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( log ` ( ! ` N ) ) = sum_ n e. ( 1 ... N ) ( log ` n ) )
110	109	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( exp ` ( log ` ( ! ` N ) ) ) = ( exp ` sum_ n e. ( 1 ... N ) ( log ` n ) ) )
111	107, 110	eqtr3d 2658	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ! ` N ) = ( exp ` sum_ n e. ( 1 ... N ) ( log ` n ) ) )
112		eflog 24323	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ! ` ( N - K ) ) e. CC /\ ( ! ` ( N - K ) ) =/= 0 ) -> ( exp ` ( log ` ( ! ` ( N - K ) ) ) ) = ( ! ` ( N - K ) ) )
113	28, 29, 112	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( exp ` ( log ` ( ! ` ( N - K ) ) ) ) = ( ! ` ( N - K ) ) )
114		logfac 24347	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N - K ) e. NN0 -> ( log ` ( ! ` ( N - K ) ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( N - K ) ) ( log ` n ) )
115	25, 114	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( log ` ( ! ` ( N - K ) ) ) = sum_ n e. ( 1 ... ( N - K ) ) ( log ` n ) )
116	115	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( exp ` ( log ` ( ! ` ( N - K ) ) ) ) = ( exp ` sum_ n e. ( 1 ... ( N - K ) ) ( log ` n ) ) )
117	113, 116	eqtr3d 2658	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ! ` ( N - K ) ) = ( exp ` sum_ n e. ( 1 ... ( N - K ) ) ( log ` n ) ) )
118	111, 117	oveq12d 6668	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( ! ` N ) / ( ! ` ( N - K ) ) ) = ( ( exp ` sum_ n e. ( 1 ... N ) ( log ` n ) ) / ( exp ` sum_ n e. ( 1 ... ( N - K ) ) ( log ` n ) ) ) )
119	55, 104, 118	3eqtr4d 2666	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( exp ` sum_ n e. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ( log ` n ) ) = ( ( ! ` N ) / ( ! ` ( N - K ) ) ) )
120	35, 40, 119	3eqtr4d 2666	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( ! ` K ) x. ( N _C K ) ) = ( exp ` sum_ n e. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ( log ` n ) ) )
121	19, 120	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( # ` T ) = ( exp ` sum_ n e. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ( log ` n ) ) )
122		birthday.s	. . . . . . . 8 |- S = { f | f : ( 1 ... K ) --> ( 1 ... N ) }
123		mapvalg 7867	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 1 ... N ) e. Fin /\ ( 1 ... K ) e. Fin ) -> ( ( 1 ... N ) ^m ( 1 ... K ) ) = { f | f : ( 1 ... K ) --> ( 1 ... N ) } )
124	4, 3, 123	mp2an 708	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 ... N ) ^m ( 1 ... K ) ) = { f | f : ( 1 ... K ) --> ( 1 ... N ) }
125	122, 124	eqtr4i 2647	. . . . . . 7 |- S = ( ( 1 ... N ) ^m ( 1 ... K ) )
126	125	fveq2i 6194	. . . . . 6 |- ( # ` S ) = ( # ` ( ( 1 ... N ) ^m ( 1 ... K ) ) )
127		hashmap 13222	. . . . . . 7 |- ( ( ( 1 ... N ) e. Fin /\ ( 1 ... K ) e. Fin ) -> ( # ` ( ( 1 ... N ) ^m ( 1 ... K ) ) ) = ( ( # ` ( 1 ... N ) ) ^ ( # ` ( 1 ... K ) ) ) )
128	4, 3, 127	mp2an 708	. . . . . 6 |- ( # ` ( ( 1 ... N ) ^m ( 1 ... K ) ) ) = ( ( # ` ( 1 ... N ) ) ^ ( # ` ( 1 ... K ) ) )
129	126, 128	eqtri 2644	. . . . 5 |- ( # ` S ) = ( ( # ` ( 1 ... N ) ) ^ ( # ` ( 1 ... K ) ) )
130	16, 11	oveq12d 6668	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( # ` ( 1 ... N ) ) ^ ( # ` ( 1 ... K ) ) ) = ( N ^ K ) )
131	129, 130	syl5eq 2668	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( # ` S ) = ( N ^ K ) )
132		nncn 11028	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> N e. CC )
133	132	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> N e. CC )
134		nnne0 11053	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> N =/= 0 )
135	134	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> N =/= 0 )
136		elfzelz 12342	. . . . . 6 |- ( K e. ( 0 ... N ) -> K e. ZZ )
137	136	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> K e. ZZ )
138		explog 24340	. . . . 5 |- ( ( N e. CC /\ N =/= 0 /\ K e. ZZ ) -> ( N ^ K ) = ( exp ` ( K x. ( log ` N ) ) ) )
139	133, 135, 137, 138	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( N ^ K ) = ( exp ` ( K x. ( log ` N ) ) ) )
140	131, 139	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( # ` S ) = ( exp ` ( K x. ( log ` N ) ) ) )
141	121, 140	oveq12d 6668	. 2 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( # ` T ) / ( # ` S ) ) = ( ( exp ` sum_ n e. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ( log ` n ) ) / ( exp ` ( K x. ( log ` N ) ) ) ) )
142	9	nn0cnd 11353	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> K e. CC )
143		nnrp 11842	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> N e. RR+ )
144	143	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> N e. RR+ )
145	144	relogcld 24369	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( log ` N ) e. RR )
146	145	recnd 10068	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( log ` N ) e. CC )
147	142, 146	mulcld 10060	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( K x. ( log ` N ) ) e. CC )
148		efsub 14830	. . 3 |- ( ( sum_ n e. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ( log ` n ) e. CC /\ ( K x. ( log ` N ) ) e. CC ) -> ( exp ` ( sum_ n e. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ( log ` n ) - ( K x. ( log ` N ) ) ) ) = ( ( exp ` sum_ n e. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ( log ` n ) ) / ( exp ` ( K x. ( log ` N ) ) ) ) )
149	101, 147, 148	syl2anc 693	. 2 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( exp ` ( sum_ n e. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ( log ` n ) - ( K x. ( log ` N ) ) ) ) = ( ( exp ` sum_ n e. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ( log ` n ) ) / ( exp ` ( K x. ( log ` N ) ) ) ) )
150		relogdiv 24339	. . . . . . 7 |- ( ( n e. RR+ /\ N e. RR+ ) -> ( log ` ( n / N ) ) = ( ( log ` n ) - ( log ` N ) ) )
151	44, 144, 150	syl2anr 495	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) /\ n e. NN ) -> ( log ` ( n / N ) ) = ( ( log ` n ) - ( log ` N ) ) )
152	99, 151	syldan 487	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) /\ n e. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ) -> ( log ` ( n / N ) ) = ( ( log ` n ) - ( log ` N ) ) )
153	152	sumeq2dv 14433	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> sum_ n e. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ( log ` ( n / N ) ) = sum_ n e. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ( ( log ` n ) - ( log ` N ) ) )
154	68	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> N e. ZZ )
155	25	nn0zd 11480	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( N - K ) e. ZZ )
156	155	peano2zd 11485	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( N - K ) + 1 ) e. ZZ )
157	99, 44	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) /\ n e. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ) -> n e. RR+ )
158	144	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) /\ n e. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ) -> N e. RR+ )
159	157, 158	rpdivcld 11889	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) /\ n e. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ) -> ( n / N ) e. RR+ )
160	159	relogcld 24369	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) /\ n e. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ) -> ( log ` ( n / N ) ) e. RR )
161	160	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) /\ n e. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ) -> ( log ` ( n / N ) ) e. CC )
162		oveq1 6657	. . . . . . 7 |- ( n = ( N - k ) -> ( n / N ) = ( ( N - k ) / N ) )
163	162	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( n = ( N - k ) -> ( log ` ( n / N ) ) = ( log ` ( ( N - k ) / N ) ) )
164	154, 156, 154, 161, 163	fsumrev 14511	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> sum_ n e. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ( log ` ( n / N ) ) = sum_ k e. ( ( N - N ) ... ( N - ( ( N - K ) + 1 ) ) ) ( log ` ( ( N - k ) / N ) ) )
165	133	subidd 10380	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( N - N ) = 0 )
166		1cnd 10056	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> 1 e. CC )
167	133, 142, 166	subsubd 10420	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( N - ( K - 1 ) ) = ( ( N - K ) + 1 ) )
168	167	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( N - ( N - ( K - 1 ) ) ) = ( N - ( ( N - K ) + 1 ) ) )
169		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. CC
170		subcl 10280	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( K - 1 ) e. CC )
171	142, 169, 170	sylancl 694	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( K - 1 ) e. CC )
172	133, 171	nncand 10397	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( N - ( N - ( K - 1 ) ) ) = ( K - 1 ) )
173	168, 172	eqtr3d 2658	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( N - ( ( N - K ) + 1 ) ) = ( K - 1 ) )
174	165, 173	oveq12d 6668	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( N - N ) ... ( N - ( ( N - K ) + 1 ) ) ) = ( 0 ... ( K - 1 ) ) )
175	133	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> N e. CC )
176		elfznn0 12433	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) -> k e. NN0 )
177	176	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> k e. NN0 )
178	177	nn0cnd 11353	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> k e. CC )
179	135	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> N =/= 0 )
180	175, 178, 175, 179	divsubdird 10840	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( ( N - k ) / N ) = ( ( N / N ) - ( k / N ) ) )
181	175, 179	dividd 10799	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( N / N ) = 1 )
182	181	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( ( N / N ) - ( k / N ) ) = ( 1 - ( k / N ) ) )
183	180, 182	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( ( N - k ) / N ) = ( 1 - ( k / N ) ) )
184	183	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) /\ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ) -> ( log ` ( ( N - k ) / N ) ) = ( log ` ( 1 - ( k / N ) ) ) )
185	174, 184	sumeq12rdv 14438	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> sum_ k e. ( ( N - N ) ... ( N - ( ( N - K ) + 1 ) ) ) ( log ` ( ( N - k ) / N ) ) = sum_ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ( log ` ( 1 - ( k / N ) ) ) )
186	164, 185	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> sum_ n e. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ( log ` ( n / N ) ) = sum_ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ( log ` ( 1 - ( k / N ) ) ) )
187	146	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) /\ n e. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ) -> ( log ` N ) e. CC )
188	94, 100, 187	fsumsub 14520	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> sum_ n e. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ( ( log ` n ) - ( log ` N ) ) = ( sum_ n e. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ( log ` n ) - sum_ n e. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ( log ` N ) ) )
189		fsumconst 14522	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) e. Fin /\ ( log ` N ) e. CC ) -> sum_ n e. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ( log ` N ) = ( ( # ` ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ) x. ( log ` N ) ) )
190	94, 146, 189	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> sum_ n e. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ( log ` N ) = ( ( # ` ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ) x. ( log ` N ) ) )
191		1zzd 11408	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> 1 e. ZZ )
192		fzen 12358	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 e. ZZ /\ K e. ZZ /\ ( N - K ) e. ZZ ) -> ( 1 ... K ) ~~ ( ( 1 + ( N - K ) ) ... ( K + ( N - K ) ) ) )
193	191, 137, 155, 192	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( 1 ... K ) ~~ ( ( 1 + ( N - K ) ) ... ( K + ( N - K ) ) ) )
194	25	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( N - K ) e. CC )
195		addcom 10222	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 e. CC /\ ( N - K ) e. CC ) -> ( 1 + ( N - K ) ) = ( ( N - K ) + 1 ) )
196	169, 194, 195	sylancr 695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( 1 + ( N - K ) ) = ( ( N - K ) + 1 ) )
197	142, 133	pncan3d 10395	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( K + ( N - K ) ) = N )
198	196, 197	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( 1 + ( N - K ) ) ... ( K + ( N - K ) ) ) = ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) )
199	193, 198	breqtrd 4679	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( 1 ... K ) ~~ ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) )
200		hasheni 13136	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 ... K ) ~~ ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) -> ( # ` ( 1 ... K ) ) = ( # ` ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ) )
201	199, 200	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( # ` ( 1 ... K ) ) = ( # ` ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ) )
202	201, 11	eqtr3d 2658	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( # ` ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ) = K )
203	202	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( # ` ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ) x. ( log ` N ) ) = ( K x. ( log ` N ) ) )
204	190, 203	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> sum_ n e. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ( log ` N ) = ( K x. ( log ` N ) ) )
205	204	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( sum_ n e. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ( log ` n ) - sum_ n e. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ( log ` N ) ) = ( sum_ n e. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ( log ` n ) - ( K x. ( log ` N ) ) ) )
206	188, 205	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> sum_ n e. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ( ( log ` n ) - ( log ` N ) ) = ( sum_ n e. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ( log ` n ) - ( K x. ( log ` N ) ) ) )
207	153, 186, 206	3eqtr3rd 2665	. . 3 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( sum_ n e. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ( log ` n ) - ( K x. ( log ` N ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ( log ` ( 1 - ( k / N ) ) ) )
208	207	fveq2d 6195	. 2 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( exp ` ( sum_ n e. ( ( ( N - K ) + 1 ) ... N ) ( log ` n ) - ( K x. ( log ` N ) ) ) ) = ( exp ` sum_ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ( log ` ( 1 - ( k / N ) ) ) ) )
209	141, 149, 208	3eqtr2d 2662	1 |- ( ( N e. NN /\ K e. ( 0 ... N ) ) -> ( ( # ` T ) / ( # ` S ) ) = ( exp ` sum_ k e. ( 0 ... ( K - 1 ) ) ( log ` ( 1 - ( k / N ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   =/= wne 2794   u. cun 3572   i^i cin 3573   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   ~~ cen 7952   Fincfn 7955   CCcc 9934   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   ...cfz 12326   ^cexp 12860   !cfa 13060   _C cbc 13089   #chash 13117   sum_csu 14416   expce 14792   logclog 24301

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303

This theorem is referenced by:  birthdaylem3  24680