Theorem fzosplitprm1 12578

Description: Extending a half-open integer range by an unordered pair at the end. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Sep-2018.) (Proof shortened by AV, 25-Jun-2022.)

Assertion

Ref	Expression
fzosplitprm1	|- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> ( A..^ ( B + 1 ) ) = ( ( A..^ ( B - 1 ) ) u. { ( B - 1 ) , B } ) )

Proof of Theorem fzosplitprm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1061	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> A e. ZZ )
2		peano2zm 11420	. . . . 5 |- ( B e. ZZ -> ( B - 1 ) e. ZZ )
3	2	3ad2ant2 1083	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> ( B - 1 ) e. ZZ )
4		zltlem1 11430	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A < B <-> A <_ ( B - 1 ) ) )
5	4	biimp3a 1432	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> A <_ ( B - 1 ) )
6		eluz2 11693	. . . 4 |- ( ( B - 1 ) e. ( ZZ>= ` A ) <-> ( A e. ZZ /\ ( B - 1 ) e. ZZ /\ A <_ ( B - 1 ) ) )
7	1, 3, 5, 6	syl3anbrc 1246	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> ( B - 1 ) e. ( ZZ>= ` A ) )
8		fzosplitpr 12577	. . 3 |- ( ( B - 1 ) e. ( ZZ>= ` A ) -> ( A..^ ( ( B - 1 ) + 2 ) ) = ( ( A..^ ( B - 1 ) ) u. { ( B - 1 ) , ( ( B - 1 ) + 1 ) } ) )
9	7, 8	syl 17	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> ( A..^ ( ( B - 1 ) + 2 ) ) = ( ( A..^ ( B - 1 ) ) u. { ( B - 1 ) , ( ( B - 1 ) + 1 ) } ) )
10		zcn 11382	. . . . . . 7 |- ( B e. ZZ -> B e. CC )
11		1cnd 10056	. . . . . . 7 |- ( B e. ZZ -> 1 e. CC )
12		2cnd 11093	. . . . . . 7 |- ( B e. ZZ -> 2 e. CC )
13	10, 11, 12	subadd23d 10414	. . . . . 6 |- ( B e. ZZ -> ( ( B - 1 ) + 2 ) = ( B + ( 2 - 1 ) ) )
14		2m1e1 11135	. . . . . . 7 |- ( 2 - 1 ) = 1
15	14	oveq2i 6661	. . . . . 6 |- ( B + ( 2 - 1 ) ) = ( B + 1 )
16	13, 15	syl6req 2673	. . . . 5 |- ( B e. ZZ -> ( B + 1 ) = ( ( B - 1 ) + 2 ) )
17	16	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( B e. ZZ -> ( A..^ ( B + 1 ) ) = ( A..^ ( ( B - 1 ) + 2 ) ) )
18		npcan1 10455	. . . . . . . 8 |- ( B e. CC -> ( ( B - 1 ) + 1 ) = B )
19	10, 18	syl 17	. . . . . . 7 |- ( B e. ZZ -> ( ( B - 1 ) + 1 ) = B )
20	19	eqcomd 2628	. . . . . 6 |- ( B e. ZZ -> B = ( ( B - 1 ) + 1 ) )
21	20	preq2d 4275	. . . . 5 |- ( B e. ZZ -> { ( B - 1 ) , B } = { ( B - 1 ) , ( ( B - 1 ) + 1 ) } )
22	21	uneq2d 3767	. . . 4 |- ( B e. ZZ -> ( ( A..^ ( B - 1 ) ) u. { ( B - 1 ) , B } ) = ( ( A..^ ( B - 1 ) ) u. { ( B - 1 ) , ( ( B - 1 ) + 1 ) } ) )
23	17, 22	eqeq12d 2637	. . 3 |- ( B e. ZZ -> ( ( A..^ ( B + 1 ) ) = ( ( A..^ ( B - 1 ) ) u. { ( B - 1 ) , B } ) <-> ( A..^ ( ( B - 1 ) + 2 ) ) = ( ( A..^ ( B - 1 ) ) u. { ( B - 1 ) , ( ( B - 1 ) + 1 ) } ) ) )
24	23	3ad2ant2 1083	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> ( ( A..^ ( B + 1 ) ) = ( ( A..^ ( B - 1 ) ) u. { ( B - 1 ) , B } ) <-> ( A..^ ( ( B - 1 ) + 2 ) ) = ( ( A..^ ( B - 1 ) ) u. { ( B - 1 ) , ( ( B - 1 ) + 1 ) } ) ) )
25	9, 24	mpbird 247	1 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ A < B ) -> ( A..^ ( B + 1 ) ) = ( ( A..^ ( B - 1 ) ) u. { ( B - 1 ) , B } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   u. cun 3572   {cpr 4179   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   2c2 11070   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687  ..^cfzo 12465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466

This theorem is referenced by: (None)