Theorem gsmsymgreq 17852

Description: Two combination of permutations moves an element of the intersection of the base sets of the permutations to the same element if each pair of corresponding permutations moves such an element to the same element. (Contributed by AV, 20-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsmsymgrfix.s	|- S = ( SymGrp ` N )
gsmsymgrfix.b	|- B = ( Base ` S )
gsmsymgreq.z	|- Z = ( SymGrp ` M )
gsmsymgreq.p	|- P = ( Base ` Z )
gsmsymgreq.i	|- I = ( N i^i M )

Assertion

Ref	Expression
gsmsymgreq	|- ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin ) /\ ( W e. Word B /\ U e. Word P /\ ( # ` W ) = ( # ` U ) ) ) -> ( A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) A. n e. I ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( U ` i ) ` n ) -> A. n e. I ( ( S gsumg W ) ` n ) = ( ( Z gsumg U ) ` n ) ) )

Distinct variable groups:   B, i   i, N   P, i   i, W   n, I   S, n   n, Z   B, n, i   i, I   n, M   n, N   P, n   U, i, n   n, W

Allowed substitution hints:   S( i)   M( i)   Z( i)

Proof of Theorem gsmsymgreq

Dummy variables w y p x b u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( w = (/) -> ( # ` w ) = ( # ` (/) ) )
2	1	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( w = (/) -> ( 0..^ ( # ` w ) ) = ( 0..^ ( # ` (/) ) ) )
3	2	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( w = (/) /\ u = (/) ) -> ( 0..^ ( # ` w ) ) = ( 0..^ ( # ` (/) ) ) )
4		fveq1 6190	. . . . . . . . 9 |- ( w = (/) -> ( w ` i ) = ( (/) ` i ) )
5	4	fveq1d 6193	. . . . . . . 8 |- ( w = (/) -> ( ( w ` i ) ` n ) = ( ( (/) ` i ) ` n ) )
6		fveq1 6190	. . . . . . . . 9 |- ( u = (/) -> ( u ` i ) = ( (/) ` i ) )
7	6	fveq1d 6193	. . . . . . . 8 |- ( u = (/) -> ( ( u ` i ) ` n ) = ( ( (/) ` i ) ` n ) )
8	5, 7	eqeqan12d 2638	. . . . . . 7 |- ( ( w = (/) /\ u = (/) ) -> ( ( ( w ` i ) ` n ) = ( ( u ` i ) ` n ) <-> ( ( (/) ` i ) ` n ) = ( ( (/) ` i ) ` n ) ) )
9	8	ralbidv 2986	. . . . . 6 |- ( ( w = (/) /\ u = (/) ) -> ( A. n e. I ( ( w ` i ) ` n ) = ( ( u ` i ) ` n ) <-> A. n e. I ( ( (/) ` i ) ` n ) = ( ( (/) ` i ) ` n ) ) )
10	3, 9	raleqbidv 3152	. . . . 5 |- ( ( w = (/) /\ u = (/) ) -> ( A. i e. ( 0..^ ( # ` w ) ) A. n e. I ( ( w ` i ) ` n ) = ( ( u ` i ) ` n ) <-> A. i e. ( 0..^ ( # ` (/) ) ) A. n e. I ( ( (/) ` i ) ` n ) = ( ( (/) ` i ) ` n ) ) )
11		oveq2 6658	. . . . . . . 8 |- ( w = (/) -> ( S gsumg w ) = ( S gsumg (/) ) )
12	11	fveq1d 6193	. . . . . . 7 |- ( w = (/) -> ( ( S gsumg w ) ` n ) = ( ( S gsumg (/) ) ` n ) )
13		oveq2 6658	. . . . . . . 8 |- ( u = (/) -> ( Z gsumg u ) = ( Z gsumg (/) ) )
14	13	fveq1d 6193	. . . . . . 7 |- ( u = (/) -> ( ( Z gsumg u ) ` n ) = ( ( Z gsumg (/) ) ` n ) )
15	12, 14	eqeqan12d 2638	. . . . . 6 |- ( ( w = (/) /\ u = (/) ) -> ( ( ( S gsumg w ) ` n ) = ( ( Z gsumg u ) ` n ) <-> ( ( S gsumg (/) ) ` n ) = ( ( Z gsumg (/) ) ` n ) ) )
16	15	ralbidv 2986	. . . . 5 |- ( ( w = (/) /\ u = (/) ) -> ( A. n e. I ( ( S gsumg w ) ` n ) = ( ( Z gsumg u ) ` n ) <-> A. n e. I ( ( S gsumg (/) ) ` n ) = ( ( Z gsumg (/) ) ` n ) ) )
17	10, 16	imbi12d 334	. . . 4 |- ( ( w = (/) /\ u = (/) ) -> ( ( A. i e. ( 0..^ ( # ` w ) ) A. n e. I ( ( w ` i ) ` n ) = ( ( u ` i ) ` n ) -> A. n e. I ( ( S gsumg w ) ` n ) = ( ( Z gsumg u ) ` n ) ) <-> ( A. i e. ( 0..^ ( # ` (/) ) ) A. n e. I ( ( (/) ` i ) ` n ) = ( ( (/) ` i ) ` n ) -> A. n e. I ( ( S gsumg (/) ) ` n ) = ( ( Z gsumg (/) ) ` n ) ) ) )
18	17	imbi2d 330	. . 3 |- ( ( w = (/) /\ u = (/) ) -> ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin ) -> ( A. i e. ( 0..^ ( # ` w ) ) A. n e. I ( ( w ` i ) ` n ) = ( ( u ` i ) ` n ) -> A. n e. I ( ( S gsumg w ) ` n ) = ( ( Z gsumg u ) ` n ) ) ) <-> ( ( N e. Fin /\ M e. Fin ) -> ( A. i e. ( 0..^ ( # ` (/) ) ) A. n e. I ( ( (/) ` i ) ` n ) = ( ( (/) ` i ) ` n ) -> A. n e. I ( ( S gsumg (/) ) ` n ) = ( ( Z gsumg (/) ) ` n ) ) ) ) )
19		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( w = x -> ( # ` w ) = ( # ` x ) )
20	19	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( w = x -> ( 0..^ ( # ` w ) ) = ( 0..^ ( # ` x ) ) )
21	20	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( w = x /\ u = y ) -> ( 0..^ ( # ` w ) ) = ( 0..^ ( # ` x ) ) )
22		fveq1 6190	. . . . . . . . 9 |- ( w = x -> ( w ` i ) = ( x ` i ) )
23	22	fveq1d 6193	. . . . . . . 8 |- ( w = x -> ( ( w ` i ) ` n ) = ( ( x ` i ) ` n ) )
24		fveq1 6190	. . . . . . . . 9 |- ( u = y -> ( u ` i ) = ( y ` i ) )
25	24	fveq1d 6193	. . . . . . . 8 |- ( u = y -> ( ( u ` i ) ` n ) = ( ( y ` i ) ` n ) )
26	23, 25	eqeqan12d 2638	. . . . . . 7 |- ( ( w = x /\ u = y ) -> ( ( ( w ` i ) ` n ) = ( ( u ` i ) ` n ) <-> ( ( x ` i ) ` n ) = ( ( y ` i ) ` n ) ) )
27	26	ralbidv 2986	. . . . . 6 |- ( ( w = x /\ u = y ) -> ( A. n e. I ( ( w ` i ) ` n ) = ( ( u ` i ) ` n ) <-> A. n e. I ( ( x ` i ) ` n ) = ( ( y ` i ) ` n ) ) )
28	21, 27	raleqbidv 3152	. . . . 5 |- ( ( w = x /\ u = y ) -> ( A. i e. ( 0..^ ( # ` w ) ) A. n e. I ( ( w ` i ) ` n ) = ( ( u ` i ) ` n ) <-> A. i e. ( 0..^ ( # ` x ) ) A. n e. I ( ( x ` i ) ` n ) = ( ( y ` i ) ` n ) ) )
29		oveq2 6658	. . . . . . . 8 |- ( w = x -> ( S gsumg w ) = ( S gsumg x ) )
30	29	fveq1d 6193	. . . . . . 7 |- ( w = x -> ( ( S gsumg w ) ` n ) = ( ( S gsumg x ) ` n ) )
31		oveq2 6658	. . . . . . . 8 |- ( u = y -> ( Z gsumg u ) = ( Z gsumg y ) )
32	31	fveq1d 6193	. . . . . . 7 |- ( u = y -> ( ( Z gsumg u ) ` n ) = ( ( Z gsumg y ) ` n ) )
33	30, 32	eqeqan12d 2638	. . . . . 6 |- ( ( w = x /\ u = y ) -> ( ( ( S gsumg w ) ` n ) = ( ( Z gsumg u ) ` n ) <-> ( ( S gsumg x ) ` n ) = ( ( Z gsumg y ) ` n ) ) )
34	33	ralbidv 2986	. . . . 5 |- ( ( w = x /\ u = y ) -> ( A. n e. I ( ( S gsumg w ) ` n ) = ( ( Z gsumg u ) ` n ) <-> A. n e. I ( ( S gsumg x ) ` n ) = ( ( Z gsumg y ) ` n ) ) )
35	28, 34	imbi12d 334	. . . 4 |- ( ( w = x /\ u = y ) -> ( ( A. i e. ( 0..^ ( # ` w ) ) A. n e. I ( ( w ` i ) ` n ) = ( ( u ` i ) ` n ) -> A. n e. I ( ( S gsumg w ) ` n ) = ( ( Z gsumg u ) ` n ) ) <-> ( A. i e. ( 0..^ ( # ` x ) ) A. n e. I ( ( x ` i ) ` n ) = ( ( y ` i ) ` n ) -> A. n e. I ( ( S gsumg x ) ` n ) = ( ( Z gsumg y ) ` n ) ) ) )
36	35	imbi2d 330	. . 3 |- ( ( w = x /\ u = y ) -> ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin ) -> ( A. i e. ( 0..^ ( # ` w ) ) A. n e. I ( ( w ` i ) ` n ) = ( ( u ` i ) ` n ) -> A. n e. I ( ( S gsumg w ) ` n ) = ( ( Z gsumg u ) ` n ) ) ) <-> ( ( N e. Fin /\ M e. Fin ) -> ( A. i e. ( 0..^ ( # ` x ) ) A. n e. I ( ( x ` i ) ` n ) = ( ( y ` i ) ` n ) -> A. n e. I ( ( S gsumg x ) ` n ) = ( ( Z gsumg y ) ` n ) ) ) ) )
37		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( w = ( x ++ <" b "> ) -> ( # ` w ) = ( # ` ( x ++ <" b "> ) ) )
38	37	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( w = ( x ++ <" b "> ) -> ( 0..^ ( # ` w ) ) = ( 0..^ ( # ` ( x ++ <" b "> ) ) ) )
39	38	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( w = ( x ++ <" b "> ) /\ u = ( y ++ <" p "> ) ) -> ( 0..^ ( # ` w ) ) = ( 0..^ ( # ` ( x ++ <" b "> ) ) ) )
40		fveq1 6190	. . . . . . . . 9 |- ( w = ( x ++ <" b "> ) -> ( w ` i ) = ( ( x ++ <" b "> ) ` i ) )
41	40	fveq1d 6193	. . . . . . . 8 |- ( w = ( x ++ <" b "> ) -> ( ( w ` i ) ` n ) = ( ( ( x ++ <" b "> ) ` i ) ` n ) )
42		fveq1 6190	. . . . . . . . 9 |- ( u = ( y ++ <" p "> ) -> ( u ` i ) = ( ( y ++ <" p "> ) ` i ) )
43	42	fveq1d 6193	. . . . . . . 8 |- ( u = ( y ++ <" p "> ) -> ( ( u ` i ) ` n ) = ( ( ( y ++ <" p "> ) ` i ) ` n ) )
44	41, 43	eqeqan12d 2638	. . . . . . 7 |- ( ( w = ( x ++ <" b "> ) /\ u = ( y ++ <" p "> ) ) -> ( ( ( w ` i ) ` n ) = ( ( u ` i ) ` n ) <-> ( ( ( x ++ <" b "> ) ` i ) ` n ) = ( ( ( y ++ <" p "> ) ` i ) ` n ) ) )
45	44	ralbidv 2986	. . . . . 6 |- ( ( w = ( x ++ <" b "> ) /\ u = ( y ++ <" p "> ) ) -> ( A. n e. I ( ( w ` i ) ` n ) = ( ( u ` i ) ` n ) <-> A. n e. I ( ( ( x ++ <" b "> ) ` i ) ` n ) = ( ( ( y ++ <" p "> ) ` i ) ` n ) ) )
46	39, 45	raleqbidv 3152	. . . . 5 |- ( ( w = ( x ++ <" b "> ) /\ u = ( y ++ <" p "> ) ) -> ( A. i e. ( 0..^ ( # ` w ) ) A. n e. I ( ( w ` i ) ` n ) = ( ( u ` i ) ` n ) <-> A. i e. ( 0..^ ( # ` ( x ++ <" b "> ) ) ) A. n e. I ( ( ( x ++ <" b "> ) ` i ) ` n ) = ( ( ( y ++ <" p "> ) ` i ) ` n ) ) )
47		oveq2 6658	. . . . . . . 8 |- ( w = ( x ++ <" b "> ) -> ( S gsumg w ) = ( S gsumg ( x ++ <" b "> ) ) )
48	47	fveq1d 6193	. . . . . . 7 |- ( w = ( x ++ <" b "> ) -> ( ( S gsumg w ) ` n ) = ( ( S gsumg ( x ++ <" b "> ) ) ` n ) )
49		oveq2 6658	. . . . . . . 8 |- ( u = ( y ++ <" p "> ) -> ( Z gsumg u ) = ( Z gsumg ( y ++ <" p "> ) ) )
50	49	fveq1d 6193	. . . . . . 7 |- ( u = ( y ++ <" p "> ) -> ( ( Z gsumg u ) ` n ) = ( ( Z gsumg ( y ++ <" p "> ) ) ` n ) )
51	48, 50	eqeqan12d 2638	. . . . . 6 |- ( ( w = ( x ++ <" b "> ) /\ u = ( y ++ <" p "> ) ) -> ( ( ( S gsumg w ) ` n ) = ( ( Z gsumg u ) ` n ) <-> ( ( S gsumg ( x ++ <" b "> ) ) ` n ) = ( ( Z gsumg ( y ++ <" p "> ) ) ` n ) ) )
52	51	ralbidv 2986	. . . . 5 |- ( ( w = ( x ++ <" b "> ) /\ u = ( y ++ <" p "> ) ) -> ( A. n e. I ( ( S gsumg w ) ` n ) = ( ( Z gsumg u ) ` n ) <-> A. n e. I ( ( S gsumg ( x ++ <" b "> ) ) ` n ) = ( ( Z gsumg ( y ++ <" p "> ) ) ` n ) ) )
53	46, 52	imbi12d 334	. . . 4 |- ( ( w = ( x ++ <" b "> ) /\ u = ( y ++ <" p "> ) ) -> ( ( A. i e. ( 0..^ ( # ` w ) ) A. n e. I ( ( w ` i ) ` n ) = ( ( u ` i ) ` n ) -> A. n e. I ( ( S gsumg w ) ` n ) = ( ( Z gsumg u ) ` n ) ) <-> ( A. i e. ( 0..^ ( # ` ( x ++ <" b "> ) ) ) A. n e. I ( ( ( x ++ <" b "> ) ` i ) ` n ) = ( ( ( y ++ <" p "> ) ` i ) ` n ) -> A. n e. I ( ( S gsumg ( x ++ <" b "> ) ) ` n ) = ( ( Z gsumg ( y ++ <" p "> ) ) ` n ) ) ) )
54	53	imbi2d 330	. . 3 |- ( ( w = ( x ++ <" b "> ) /\ u = ( y ++ <" p "> ) ) -> ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin ) -> ( A. i e. ( 0..^ ( # ` w ) ) A. n e. I ( ( w ` i ) ` n ) = ( ( u ` i ) ` n ) -> A. n e. I ( ( S gsumg w ) ` n ) = ( ( Z gsumg u ) ` n ) ) ) <-> ( ( N e. Fin /\ M e. Fin ) -> ( A. i e. ( 0..^ ( # ` ( x ++ <" b "> ) ) ) A. n e. I ( ( ( x ++ <" b "> ) ` i ) ` n ) = ( ( ( y ++ <" p "> ) ` i ) ` n ) -> A. n e. I ( ( S gsumg ( x ++ <" b "> ) ) ` n ) = ( ( Z gsumg ( y ++ <" p "> ) ) ` n ) ) ) ) )
55		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( w = W -> ( # ` w ) = ( # ` W ) )
56	55	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( w = W -> ( 0..^ ( # ` w ) ) = ( 0..^ ( # ` W ) ) )
57		fveq1 6190	. . . . . . . . 9 |- ( w = W -> ( w ` i ) = ( W ` i ) )
58	57	fveq1d 6193	. . . . . . . 8 |- ( w = W -> ( ( w ` i ) ` n ) = ( ( W ` i ) ` n ) )
59	58	eqeq1d 2624	. . . . . . 7 |- ( w = W -> ( ( ( w ` i ) ` n ) = ( ( U ` i ) ` n ) <-> ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( U ` i ) ` n ) ) )
60	59	ralbidv 2986	. . . . . 6 |- ( w = W -> ( A. n e. I ( ( w ` i ) ` n ) = ( ( U ` i ) ` n ) <-> A. n e. I ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( U ` i ) ` n ) ) )
61	56, 60	raleqbidv 3152	. . . . 5 |- ( w = W -> ( A. i e. ( 0..^ ( # ` w ) ) A. n e. I ( ( w ` i ) ` n ) = ( ( U ` i ) ` n ) <-> A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) A. n e. I ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( U ` i ) ` n ) ) )
62		oveq2 6658	. . . . . . . 8 |- ( w = W -> ( S gsumg w ) = ( S gsumg W ) )
63	62	fveq1d 6193	. . . . . . 7 |- ( w = W -> ( ( S gsumg w ) ` n ) = ( ( S gsumg W ) ` n ) )
64	63	eqeq1d 2624	. . . . . 6 |- ( w = W -> ( ( ( S gsumg w ) ` n ) = ( ( Z gsumg U ) ` n ) <-> ( ( S gsumg W ) ` n ) = ( ( Z gsumg U ) ` n ) ) )
65	64	ralbidv 2986	. . . . 5 |- ( w = W -> ( A. n e. I ( ( S gsumg w ) ` n ) = ( ( Z gsumg U ) ` n ) <-> A. n e. I ( ( S gsumg W ) ` n ) = ( ( Z gsumg U ) ` n ) ) )
66	61, 65	imbi12d 334	. . . 4 |- ( w = W -> ( ( A. i e. ( 0..^ ( # ` w ) ) A. n e. I ( ( w ` i ) ` n ) = ( ( U ` i ) ` n ) -> A. n e. I ( ( S gsumg w ) ` n ) = ( ( Z gsumg U ) ` n ) ) <-> ( A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) A. n e. I ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( U ` i ) ` n ) -> A. n e. I ( ( S gsumg W ) ` n ) = ( ( Z gsumg U ) ` n ) ) ) )
67	66	imbi2d 330	. . 3 |- ( w = W -> ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin ) -> ( A. i e. ( 0..^ ( # ` w ) ) A. n e. I ( ( w ` i ) ` n ) = ( ( U ` i ) ` n ) -> A. n e. I ( ( S gsumg w ) ` n ) = ( ( Z gsumg U ) ` n ) ) ) <-> ( ( N e. Fin /\ M e. Fin ) -> ( A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) A. n e. I ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( U ` i ) ` n ) -> A. n e. I ( ( S gsumg W ) ` n ) = ( ( Z gsumg U ) ` n ) ) ) ) )
68		fveq1 6190	. . . . . . . . 9 |- ( u = U -> ( u ` i ) = ( U ` i ) )
69	68	fveq1d 6193	. . . . . . . 8 |- ( u = U -> ( ( u ` i ) ` n ) = ( ( U ` i ) ` n ) )
70	69	eqeq2d 2632	. . . . . . 7 |- ( u = U -> ( ( ( w ` i ) ` n ) = ( ( u ` i ) ` n ) <-> ( ( w ` i ) ` n ) = ( ( U ` i ) ` n ) ) )
71	70	ralbidv 2986	. . . . . 6 |- ( u = U -> ( A. n e. I ( ( w ` i ) ` n ) = ( ( u ` i ) ` n ) <-> A. n e. I ( ( w ` i ) ` n ) = ( ( U ` i ) ` n ) ) )
72	71	ralbidv 2986	. . . . 5 |- ( u = U -> ( A. i e. ( 0..^ ( # ` w ) ) A. n e. I ( ( w ` i ) ` n ) = ( ( u ` i ) ` n ) <-> A. i e. ( 0..^ ( # ` w ) ) A. n e. I ( ( w ` i ) ` n ) = ( ( U ` i ) ` n ) ) )
73		oveq2 6658	. . . . . . . 8 |- ( u = U -> ( Z gsumg u ) = ( Z gsumg U ) )
74	73	fveq1d 6193	. . . . . . 7 |- ( u = U -> ( ( Z gsumg u ) ` n ) = ( ( Z gsumg U ) ` n ) )
75	74	eqeq2d 2632	. . . . . 6 |- ( u = U -> ( ( ( S gsumg w ) ` n ) = ( ( Z gsumg u ) ` n ) <-> ( ( S gsumg w ) ` n ) = ( ( Z gsumg U ) ` n ) ) )
76	75	ralbidv 2986	. . . . 5 |- ( u = U -> ( A. n e. I ( ( S gsumg w ) ` n ) = ( ( Z gsumg u ) ` n ) <-> A. n e. I ( ( S gsumg w ) ` n ) = ( ( Z gsumg U ) ` n ) ) )
77	72, 76	imbi12d 334	. . . 4 |- ( u = U -> ( ( A. i e. ( 0..^ ( # ` w ) ) A. n e. I ( ( w ` i ) ` n ) = ( ( u ` i ) ` n ) -> A. n e. I ( ( S gsumg w ) ` n ) = ( ( Z gsumg u ) ` n ) ) <-> ( A. i e. ( 0..^ ( # ` w ) ) A. n e. I ( ( w ` i ) ` n ) = ( ( U ` i ) ` n ) -> A. n e. I ( ( S gsumg w ) ` n ) = ( ( Z gsumg U ) ` n ) ) ) )
78	77	imbi2d 330	. . 3 |- ( u = U -> ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin ) -> ( A. i e. ( 0..^ ( # ` w ) ) A. n e. I ( ( w ` i ) ` n ) = ( ( u ` i ) ` n ) -> A. n e. I ( ( S gsumg w ) ` n ) = ( ( Z gsumg u ) ` n ) ) ) <-> ( ( N e. Fin /\ M e. Fin ) -> ( A. i e. ( 0..^ ( # ` w ) ) A. n e. I ( ( w ` i ) ` n ) = ( ( U ` i ) ` n ) -> A. n e. I ( ( S gsumg w ) ` n ) = ( ( Z gsumg U ) ` n ) ) ) ) )
79		gsmsymgreq.i	. . . . . . . . . 10 |- I = ( N i^i M )
80		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . 12 |- ( I = ( N i^i M ) -> ( n e. I <-> n e. ( N i^i M ) ) )
81		elin 3796	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ( N i^i M ) <-> ( n e. N /\ n e. M ) )
82	80, 81	syl6bb 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( I = ( N i^i M ) -> ( n e. I <-> ( n e. N /\ n e. M ) ) )
83		simpl 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. N /\ n e. M ) -> n e. N )
84	82, 83	syl6bi 243	. . . . . . . . . 10 |- ( I = ( N i^i M ) -> ( n e. I -> n e. N ) )
85	79, 84	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( n e. I -> n e. N )
86	85	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin ) /\ n e. I ) -> n e. N )
87		fvresi 6439	. . . . . . . 8 |- ( n e. N -> ( ( _I |` N ) ` n ) = n )
88	86, 87	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin ) /\ n e. I ) -> ( ( _I |` N ) ` n ) = n )
89		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. N /\ n e. M ) -> n e. M )
90	82, 89	syl6bi 243	. . . . . . . . . 10 |- ( I = ( N i^i M ) -> ( n e. I -> n e. M ) )
91	79, 90	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( n e. I -> n e. M )
92	91	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin ) /\ n e. I ) -> n e. M )
93		fvresi 6439	. . . . . . . 8 |- ( n e. M -> ( ( _I |` M ) ` n ) = n )
94	92, 93	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin ) /\ n e. I ) -> ( ( _I |` M ) ` n ) = n )
95	88, 94	eqtr4d 2659	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin ) /\ n e. I ) -> ( ( _I |` N ) ` n ) = ( ( _I |` M ) ` n ) )
96	95	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( ( N e. Fin /\ M e. Fin ) -> A. n e. I ( ( _I |` N ) ` n ) = ( ( _I |` M ) ` n ) )
97		gsmsymgrfix.s	. . . . . . . . . . 11 |- S = ( SymGrp ` N )
98	97	symgid 17821	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. Fin -> ( _I |` N ) = ( 0g ` S ) )
99	98	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. Fin /\ M e. Fin ) -> ( _I |` N ) = ( 0g ` S ) )
100		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( 0g ` S ) = ( 0g ` S )
101	100	gsum0 17278	. . . . . . . . 9 |- ( S gsumg (/) ) = ( 0g ` S )
102	99, 101	syl6reqr 2675	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. Fin /\ M e. Fin ) -> ( S gsumg (/) ) = ( _I |` N ) )
103	102	fveq1d 6193	. . . . . . 7 |- ( ( N e. Fin /\ M e. Fin ) -> ( ( S gsumg (/) ) ` n ) = ( ( _I |` N ) ` n ) )
104		gsmsymgreq.z	. . . . . . . . . . 11 |- Z = ( SymGrp ` M )
105	104	symgid 17821	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. Fin -> ( _I |` M ) = ( 0g ` Z ) )
106	105	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. Fin /\ M e. Fin ) -> ( _I |` M ) = ( 0g ` Z ) )
107		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( 0g ` Z ) = ( 0g ` Z )
108	107	gsum0 17278	. . . . . . . . 9 |- ( Z gsumg (/) ) = ( 0g ` Z )
109	106, 108	syl6reqr 2675	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. Fin /\ M e. Fin ) -> ( Z gsumg (/) ) = ( _I |` M ) )
110	109	fveq1d 6193	. . . . . . 7 |- ( ( N e. Fin /\ M e. Fin ) -> ( ( Z gsumg (/) ) ` n ) = ( ( _I |` M ) ` n ) )
111	103, 110	eqeq12d 2637	. . . . . 6 |- ( ( N e. Fin /\ M e. Fin ) -> ( ( ( S gsumg (/) ) ` n ) = ( ( Z gsumg (/) ) ` n ) <-> ( ( _I |` N ) ` n ) = ( ( _I |` M ) ` n ) ) )
112	111	ralbidv 2986	. . . . 5 |- ( ( N e. Fin /\ M e. Fin ) -> ( A. n e. I ( ( S gsumg (/) ) ` n ) = ( ( Z gsumg (/) ) ` n ) <-> A. n e. I ( ( _I |` N ) ` n ) = ( ( _I |` M ) ` n ) ) )
113	96, 112	mpbird 247	. . . 4 |- ( ( N e. Fin /\ M e. Fin ) -> A. n e. I ( ( S gsumg (/) ) ` n ) = ( ( Z gsumg (/) ) ` n ) )
114	113	a1d 25	. . 3 |- ( ( N e. Fin /\ M e. Fin ) -> ( A. i e. ( 0..^ ( # ` (/) ) ) A. n e. I ( ( (/) ` i ) ` n ) = ( ( (/) ` i ) ` n ) -> A. n e. I ( ( S gsumg (/) ) ` n ) = ( ( Z gsumg (/) ) ` n ) ) )
115		gsmsymgrfix.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` S )
116		gsmsymgreq.p	. . . . . 6 |- P = ( Base ` Z )
117	97, 115, 104, 116, 79	gsmsymgreqlem2 17851	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin ) /\ ( ( x e. Word B /\ b e. B ) /\ ( y e. Word P /\ p e. P ) /\ ( # ` x ) = ( # ` y ) ) ) -> ( ( A. i e. ( 0..^ ( # ` x ) ) A. n e. I ( ( x ` i ) ` n ) = ( ( y ` i ) ` n ) -> A. n e. I ( ( S gsumg x ) ` n ) = ( ( Z gsumg y ) ` n ) ) -> ( A. i e. ( 0..^ ( # ` ( x ++ <" b "> ) ) ) A. n e. I ( ( ( x ++ <" b "> ) ` i ) ` n ) = ( ( ( y ++ <" p "> ) ` i ) ` n ) -> A. n e. I ( ( S gsumg ( x ++ <" b "> ) ) ` n ) = ( ( Z gsumg ( y ++ <" p "> ) ) ` n ) ) ) )
118	117	expcom 451	. . . 4 |- ( ( ( x e. Word B /\ b e. B ) /\ ( y e. Word P /\ p e. P ) /\ ( # ` x ) = ( # ` y ) ) -> ( ( N e. Fin /\ M e. Fin ) -> ( ( A. i e. ( 0..^ ( # ` x ) ) A. n e. I ( ( x ` i ) ` n ) = ( ( y ` i ) ` n ) -> A. n e. I ( ( S gsumg x ) ` n ) = ( ( Z gsumg y ) ` n ) ) -> ( A. i e. ( 0..^ ( # ` ( x ++ <" b "> ) ) ) A. n e. I ( ( ( x ++ <" b "> ) ` i ) ` n ) = ( ( ( y ++ <" p "> ) ` i ) ` n ) -> A. n e. I ( ( S gsumg ( x ++ <" b "> ) ) ` n ) = ( ( Z gsumg ( y ++ <" p "> ) ) ` n ) ) ) ) )
119	118	a2d 29	. . 3 |- ( ( ( x e. Word B /\ b e. B ) /\ ( y e. Word P /\ p e. P ) /\ ( # ` x ) = ( # ` y ) ) -> ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin ) -> ( A. i e. ( 0..^ ( # ` x ) ) A. n e. I ( ( x ` i ) ` n ) = ( ( y ` i ) ` n ) -> A. n e. I ( ( S gsumg x ) ` n ) = ( ( Z gsumg y ) ` n ) ) ) -> ( ( N e. Fin /\ M e. Fin ) -> ( A. i e. ( 0..^ ( # ` ( x ++ <" b "> ) ) ) A. n e. I ( ( ( x ++ <" b "> ) ` i ) ` n ) = ( ( ( y ++ <" p "> ) ` i ) ` n ) -> A. n e. I ( ( S gsumg ( x ++ <" b "> ) ) ` n ) = ( ( Z gsumg ( y ++ <" p "> ) ) ` n ) ) ) ) )
120	18, 36, 54, 67, 78, 114, 119	wrd2ind 13477	. 2 |- ( ( W e. Word B /\ U e. Word P /\ ( # ` W ) = ( # ` U ) ) -> ( ( N e. Fin /\ M e. Fin ) -> ( A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) A. n e. I ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( U ` i ) ` n ) -> A. n e. I ( ( S gsumg W ) ` n ) = ( ( Z gsumg U ) ` n ) ) ) )
121	120	impcom 446	1 |- ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin ) /\ ( W e. Word B /\ U e. Word P /\ ( # ` W ) = ( # ` U ) ) ) -> ( A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) A. n e. I ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( U ` i ) ` n ) -> A. n e. I ( ( S gsumg W ) ` n ) = ( ( Z gsumg U ) ` n ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   i^i cin 3573   (/)c0 3915   _I cid 5023   |` cres 5116   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   0cc0 9936  ..^cfzo 12465   #chash 13117  Word cword 13291   ++ cconcat 13293   <"cs1 13294   Basecbs 15857   0gc0g 16100   gsum_g cgsu 16101   SymGrpcsymg 17797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-word 13299  df-lsw 13300  df-concat 13301  df-s1 13302  df-substr 13303  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-tset 15960  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-symg 17798

This theorem is referenced by:  psgndiflemB  19946