Theorem psgndiflemB 19946

Description: Lemma 1 for psgndif 19948. (Contributed by AV, 27-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
psgnfix.p	|- P = ( Base ` ( SymGrp ` N ) )
psgnfix.t	|- T = ran (pmTrsp ` ( N \ { K } ) )
psgnfix.s	|- S = ( SymGrp ` ( N \ { K } ) )
psgnfix.z	|- Z = ( SymGrp ` N )
psgnfix.r	|- R = ran (pmTrsp ` N )

Assertion

Ref	Expression
psgndiflemB	|- ( ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) -> ( ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) ) -> ( ( U e. Word R /\ ( # ` W ) = ( # ` U ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( U ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( U ` i ) ` n ) ) ) -> Q = ( Z gsumg U ) ) ) )

Distinct variable groups:   K, q   P, q   Q, q   i, K, n   i, N, n   S, i, n   U, i, n   i, W, n   i, Z, n

Allowed substitution hints:   P( i, n)   Q( i, n)   R( i, n, q)   S( q)   T( i, n, q)   U( q)   N( q)   W( q)   Z( q)

Proof of Theorem psgndiflemB

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrabi 3359	. . . . 5 |- ( Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } -> Q e. P )
2		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( SymGrp ` N ) = ( SymGrp ` N )
3		psgnfix.p	. . . . . 6 |- P = ( Base ` ( SymGrp ` N ) )
4	2, 3	symgbasf 17804	. . . . 5 |- ( Q e. P -> Q : N --> N )
5		ffn 6045	. . . . 5 |- ( Q : N --> N -> Q Fn N )
6	1, 4, 5	3syl 18	. . . 4 |- ( Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } -> Q Fn N )
7	6	ad3antlr 767	. . 3 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) /\ ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) ) ) /\ ( U e. Word R /\ ( # ` W ) = ( # ` U ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( U ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( U ` i ) ` n ) ) ) ) -> Q Fn N )
8		simpl 473	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. Fin /\ K e. N ) -> N e. Fin )
9	8	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) -> N e. Fin )
10	9	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) /\ ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) ) ) -> N e. Fin )
11		simp1 1061	. . . . . 6 |- ( ( U e. Word R /\ ( # ` W ) = ( # ` U ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( U ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( U ` i ) ` n ) ) ) -> U e. Word R )
12	10, 11	anim12i 590	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) /\ ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) ) ) /\ ( U e. Word R /\ ( # ` W ) = ( # ` U ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( U ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( U ` i ) ` n ) ) ) ) -> ( N e. Fin /\ U e. Word R ) )
13		psgnfix.z	. . . . . 6 |- Z = ( SymGrp ` N )
14	13	eqcomi 2631	. . . . . . . 8 |- ( SymGrp ` N ) = Z
15	14	fveq2i 6194	. . . . . . 7 |- ( Base ` ( SymGrp ` N ) ) = ( Base ` Z )
16	3, 15	eqtri 2644	. . . . . 6 |- P = ( Base ` Z )
17		psgnfix.r	. . . . . 6 |- R = ran (pmTrsp ` N )
18	13, 16, 17	gsmtrcl 17936	. . . . 5 |- ( ( N e. Fin /\ U e. Word R ) -> ( Z gsumg U ) e. P )
19	12, 18	syl 17	. . . 4 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) /\ ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) ) ) /\ ( U e. Word R /\ ( # ` W ) = ( # ` U ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( U ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( U ` i ) ` n ) ) ) ) -> ( Z gsumg U ) e. P )
20	2, 3	symgbasf 17804	. . . 4 |- ( ( Z gsumg U ) e. P -> ( Z gsumg U ) : N --> N )
21		ffn 6045	. . . 4 |- ( ( Z gsumg U ) : N --> N -> ( Z gsumg U ) Fn N )
22	19, 20, 21	3syl 18	. . 3 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) /\ ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) ) ) /\ ( U e. Word R /\ ( # ` W ) = ( # ` U ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( U ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( U ` i ) ` n ) ) ) ) -> ( Z gsumg U ) Fn N )
23	8	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) /\ ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) ) ) /\ ( U e. Word R /\ ( # ` W ) = ( # ` U ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( U ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( U ` i ) ` n ) ) ) ) -> N e. Fin )
24		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. Fin /\ K e. N ) -> K e. N )
25	24	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) /\ ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) ) ) /\ ( U e. Word R /\ ( # ` W ) = ( # ` U ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( U ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( U ` i ) ` n ) ) ) ) -> K e. N )
26		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( Base ` Z ) = ( Base ` Z )
27	17, 13, 26	symgtrf 17889	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- R C_ ( Base ` Z )
28		sswrd 13313	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( R C_ ( Base ` Z ) -> Word R C_ Word ( Base ` Z ) )
29	28	sseld 3602	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( R C_ ( Base ` Z ) -> ( U e. Word R -> U e. Word ( Base ` Z ) ) )
30	27, 29	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( U e. Word R -> U e. Word ( Base ` Z ) )
31	30	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( U e. Word R /\ ( # ` W ) = ( # ` U ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( U ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( U ` i ) ` n ) ) ) -> U e. Word ( Base ` Z ) )
32	31	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) /\ ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) ) ) /\ ( U e. Word R /\ ( # ` W ) = ( # ` U ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( U ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( U ` i ) ` n ) ) ) ) -> U e. Word ( Base ` Z ) )
33	23, 25, 32	3jca 1242	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) /\ ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) ) ) /\ ( U e. Word R /\ ( # ` W ) = ( # ` U ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( U ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( U ` i ) ` n ) ) ) ) -> ( N e. Fin /\ K e. N /\ U e. Word ( Base ` Z ) ) )
34		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( U ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( U ` i ) ` n ) ) -> ( ( U ` i ) ` K ) = K )
35	34	ralimi 2952	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( U ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( U ` i ) ` n ) ) -> A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( U ` i ) ` K ) = K )
36	35	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( U e. Word R /\ ( # ` W ) = ( # ` U ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( U ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( U ` i ) ` n ) ) ) -> A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( U ` i ) ` K ) = K )
37	36	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) /\ ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) ) ) /\ ( U e. Word R /\ ( # ` W ) = ( # ` U ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( U ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( U ` i ) ` n ) ) ) ) -> A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( U ` i ) ` K ) = K )
38		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( # ` U ) = ( # ` W ) -> ( 0..^ ( # ` U ) ) = ( 0..^ ( # ` W ) ) )
39	38	eqcoms 2630	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( # ` W ) = ( # ` U ) -> ( 0..^ ( # ` U ) ) = ( 0..^ ( # ` W ) ) )
40	39	raleqdv 3144	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( # ` W ) = ( # ` U ) -> ( A. i e. ( 0..^ ( # ` U ) ) ( ( U ` i ) ` K ) = K <-> A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( U ` i ) ` K ) = K ) )
41	40	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( U e. Word R /\ ( # ` W ) = ( # ` U ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( U ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( U ` i ) ` n ) ) ) -> ( A. i e. ( 0..^ ( # ` U ) ) ( ( U ` i ) ` K ) = K <-> A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( U ` i ) ` K ) = K ) )
42	41	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) /\ ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) ) ) /\ ( U e. Word R /\ ( # ` W ) = ( # ` U ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( U ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( U ` i ) ` n ) ) ) ) -> ( A. i e. ( 0..^ ( # ` U ) ) ( ( U ` i ) ` K ) = K <-> A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( U ` i ) ` K ) = K ) )
43	37, 42	mpbird 247	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) /\ ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) ) ) /\ ( U e. Word R /\ ( # ` W ) = ( # ` U ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( U ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( U ` i ) ` n ) ) ) ) -> A. i e. ( 0..^ ( # ` U ) ) ( ( U ` i ) ` K ) = K )
44	13, 26	gsmsymgrfix 17848	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. Fin /\ K e. N /\ U e. Word ( Base ` Z ) ) -> ( A. i e. ( 0..^ ( # ` U ) ) ( ( U ` i ) ` K ) = K -> ( ( Z gsumg U ) ` K ) = K ) )
45	33, 43, 44	sylc 65	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) /\ ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) ) ) /\ ( U e. Word R /\ ( # ` W ) = ( # ` U ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( U ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( U ` i ) ` n ) ) ) ) -> ( ( Z gsumg U ) ` K ) = K )
46	45	eqcomd 2628	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) /\ ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) ) ) /\ ( U e. Word R /\ ( # ` W ) = ( # ` U ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( U ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( U ` i ) ` n ) ) ) ) -> K = ( ( Z gsumg U ) ` K ) )
47	46	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) /\ ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) ) ) /\ ( U e. Word R /\ ( # ` W ) = ( # ` U ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( U ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( U ` i ) ` n ) ) ) ) /\ k = K ) -> K = ( ( Z gsumg U ) ` K ) )
48		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( k = K -> ( Q ` k ) = ( Q ` K ) )
49		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( q = Q -> ( q ` K ) = ( Q ` K ) )
50	49	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( q = Q -> ( ( q ` K ) = K <-> ( Q ` K ) = K ) )
51	50	elrab 3363	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } <-> ( Q e. P /\ ( Q ` K ) = K ) )
52	51	simprbi 480	. . . . . . . . . . 11 |- ( Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } -> ( Q ` K ) = K )
53	52	ad3antlr 767	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) /\ ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) ) ) /\ ( U e. Word R /\ ( # ` W ) = ( # ` U ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( U ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( U ` i ) ` n ) ) ) ) -> ( Q ` K ) = K )
54	48, 53	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) /\ ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) ) ) /\ ( U e. Word R /\ ( # ` W ) = ( # ` U ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( U ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( U ` i ) ` n ) ) ) ) /\ k = K ) -> ( Q ` k ) = K )
55		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( k = K -> ( ( Z gsumg U ) ` k ) = ( ( Z gsumg U ) ` K ) )
56	55	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) /\ ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) ) ) /\ ( U e. Word R /\ ( # ` W ) = ( # ` U ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( U ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( U ` i ) ` n ) ) ) ) /\ k = K ) -> ( ( Z gsumg U ) ` k ) = ( ( Z gsumg U ) ` K ) )
57	54, 56	eqeq12d 2637	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) /\ ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) ) ) /\ ( U e. Word R /\ ( # ` W ) = ( # ` U ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( U ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( U ` i ) ` n ) ) ) ) /\ k = K ) -> ( ( Q ` k ) = ( ( Z gsumg U ) ` k ) <-> K = ( ( Z gsumg U ) ` K ) ) )
58	47, 57	mpbird 247	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) /\ ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) ) ) /\ ( U e. Word R /\ ( # ` W ) = ( # ` U ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( U ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( U ` i ) ` n ) ) ) ) /\ k = K ) -> ( Q ` k ) = ( ( Z gsumg U ) ` k ) )
59	58	ex 450	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) /\ ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) ) ) /\ ( U e. Word R /\ ( # ` W ) = ( # ` U ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( U ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( U ` i ) ` n ) ) ) ) -> ( k = K -> ( Q ` k ) = ( ( Z gsumg U ) ` k ) ) )
60	59	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) /\ ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) ) ) /\ ( U e. Word R /\ ( # ` W ) = ( # ` U ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( U ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( U ` i ) ` n ) ) ) ) /\ k e. N ) -> ( k = K -> ( Q ` k ) = ( ( Z gsumg U ) ` k ) ) )
61	60	com12 32	. . . 4 |- ( k = K -> ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) /\ ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) ) ) /\ ( U e. Word R /\ ( # ` W ) = ( # ` U ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( U ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( U ` i ) ` n ) ) ) ) /\ k e. N ) -> ( Q ` k ) = ( ( Z gsumg U ) ` k ) ) )
62		fveq1 6190	. . . . . . . . 9 |- ( ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) -> ( ( Q |` ( N \ { K } ) ) ` k ) = ( ( S gsumg W ) ` k ) )
63	62	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) ) -> ( ( Q |` ( N \ { K } ) ) ` k ) = ( ( S gsumg W ) ` k ) )
64	63	ad3antlr 767	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) /\ ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) ) ) /\ ( U e. Word R /\ ( # ` W ) = ( # ` U ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( U ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( U ` i ) ` n ) ) ) ) /\ k e. N ) -> ( ( Q |` ( N \ { K } ) ) ` k ) = ( ( S gsumg W ) ` k ) )
65	64	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( -. k = K /\ ( ( ( ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) /\ ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) ) ) /\ ( U e. Word R /\ ( # ` W ) = ( # ` U ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( U ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( U ` i ) ` n ) ) ) ) /\ k e. N ) ) -> ( ( Q |` ( N \ { K } ) ) ` k ) = ( ( S gsumg W ) ` k ) )
66		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ k e. N ) -> k e. N )
67		df-ne 2795	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k =/= K <-> -. k = K )
68	67	biimpri 218	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. k = K -> k =/= K )
69	66, 68	anim12i 590	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ k e. N ) /\ -. k = K ) -> ( k e. N /\ k =/= K ) )
70		eldifsn 4317	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( N \ { K } ) <-> ( k e. N /\ k =/= K ) )
71	69, 70	sylibr 224	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ k e. N ) /\ -. k = K ) -> k e. ( N \ { K } ) )
72		fvres 6207	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( N \ { K } ) -> ( ( Q |` ( N \ { K } ) ) ` k ) = ( Q ` k ) )
73	71, 72	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ k e. N ) /\ -. k = K ) -> ( ( Q |` ( N \ { K } ) ) ` k ) = ( Q ` k ) )
74	73	exp31 630	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. Fin /\ K e. N ) -> ( k e. N -> ( -. k = K -> ( ( Q |` ( N \ { K } ) ) ` k ) = ( Q ` k ) ) ) )
75	74	ad3antrrr 766	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) /\ ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) ) ) /\ ( U e. Word R /\ ( # ` W ) = ( # ` U ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( U ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( U ` i ) ` n ) ) ) ) -> ( k e. N -> ( -. k = K -> ( ( Q |` ( N \ { K } ) ) ` k ) = ( Q ` k ) ) ) )
76	75	imp 445	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) /\ ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) ) ) /\ ( U e. Word R /\ ( # ` W ) = ( # ` U ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( U ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( U ` i ) ` n ) ) ) ) /\ k e. N ) -> ( -. k = K -> ( ( Q |` ( N \ { K } ) ) ` k ) = ( Q ` k ) ) )
77	76	impcom 446	. . . . . 6 |- ( ( -. k = K /\ ( ( ( ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) /\ ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) ) ) /\ ( U e. Word R /\ ( # ` W ) = ( # ` U ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( U ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( U ` i ) ` n ) ) ) ) /\ k e. N ) ) -> ( ( Q |` ( N \ { K } ) ) ` k ) = ( Q ` k ) )
78	68	anim2i 593	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. N /\ -. k = K ) -> ( k e. N /\ k =/= K ) )
79	78, 70	sylibr 224	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. N /\ -. k = K ) -> k e. ( N \ { K } ) )
80	79	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( k e. N -> ( -. k = K -> k e. ( N \ { K } ) ) )
81	80	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) /\ ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) ) ) /\ ( U e. Word R /\ ( # ` W ) = ( # ` U ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( U ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( U ` i ) ` n ) ) ) ) /\ k e. N ) -> ( -. k = K -> k e. ( N \ { K } ) ) )
82	81	impcom 446	. . . . . . 7 |- ( ( -. k = K /\ ( ( ( ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) /\ ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) ) ) /\ ( U e. Word R /\ ( # ` W ) = ( # ` U ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( U ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( U ` i ) ` n ) ) ) ) /\ k e. N ) ) -> k e. ( N \ { K } ) )
83		diffi 8192	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. Fin -> ( N \ { K } ) e. Fin )
84	83	ancri 575	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. Fin -> ( ( N \ { K } ) e. Fin /\ N e. Fin ) )
85	84	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. Fin /\ K e. N ) -> ( ( N \ { K } ) e. Fin /\ N e. Fin ) )
86	85	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) /\ ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) ) ) /\ ( U e. Word R /\ ( # ` W ) = ( # ` U ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( U ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( U ` i ) ` n ) ) ) ) -> ( ( N \ { K } ) e. Fin /\ N e. Fin ) )
87		psgnfix.t	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- T = ran (pmTrsp ` ( N \ { K } ) )
88		psgnfix.s	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- S = ( SymGrp ` ( N \ { K } ) )
89		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Base ` S ) = ( Base ` S )
90	87, 88, 89	symgtrf 17889	. . . . . . . . . . . . . 14 |- T C_ ( Base ` S )
91		sswrd 13313	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( T C_ ( Base ` S ) -> Word T C_ Word ( Base ` S ) )
92	91	sseld 3602	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( T C_ ( Base ` S ) -> ( W e. Word T -> W e. Word ( Base ` S ) ) )
93	90, 92	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( W e. Word T -> W e. Word ( Base ` S ) )
94	93	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) /\ ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) ) ) -> W e. Word ( Base ` S ) )
95	94	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) /\ ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) ) ) /\ ( U e. Word R /\ ( # ` W ) = ( # ` U ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( U ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( U ` i ) ` n ) ) ) ) -> W e. Word ( Base ` S ) )
96		simpr2 1068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) /\ ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) ) ) /\ ( U e. Word R /\ ( # ` W ) = ( # ` U ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( U ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( U ` i ) ` n ) ) ) ) -> ( # ` W ) = ( # ` U ) )
97	95, 32, 96	3jca 1242	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) /\ ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) ) ) /\ ( U e. Word R /\ ( # ` W ) = ( # ` U ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( U ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( U ` i ) ` n ) ) ) ) -> ( W e. Word ( Base ` S ) /\ U e. Word ( Base ` Z ) /\ ( # ` W ) = ( # ` U ) ) )
98	86, 97	jca 554	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) /\ ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) ) ) /\ ( U e. Word R /\ ( # ` W ) = ( # ` U ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( U ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( U ` i ) ` n ) ) ) ) -> ( ( ( N \ { K } ) e. Fin /\ N e. Fin ) /\ ( W e. Word ( Base ` S ) /\ U e. Word ( Base ` Z ) /\ ( # ` W ) = ( # ` U ) ) ) )
99	98	ad2antrl 764	. . . . . . . 8 |- ( ( -. k = K /\ ( ( ( ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) /\ ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) ) ) /\ ( U e. Word R /\ ( # ` W ) = ( # ` U ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( U ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( U ` i ) ` n ) ) ) ) /\ k e. N ) ) -> ( ( ( N \ { K } ) e. Fin /\ N e. Fin ) /\ ( W e. Word ( Base ` S ) /\ U e. Word ( Base ` Z ) /\ ( # ` W ) = ( # ` U ) ) ) )
100		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( U ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( U ` i ) ` n ) ) -> A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( U ` i ) ` n ) )
101	100	ralimi 2952	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( U ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( U ` i ) ` n ) ) -> A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( U ` i ) ` n ) )
102	101	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. Word R /\ ( # ` W ) = ( # ` U ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( U ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( U ` i ) ` n ) ) ) -> A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( U ` i ) ` n ) )
103	102	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) /\ ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) ) ) /\ ( U e. Word R /\ ( # ` W ) = ( # ` U ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( U ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( U ` i ) ` n ) ) ) ) -> A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( U ` i ) ` n ) )
104	103	ad2antrl 764	. . . . . . . 8 |- ( ( -. k = K /\ ( ( ( ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) /\ ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) ) ) /\ ( U e. Word R /\ ( # ` W ) = ( # ` U ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( U ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( U ` i ) ` n ) ) ) ) /\ k e. N ) ) -> A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( U ` i ) ` n ) )
105		incom 3805	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N \ { K } ) i^i N ) = ( N i^i ( N \ { K } ) )
106		indif 3869	. . . . . . . . . . 11 |- ( N i^i ( N \ { K } ) ) = ( N \ { K } )
107	105, 106	eqtri 2644	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N \ { K } ) i^i N ) = ( N \ { K } )
108	107	eqcomi 2631	. . . . . . . . 9 |- ( N \ { K } ) = ( ( N \ { K } ) i^i N )
109	88, 89, 13, 26, 108	gsmsymgreq 17852	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N \ { K } ) e. Fin /\ N e. Fin ) /\ ( W e. Word ( Base ` S ) /\ U e. Word ( Base ` Z ) /\ ( # ` W ) = ( # ` U ) ) ) -> ( A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( U ` i ) ` n ) -> A. n e. ( N \ { K } ) ( ( S gsumg W ) ` n ) = ( ( Z gsumg U ) ` n ) ) )
110	99, 104, 109	sylc 65	. . . . . . 7 |- ( ( -. k = K /\ ( ( ( ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) /\ ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) ) ) /\ ( U e. Word R /\ ( # ` W ) = ( # ` U ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( U ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( U ` i ) ` n ) ) ) ) /\ k e. N ) ) -> A. n e. ( N \ { K } ) ( ( S gsumg W ) ` n ) = ( ( Z gsumg U ) ` n ) )
111		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( n = k -> ( ( S gsumg W ) ` n ) = ( ( S gsumg W ) ` k ) )
112		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( n = k -> ( ( Z gsumg U ) ` n ) = ( ( Z gsumg U ) ` k ) )
113	111, 112	eqeq12d 2637	. . . . . . . 8 |- ( n = k -> ( ( ( S gsumg W ) ` n ) = ( ( Z gsumg U ) ` n ) <-> ( ( S gsumg W ) ` k ) = ( ( Z gsumg U ) ` k ) ) )
114	113	rspcva 3307	. . . . . . 7 |- ( ( k e. ( N \ { K } ) /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( S gsumg W ) ` n ) = ( ( Z gsumg U ) ` n ) ) -> ( ( S gsumg W ) ` k ) = ( ( Z gsumg U ) ` k ) )
115	82, 110, 114	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( -. k = K /\ ( ( ( ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) /\ ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) ) ) /\ ( U e. Word R /\ ( # ` W ) = ( # ` U ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( U ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( U ` i ) ` n ) ) ) ) /\ k e. N ) ) -> ( ( S gsumg W ) ` k ) = ( ( Z gsumg U ) ` k ) )
116	65, 77, 115	3eqtr3d 2664	. . . . 5 |- ( ( -. k = K /\ ( ( ( ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) /\ ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) ) ) /\ ( U e. Word R /\ ( # ` W ) = ( # ` U ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( U ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( U ` i ) ` n ) ) ) ) /\ k e. N ) ) -> ( Q ` k ) = ( ( Z gsumg U ) ` k ) )
117	116	ex 450	. . . 4 |- ( -. k = K -> ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) /\ ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) ) ) /\ ( U e. Word R /\ ( # ` W ) = ( # ` U ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( U ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( U ` i ) ` n ) ) ) ) /\ k e. N ) -> ( Q ` k ) = ( ( Z gsumg U ) ` k ) ) )
118	61, 117	pm2.61i 176	. . 3 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) /\ ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) ) ) /\ ( U e. Word R /\ ( # ` W ) = ( # ` U ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( U ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( U ` i ) ` n ) ) ) ) /\ k e. N ) -> ( Q ` k ) = ( ( Z gsumg U ) ` k ) )
119	7, 22, 118	eqfnfvd 6314	. 2 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) /\ ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) ) ) /\ ( U e. Word R /\ ( # ` W ) = ( # ` U ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( U ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( U ` i ) ` n ) ) ) ) -> Q = ( Z gsumg U ) )
120	119	exp31 630	1 |- ( ( ( N e. Fin /\ K e. N ) /\ Q e. { q e. P | ( q ` K ) = K } ) -> ( ( W e. Word T /\ ( Q |` ( N \ { K } ) ) = ( S gsumg W ) ) -> ( ( U e. Word R /\ ( # ` W ) = ( # ` U ) /\ A. i e. ( 0..^ ( # ` W ) ) ( ( ( U ` i ) ` K ) = K /\ A. n e. ( N \ { K } ) ( ( W ` i ) ` n ) = ( ( U ` i ) ` n ) ) ) -> Q = ( Z gsumg U ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   {crab 2916   \ cdif 3571   i^i cin 3573   C_ wss 3574   {csn 4177   ran crn 5115   |` cres 5116   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   0cc0 9936  ..^cfzo 12465   #chash 13117  Word cword 13291   Basecbs 15857   gsum_g cgsu 16101   SymGrpcsymg 17797  pmTrspcpmtr 17861

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-word 13299  df-lsw 13300  df-concat 13301  df-s1 13302  df-substr 13303  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-tset 15960  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-subg 17591  df-symg 17798  df-pmtr 17862  df-psgn 17911

This theorem is referenced by:  psgndiflemA  19947