MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsmsymgreqlem2 Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem gsmsymgreqlem2 17851
Description: Lemma 2 for gsmsymgreq 17852. (Contributed by AV, 26-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsmsymgrfix.s |- S = ( SymGrp ` N )
gsmsymgrfix.b |- B = ( Base ` S )
gsmsymgreq.z |- Z = ( SymGrp ` M )
gsmsymgreq.p |- P = ( Base ` Z )
gsmsymgreq.i |- I = ( N i^i M )
Assertion
Ref Expression
gsmsymgreqlem2 |- ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin ) /\ ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) ) -> ( ( A. i e. ( 0..^ ( # ` X ) ) A. n e. I ( ( X ` i ) ` n ) = ( ( Y ` i ) ` n ) -> A. n e. I ( ( S gsumg X ) ` n ) = ( ( Z gsumg Y ) ` n ) ) -> ( A. i e. ( 0..^ ( # ` ( X ++ <" C "> ) ) ) A. n e. I ( ( ( X ++ <" C "> ) ` i ) ` n ) = ( ( ( Y ++ <" R "> ) ` i ) ` n ) -> A. n e. I ( ( S gsumg ( X ++ <" C "> ) ) ` n ) = ( ( Z gsumg ( Y ++ <" R "> ) ) ` n ) ) ) )
Distinct variable groups:   B, i   i, N   P, i   n, I   n, X   C, n   R, n   S, n   n, Y   n, Z   B, n   C, i, n   i, I   n, M   n, N   P, n   R, i   i, X   i, Y
Allowed substitution hints:   S( i)   M( i)   Z( i)
Proof of Theorem gsmsymgreqlem2
Dummy variable j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ccatws1len 13398 . . . . . . . . 9 |- ( ( X e. Word B /\ C e. B ) -> ( # ` ( X ++ <" C "> ) ) = ( ( # ` X ) + 1 ) )
213ad2ant1 1082 . . . . . . . 8 |- ( ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) -> ( # ` ( X ++ <" C "> ) ) = ( ( # ` X ) + 1 ) )
32oveq2d 6666 . . . . . . 7 |- ( ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) -> ( 0..^ ( # ` ( X ++ <" C "> ) ) ) = ( 0..^ ( ( # ` X ) + 1 ) ) )
4 lencl 13324 . . . . . . . . . . 11 |- ( X e. Word B -> ( # ` X ) e. NN0 )
5 elnn0uz 11725 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( # ` X ) e. NN0 <-> ( # ` X ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
64, 5sylib 208 . . . . . . . . . 10 |- ( X e. Word B -> ( # ` X ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
76adantr 481 . . . . . . . . 9 |- ( ( X e. Word B /\ C e. B ) -> ( # ` X ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
8 fzosplitsn 12576 . . . . . . . . 9 |- ( ( # ` X ) e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( 0..^ ( ( # ` X ) + 1 ) ) = ( ( 0..^ ( # ` X ) ) u. { ( # ` X ) } ) )
97, 8syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ( X e. Word B /\ C e. B ) -> ( 0..^ ( ( # ` X ) + 1 ) ) = ( ( 0..^ ( # ` X ) ) u. { ( # ` X ) } ) )
1093ad2ant1 1082 . . . . . . 7 |- ( ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) -> ( 0..^ ( ( # ` X ) + 1 ) ) = ( ( 0..^ ( # ` X ) ) u. { ( # ` X ) } ) )
113, 10eqtrd 2656 . . . . . 6 |- ( ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) -> ( 0..^ ( # ` ( X ++ <" C "> ) ) ) = ( ( 0..^ ( # ` X ) ) u. { ( # ` X ) } ) )
1211raleqdv 3144 . . . . 5 |- ( ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) -> ( A. i e. ( 0..^ ( # ` ( X ++ <" C "> ) ) ) A. n e. I ( ( ( X ++ <" C "> ) ` i ) ` n ) = ( ( ( Y ++ <" R "> ) ` i ) ` n ) <-> A. i e. ( ( 0..^ ( # ` X ) ) u. { ( # ` X ) } ) A. n e. I ( ( ( X ++ <" C "> ) ` i ) ` n ) = ( ( ( Y ++ <" R "> ) ` i ) ` n ) ) )
134adantr 481 . . . . . . 7 |- ( ( X e. Word B /\ C e. B ) -> ( # ` X ) e. NN0 )
14133ad2ant1 1082 . . . . . 6 |- ( ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) -> ( # ` X ) e. NN0 )
15 fveq2 6191 . . . . . . . . . 10 |- ( i = ( # ` X ) -> ( ( X ++ <" C "> ) ` i ) = ( ( X ++ <" C "> ) ` ( # ` X ) ) )
1615fveq1d 6193 . . . . . . . . 9 |- ( i = ( # ` X ) -> ( ( ( X ++ <" C "> ) ` i ) ` n ) = ( ( ( X ++ <" C "> ) ` ( # ` X ) ) ` n ) )
17 fveq2 6191 . . . . . . . . . 10 |- ( i = ( # ` X ) -> ( ( Y ++ <" R "> ) ` i ) = ( ( Y ++ <" R "> ) ` ( # ` X ) ) )
1817fveq1d 6193 . . . . . . . . 9 |- ( i = ( # ` X ) -> ( ( ( Y ++ <" R "> ) ` i ) ` n ) = ( ( ( Y ++ <" R "> ) ` ( # ` X ) ) ` n ) )
1916, 18eqeq12d 2637 . . . . . . . 8 |- ( i = ( # ` X ) -> ( ( ( ( X ++ <" C "> ) ` i ) ` n ) = ( ( ( Y ++ <" R "> ) ` i ) ` n ) <-> ( ( ( X ++ <" C "> ) ` ( # ` X ) ) ` n ) = ( ( ( Y ++ <" R "> ) ` ( # ` X ) ) ` n ) ) )
2019ralbidv 2986 . . . . . . 7 |- ( i = ( # ` X ) -> ( A. n e. I ( ( ( X ++ <" C "> ) ` i ) ` n ) = ( ( ( Y ++ <" R "> ) ` i ) ` n ) <-> A. n e. I ( ( ( X ++ <" C "> ) ` ( # ` X ) ) ` n ) = ( ( ( Y ++ <" R "> ) ` ( # ` X ) ) ` n ) ) )
2120ralunsn 4422 . . . . . 6 |- ( ( # ` X ) e. NN0 -> ( A. i e. ( ( 0..^ ( # ` X ) ) u. { ( # ` X ) } ) A. n e. I ( ( ( X ++ <" C "> ) ` i ) ` n ) = ( ( ( Y ++ <" R "> ) ` i ) ` n ) <-> ( A. i e. ( 0..^ ( # ` X ) ) A. n e. I ( ( ( X ++ <" C "> ) ` i ) ` n ) = ( ( ( Y ++ <" R "> ) ` i ) ` n ) /\ A. n e. I ( ( ( X ++ <" C "> ) ` ( # ` X ) ) ` n ) = ( ( ( Y ++ <" R "> ) ` ( # ` X ) ) ` n ) ) ) )
2214, 21syl 17 . . . . 5 |- ( ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) -> ( A. i e. ( ( 0..^ ( # ` X ) ) u. { ( # ` X ) } ) A. n e. I ( ( ( X ++ <" C "> ) ` i ) ` n ) = ( ( ( Y ++ <" R "> ) ` i ) ` n ) <-> ( A. i e. ( 0..^ ( # ` X ) ) A. n e. I ( ( ( X ++ <" C "> ) ` i ) ` n ) = ( ( ( Y ++ <" R "> ) ` i ) ` n ) /\ A. n e. I ( ( ( X ++ <" C "> ) ` ( # ` X ) ) ` n ) = ( ( ( Y ++ <" R "> ) ` ( # ` X ) ) ` n ) ) ) )
23 simpl 473 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( X e. Word B /\ C e. B ) -> X e. Word B )
24233ad2ant1 1082 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) -> X e. Word B )
2524adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) /\ i e. ( 0..^ ( # ` X ) ) ) -> X e. Word B )
26 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( X e. Word B /\ C e. B ) -> C e. B )
27263ad2ant1 1082 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) -> C e. B )
2827adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) /\ i e. ( 0..^ ( # ` X ) ) ) -> C e. B )
29 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) /\ i e. ( 0..^ ( # ` X ) ) ) -> i e. ( 0..^ ( # ` X ) ) )
30 ccats1val1 13403 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. Word B /\ C e. B /\ i e. ( 0..^ ( # ` X ) ) ) -> ( ( X ++ <" C "> ) ` i ) = ( X ` i ) )
3125, 28, 29, 30syl3anc 1326 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) /\ i e. ( 0..^ ( # ` X ) ) ) -> ( ( X ++ <" C "> ) ` i ) = ( X ` i ) )
3231fveq1d 6193 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) /\ i e. ( 0..^ ( # ` X ) ) ) -> ( ( ( X ++ <" C "> ) ` i ) ` n ) = ( ( X ` i ) ` n ) )
33 simpl2l 1114 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) /\ i e. ( 0..^ ( # ` X ) ) ) -> Y e. Word P )
34 simpl2r 1115 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) /\ i e. ( 0..^ ( # ` X ) ) ) -> R e. P )
35 oveq2 6658 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( # ` X ) = ( # ` Y ) -> ( 0..^ ( # ` X ) ) = ( 0..^ ( # ` Y ) ) )
3635eleq2d 2687 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( # ` X ) = ( # ` Y ) -> ( i e. ( 0..^ ( # ` X ) ) <-> i e. ( 0..^ ( # ` Y ) ) ) )
3736biimpd 219 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( # ` X ) = ( # ` Y ) -> ( i e. ( 0..^ ( # ` X ) ) -> i e. ( 0..^ ( # ` Y ) ) ) )
38373ad2ant3 1084 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) -> ( i e. ( 0..^ ( # ` X ) ) -> i e. ( 0..^ ( # ` Y ) ) ) )
3938imp 445 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) /\ i e. ( 0..^ ( # ` X ) ) ) -> i e. ( 0..^ ( # ` Y ) ) )
40 ccats1val1 13403 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( Y e. Word P /\ R e. P /\ i e. ( 0..^ ( # ` Y ) ) ) -> ( ( Y ++ <" R "> ) ` i ) = ( Y ` i ) )
4133, 34, 39, 40syl3anc 1326 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) /\ i e. ( 0..^ ( # ` X ) ) ) -> ( ( Y ++ <" R "> ) ` i ) = ( Y ` i ) )
4241fveq1d 6193 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) /\ i e. ( 0..^ ( # ` X ) ) ) -> ( ( ( Y ++ <" R "> ) ` i ) ` n ) = ( ( Y ` i ) ` n ) )
4332, 42eqeq12d 2637 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) /\ i e. ( 0..^ ( # ` X ) ) ) -> ( ( ( ( X ++ <" C "> ) ` i ) ` n ) = ( ( ( Y ++ <" R "> ) ` i ) ` n ) <-> ( ( X ` i ) ` n ) = ( ( Y ` i ) ` n ) ) )
4443ralbidv 2986 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) /\ i e. ( 0..^ ( # ` X ) ) ) -> ( A. n e. I ( ( ( X ++ <" C "> ) ` i ) ` n ) = ( ( ( Y ++ <" R "> ) ` i ) ` n ) <-> A. n e. I ( ( X ` i ) ` n ) = ( ( Y ` i ) ` n ) ) )
4544ralbidva 2985 . . . . . 6 |- ( ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) -> ( A. i e. ( 0..^ ( # ` X ) ) A. n e. I ( ( ( X ++ <" C "> ) ` i ) ` n ) = ( ( ( Y ++ <" R "> ) ` i ) ` n ) <-> A. i e. ( 0..^ ( # ` X ) ) A. n e. I ( ( X ` i ) ` n ) = ( ( Y ` i ) ` n ) ) )
46 eqidd 2623 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X e. Word B /\ C e. B ) -> ( # ` X ) = ( # ` X ) )
4723, 26, 463jca 1242 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. Word B /\ C e. B ) -> ( X e. Word B /\ C e. B /\ ( # ` X ) = ( # ` X ) ) )
48473ad2ant1 1082 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) -> ( X e. Word B /\ C e. B /\ ( # ` X ) = ( # ` X ) ) )
49 ccats1val2 13404 . . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. Word B /\ C e. B /\ ( # ` X ) = ( # ` X ) ) -> ( ( X ++ <" C "> ) ` ( # ` X ) ) = C )
5048, 49syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) -> ( ( X ++ <" C "> ) ` ( # ` X ) ) = C )
5150fveq1d 6193 . . . . . . . 8 |- ( ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) -> ( ( ( X ++ <" C "> ) ` ( # ` X ) ) ` n ) = ( C ` n ) )
52 df-3an 1039 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( Y e. Word P /\ R e. P /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) <-> ( ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) )
5352biimpri 218 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) -> ( Y e. Word P /\ R e. P /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) )
54533adant1 1079 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) -> ( Y e. Word P /\ R e. P /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) )
55 ccats1val2 13404 . . . . . . . . . 10 |- ( ( Y e. Word P /\ R e. P /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) -> ( ( Y ++ <" R "> ) ` ( # ` X ) ) = R )
5655fveq1d 6193 . . . . . . . . 9 |- ( ( Y e. Word P /\ R e. P /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) -> ( ( ( Y ++ <" R "> ) ` ( # ` X ) ) ` n ) = ( R ` n ) )
5754, 56syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) -> ( ( ( Y ++ <" R "> ) ` ( # ` X ) ) ` n ) = ( R ` n ) )
5851, 57eqeq12d 2637 . . . . . . 7 |- ( ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) -> ( ( ( ( X ++ <" C "> ) ` ( # ` X ) ) ` n ) = ( ( ( Y ++ <" R "> ) ` ( # ` X ) ) ` n ) <-> ( C ` n ) = ( R ` n ) ) )
5958ralbidv 2986 . . . . . 6 |- ( ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) -> ( A. n e. I ( ( ( X ++ <" C "> ) ` ( # ` X ) ) ` n ) = ( ( ( Y ++ <" R "> ) ` ( # ` X ) ) ` n ) <-> A. n e. I ( C ` n ) = ( R ` n ) ) )
6045, 59anbi12d 747 . . . . 5 |- ( ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) -> ( ( A. i e. ( 0..^ ( # ` X ) ) A. n e. I ( ( ( X ++ <" C "> ) ` i ) ` n ) = ( ( ( Y ++ <" R "> ) ` i ) ` n ) /\ A. n e. I ( ( ( X ++ <" C "> ) ` ( # ` X ) ) ` n ) = ( ( ( Y ++ <" R "> ) ` ( # ` X ) ) ` n ) ) <-> ( A. i e. ( 0..^ ( # ` X ) ) A. n e. I ( ( X ` i ) ` n ) = ( ( Y ` i ) ` n ) /\ A. n e. I ( C ` n ) = ( R ` n ) ) ) )
6112, 22, 603bitrd 294 . . . 4 |- ( ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) -> ( A. i e. ( 0..^ ( # ` ( X ++ <" C "> ) ) ) A. n e. I ( ( ( X ++ <" C "> ) ` i ) ` n ) = ( ( ( Y ++ <" R "> ) ` i ) ` n ) <-> ( A. i e. ( 0..^ ( # ` X ) ) A. n e. I ( ( X ` i ) ` n ) = ( ( Y ` i ) ` n ) /\ A. n e. I ( C ` n ) = ( R ` n ) ) ) )
6261ad2antlr 763 . . 3 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin ) /\ ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) ) /\ ( A. i e. ( 0..^ ( # ` X ) ) A. n e. I ( ( X ` i ) ` n ) = ( ( Y ` i ) ` n ) -> A. n e. I ( ( S gsumg X ) ` n ) = ( ( Z gsumg Y ) ` n ) ) ) -> ( A. i e. ( 0..^ ( # ` ( X ++ <" C "> ) ) ) A. n e. I ( ( ( X ++ <" C "> ) ` i ) ` n ) = ( ( ( Y ++ <" R "> ) ` i ) ` n ) <-> ( A. i e. ( 0..^ ( # ` X ) ) A. n e. I ( ( X ` i ) ` n ) = ( ( Y ` i ) ` n ) /\ A. n e. I ( C ` n ) = ( R ` n ) ) ) )
63 pm3.35 611 . . . . . . 7 |- ( ( A. i e. ( 0..^ ( # ` X ) ) A. n e. I ( ( X ` i ) ` n ) = ( ( Y ` i ) ` n ) /\ ( A. i e. ( 0..^ ( # ` X ) ) A. n e. I ( ( X ` i ) ` n ) = ( ( Y ` i ) ` n ) -> A. n e. I ( ( S gsumg X ) ` n ) = ( ( Z gsumg Y ) ` n ) ) ) -> A. n e. I ( ( S gsumg X ) ` n ) = ( ( Z gsumg Y ) ` n ) )
64 fveq2 6191 . . . . . . . . . . 11 |- ( n = j -> ( ( S gsumg X ) ` n ) = ( ( S gsumg X ) ` j ) )
65 fveq2 6191 . . . . . . . . . . 11 |- ( n = j -> ( ( Z gsumg Y ) ` n ) = ( ( Z gsumg Y ) ` j ) )
6664, 65eqeq12d 2637 . . . . . . . . . 10 |- ( n = j -> ( ( ( S gsumg X ) ` n ) = ( ( Z gsumg Y ) ` n ) <-> ( ( S gsumg X ) ` j ) = ( ( Z gsumg Y ) ` j ) ) )
6766cbvralv 3171 . . . . . . . . 9 |- ( A. n e. I ( ( S gsumg X ) ` n ) = ( ( Z gsumg Y ) ` n ) <-> A. j e. I ( ( S gsumg X ) ` j ) = ( ( Z gsumg Y ) ` j ) )
68 simp-4l 806 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin ) /\ ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) ) /\ A. j e. I ( ( S gsumg X ) ` j ) = ( ( Z gsumg Y ) ` j ) ) /\ n e. I ) -> N e. Fin )
69 simp-4r 807 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin ) /\ ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) ) /\ A. j e. I ( ( S gsumg X ) ` j ) = ( ( Z gsumg Y ) ` j ) ) /\ n e. I ) -> M e. Fin )
70 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin ) /\ ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) ) /\ A. j e. I ( ( S gsumg X ) ` j ) = ( ( Z gsumg Y ) ` j ) ) /\ n e. I ) -> n e. I )
7168, 69, 703jca 1242 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin ) /\ ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) ) /\ A. j e. I ( ( S gsumg X ) ` j ) = ( ( Z gsumg Y ) ` j ) ) /\ n e. I ) -> ( N e. Fin /\ M e. Fin /\ n e. I ) )
7271adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin ) /\ ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) ) /\ A. j e. I ( ( S gsumg X ) ` j ) = ( ( Z gsumg Y ) ` j ) ) /\ n e. I ) /\ ( C ` n ) = ( R ` n ) ) -> ( N e. Fin /\ M e. Fin /\ n e. I ) )
73 simp-4r 807 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin ) /\ ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) ) /\ A. j e. I ( ( S gsumg X ) ` j ) = ( ( Z gsumg Y ) ` j ) ) /\ n e. I ) /\ ( C ` n ) = ( R ` n ) ) -> ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) )
74 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin ) /\ ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) ) /\ A. j e. I ( ( S gsumg X ) ` j ) = ( ( Z gsumg Y ) ` j ) ) -> A. j e. I ( ( S gsumg X ) ` j ) = ( ( Z gsumg Y ) ` j ) )
7574adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin ) /\ ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) ) /\ A. j e. I ( ( S gsumg X ) ` j ) = ( ( Z gsumg Y ) ` j ) ) /\ n e. I ) -> A. j e. I ( ( S gsumg X ) ` j ) = ( ( Z gsumg Y ) ` j ) )
7675anim1i 592 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin ) /\ ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) ) /\ A. j e. I ( ( S gsumg X ) ` j ) = ( ( Z gsumg Y ) ` j ) ) /\ n e. I ) /\ ( C ` n ) = ( R ` n ) ) -> ( A. j e. I ( ( S gsumg X ) ` j ) = ( ( Z gsumg Y ) ` j ) /\ ( C ` n ) = ( R ` n ) ) )
77 gsmsymgrfix.s . . . . . . . . . . . . . . 15 |- S = ( SymGrp ` N )
78 gsmsymgrfix.b . . . . . . . . . . . . . . 15 |- B = ( Base ` S )
79 gsmsymgreq.z . . . . . . . . . . . . . . 15 |- Z = ( SymGrp ` M )
80 gsmsymgreq.p . . . . . . . . . . . . . . 15 |- P = ( Base ` Z )
81 gsmsymgreq.i . . . . . . . . . . . . . . 15 |- I = ( N i^i M )
8277, 78, 79, 80, 81gsmsymgreqlem1 17850 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin /\ n e. I ) /\ ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) ) -> ( ( A. j e. I ( ( S gsumg X ) ` j ) = ( ( Z gsumg Y ) ` j ) /\ ( C ` n ) = ( R ` n ) ) -> ( ( S gsumg ( X ++ <" C "> ) ) ` n ) = ( ( Z gsumg ( Y ++ <" R "> ) ) ` n ) ) )
8382imp 445 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin /\ n e. I ) /\ ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) ) /\ ( A. j e. I ( ( S gsumg X ) ` j ) = ( ( Z gsumg Y ) ` j ) /\ ( C ` n ) = ( R ` n ) ) ) -> ( ( S gsumg ( X ++ <" C "> ) ) ` n ) = ( ( Z gsumg ( Y ++ <" R "> ) ) ` n ) )
8472, 73, 76, 83syl21anc 1325 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin ) /\ ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) ) /\ A. j e. I ( ( S gsumg X ) ` j ) = ( ( Z gsumg Y ) ` j ) ) /\ n e. I ) /\ ( C ` n ) = ( R ` n ) ) -> ( ( S gsumg ( X ++ <" C "> ) ) ` n ) = ( ( Z gsumg ( Y ++ <" R "> ) ) ` n ) )
8584ex 450 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin ) /\ ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) ) /\ A. j e. I ( ( S gsumg X ) ` j ) = ( ( Z gsumg Y ) ` j ) ) /\ n e. I ) -> ( ( C ` n ) = ( R ` n ) -> ( ( S gsumg ( X ++ <" C "> ) ) ` n ) = ( ( Z gsumg ( Y ++ <" R "> ) ) ` n ) ) )
8685ralimdva 2962 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin ) /\ ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) ) /\ A. j e. I ( ( S gsumg X ) ` j ) = ( ( Z gsumg Y ) ` j ) ) -> ( A. n e. I ( C ` n ) = ( R ` n ) -> A. n e. I ( ( S gsumg ( X ++ <" C "> ) ) ` n ) = ( ( Z gsumg ( Y ++ <" R "> ) ) ` n ) ) )
8786expcom 451 . . . . . . . . 9 |- ( A. j e. I ( ( S gsumg X ) ` j ) = ( ( Z gsumg Y ) ` j ) -> ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin ) /\ ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) ) -> ( A. n e. I ( C ` n ) = ( R ` n ) -> A. n e. I ( ( S gsumg ( X ++ <" C "> ) ) ` n ) = ( ( Z gsumg ( Y ++ <" R "> ) ) ` n ) ) ) )
8867, 87sylbi 207 . . . . . . . 8 |- ( A. n e. I ( ( S gsumg X ) ` n ) = ( ( Z gsumg Y ) ` n ) -> ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin ) /\ ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) ) -> ( A. n e. I ( C ` n ) = ( R ` n ) -> A. n e. I ( ( S gsumg ( X ++ <" C "> ) ) ` n ) = ( ( Z gsumg ( Y ++ <" R "> ) ) ` n ) ) ) )
8988com23 86 . . . . . . 7 |- ( A. n e. I ( ( S gsumg X ) ` n ) = ( ( Z gsumg Y ) ` n ) -> ( A. n e. I ( C ` n ) = ( R ` n ) -> ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin ) /\ ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) ) -> A. n e. I ( ( S gsumg ( X ++ <" C "> ) ) ` n ) = ( ( Z gsumg ( Y ++ <" R "> ) ) ` n ) ) ) )
9063, 89syl 17 . . . . . 6 |- ( ( A. i e. ( 0..^ ( # ` X ) ) A. n e. I ( ( X ` i ) ` n ) = ( ( Y ` i ) ` n ) /\ ( A. i e. ( 0..^ ( # ` X ) ) A. n e. I ( ( X ` i ) ` n ) = ( ( Y ` i ) ` n ) -> A. n e. I ( ( S gsumg X ) ` n ) = ( ( Z gsumg Y ) ` n ) ) ) -> ( A. n e. I ( C ` n ) = ( R ` n ) -> ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin ) /\ ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) ) -> A. n e. I ( ( S gsumg ( X ++ <" C "> ) ) ` n ) = ( ( Z gsumg ( Y ++ <" R "> ) ) ` n ) ) ) )
9190impancom 456 . . . . 5 |- ( ( A. i e. ( 0..^ ( # ` X ) ) A. n e. I ( ( X ` i ) ` n ) = ( ( Y ` i ) ` n ) /\ A. n e. I ( C ` n ) = ( R ` n ) ) -> ( ( A. i e. ( 0..^ ( # ` X ) ) A. n e. I ( ( X ` i ) ` n ) = ( ( Y ` i ) ` n ) -> A. n e. I ( ( S gsumg X ) ` n ) = ( ( Z gsumg Y ) ` n ) ) -> ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin ) /\ ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) ) -> A. n e. I ( ( S gsumg ( X ++ <" C "> ) ) ` n ) = ( ( Z gsumg ( Y ++ <" R "> ) ) ` n ) ) ) )
9291com13 88 . . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin ) /\ ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) ) -> ( ( A. i e. ( 0..^ ( # ` X ) ) A. n e. I ( ( X ` i ) ` n ) = ( ( Y ` i ) ` n ) -> A. n e. I ( ( S gsumg X ) ` n ) = ( ( Z gsumg Y ) ` n ) ) -> ( ( A. i e. ( 0..^ ( # ` X ) ) A. n e. I ( ( X ` i ) ` n ) = ( ( Y ` i ) ` n ) /\ A. n e. I ( C ` n ) = ( R ` n ) ) -> A. n e. I ( ( S gsumg ( X ++ <" C "> ) ) ` n ) = ( ( Z gsumg ( Y ++ <" R "> ) ) ` n ) ) ) )
9392imp 445 . . 3 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin ) /\ ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) ) /\ ( A. i e. ( 0..^ ( # ` X ) ) A. n e. I ( ( X ` i ) ` n ) = ( ( Y ` i ) ` n ) -> A. n e. I ( ( S gsumg X ) ` n ) = ( ( Z gsumg Y ) ` n ) ) ) -> ( ( A. i e. ( 0..^ ( # ` X ) ) A. n e. I ( ( X ` i ) ` n ) = ( ( Y ` i ) ` n ) /\ A. n e. I ( C ` n ) = ( R ` n ) ) -> A. n e. I ( ( S gsumg ( X ++ <" C "> ) ) ` n ) = ( ( Z gsumg ( Y ++ <" R "> ) ) ` n ) ) )
9462, 93sylbid 230 . 2 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin ) /\ ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) ) /\ ( A. i e. ( 0..^ ( # ` X ) ) A. n e. I ( ( X ` i ) ` n ) = ( ( Y ` i ) ` n ) -> A. n e. I ( ( S gsumg X ) ` n ) = ( ( Z gsumg Y ) ` n ) ) ) -> ( A. i e. ( 0..^ ( # ` ( X ++ <" C "> ) ) ) A. n e. I ( ( ( X ++ <" C "> ) ` i ) ` n ) = ( ( ( Y ++ <" R "> ) ` i ) ` n ) -> A. n e. I ( ( S gsumg ( X ++ <" C "> ) ) ` n ) = ( ( Z gsumg ( Y ++ <" R "> ) ) ` n ) ) )
9594ex 450 1 |- ( ( ( N e. Fin /\ M e. Fin ) /\ ( ( X e. Word B /\ C e. B ) /\ ( Y e. Word P /\ R e. P ) /\ ( # ` X ) = ( # ` Y ) ) ) -> ( ( A. i e. ( 0..^ ( # ` X ) ) A. n e. I ( ( X ` i ) ` n ) = ( ( Y ` i ) ` n ) -> A. n e. I ( ( S gsumg X ) ` n ) = ( ( Z gsumg Y ) ` n ) ) -> ( A. i e. ( 0..^ ( # ` ( X ++ <" C "> ) ) ) A. n e. I ( ( ( X ++ <" C "> ) ` i ) ` n ) = ( ( ( Y ++ <" R "> ) ` i ) ` n ) -> A. n e. I ( ( S gsumg ( X ++ <" C "> ) ) ` n ) = ( ( Z gsumg ( Y ++ <" R "> ) ) ` n ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   u. cun 3572   i^i cin 3573   {csn 4177   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   NN0cn0 11292   ZZ>=cuz 11687  ..^cfzo 12465   #chash 13117  Word cword 13291   ++ cconcat 13293   <"cs1 13294   Basecbs 15857   gsumg cgsu 16101   SymGrpcsymg 17797
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-word 13299  df-concat 13301  df-s1 13302  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-tset 15960  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-symg 17798
This theorem is referenced by:  gsmsymgreq  17852
  Copyright terms: Public domain W3C validator