Theorem gsummatr01lem4 20464

Description: Lemma 2 for gsummatr01 20465. (Contributed by AV, 8-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummatr01.p	|- P = ( Base ` ( SymGrp ` N ) )
gsummatr01.r	|- R = { r e. P | ( r ` K ) = L }
gsummatr01.0	|- .0. = ( 0g ` G )
gsummatr01.s	|- S = ( Base ` G )

Assertion

Ref	Expression
gsummatr01lem4	|- ( ( ( ( G e. CMnd /\ N e. Fin ) /\ ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S /\ B e. S ) /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) ) /\ n e. ( N \ { K } ) ) -> ( n ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) ) ( Q ` n ) ) = ( n ( i e. ( N \ { K } ) , j e. ( N \ { L } ) |-> ( i A j ) ) ( Q ` n ) ) )

Distinct variable groups:   A, i, j, n   B, i, j, n   i, G, j, n   i, K, j, n   K, r   i, L, j, n   L, r   i, N, j, n   P, r   Q, r   Q, i, j, n   R, i, j, n   S, i, j, n   .0. , i, j, n

Allowed substitution hints:   A( r)   B( r)   P( i, j, n)   R( r)   S( r)   G( r)   N( r)   .0. ( r)

Proof of Theorem gsummatr01lem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2623	. . . . . . 7 |- ( ( Q e. R /\ n e. ( N \ { K } ) ) -> ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) ) = ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) ) )
2		eqeq1 2626	. . . . . . . . . 10 |- ( i = n -> ( i = K <-> n = K ) )
3	2	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( i = n /\ j = ( Q ` n ) ) -> ( i = K <-> n = K ) )
4		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . 11 |- ( j = ( Q ` n ) -> ( j = L <-> ( Q ` n ) = L ) )
5	4	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( i = n /\ j = ( Q ` n ) ) -> ( j = L <-> ( Q ` n ) = L ) )
6	5	ifbid 4108	. . . . . . . . 9 |- ( ( i = n /\ j = ( Q ` n ) ) -> if ( j = L , .0. , B ) = if ( ( Q ` n ) = L , .0. , B ) )
7		oveq12 6659	. . . . . . . . 9 |- ( ( i = n /\ j = ( Q ` n ) ) -> ( i A j ) = ( n A ( Q ` n ) ) )
8	3, 6, 7	ifbieq12d 4113	. . . . . . . 8 |- ( ( i = n /\ j = ( Q ` n ) ) -> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) = if ( n = K , if ( ( Q ` n ) = L , .0. , B ) , ( n A ( Q ` n ) ) ) )
9		eldifsni 4320	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( N \ { K } ) -> n =/= K )
10	9	neneqd 2799	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( N \ { K } ) -> -. n = K )
11	10	iffalsed 4097	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( N \ { K } ) -> if ( n = K , if ( ( Q ` n ) = L , .0. , B ) , ( n A ( Q ` n ) ) ) = ( n A ( Q ` n ) ) )
12	11	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( Q e. R /\ n e. ( N \ { K } ) ) -> if ( n = K , if ( ( Q ` n ) = L , .0. , B ) , ( n A ( Q ` n ) ) ) = ( n A ( Q ` n ) ) )
13	8, 12	sylan9eqr 2678	. . . . . . 7 |- ( ( ( Q e. R /\ n e. ( N \ { K } ) ) /\ ( i = n /\ j = ( Q ` n ) ) ) -> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) = ( n A ( Q ` n ) ) )
14		eldifi 3732	. . . . . . . 8 |- ( n e. ( N \ { K } ) -> n e. N )
15	14	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( Q e. R /\ n e. ( N \ { K } ) ) -> n e. N )
16		gsummatr01.p	. . . . . . . . 9 |- P = ( Base ` ( SymGrp ` N ) )
17		gsummatr01.r	. . . . . . . . 9 |- R = { r e. P | ( r ` K ) = L }
18	16, 17	gsummatr01lem1 20461	. . . . . . . 8 |- ( ( Q e. R /\ n e. N ) -> ( Q ` n ) e. N )
19	14, 18	sylan2 491	. . . . . . 7 |- ( ( Q e. R /\ n e. ( N \ { K } ) ) -> ( Q ` n ) e. N )
20		ovexd 6680	. . . . . . 7 |- ( ( Q e. R /\ n e. ( N \ { K } ) ) -> ( n A ( Q ` n ) ) e. _V )
21	1, 13, 15, 19, 20	ovmpt2d 6788	. . . . . 6 |- ( ( Q e. R /\ n e. ( N \ { K } ) ) -> ( n ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) ) ( Q ` n ) ) = ( n A ( Q ` n ) ) )
22	21	ex 450	. . . . 5 |- ( Q e. R -> ( n e. ( N \ { K } ) -> ( n ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) ) ( Q ` n ) ) = ( n A ( Q ` n ) ) ) )
23	22	3ad2ant3 1084	. . . 4 |- ( ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) -> ( n e. ( N \ { K } ) -> ( n ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) ) ( Q ` n ) ) = ( n A ( Q ` n ) ) ) )
24	23	3ad2ant3 1084	. . 3 |- ( ( ( G e. CMnd /\ N e. Fin ) /\ ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S /\ B e. S ) /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) ) -> ( n e. ( N \ { K } ) -> ( n ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) ) ( Q ` n ) ) = ( n A ( Q ` n ) ) ) )
25	24	imp 445	. 2 |- ( ( ( ( G e. CMnd /\ N e. Fin ) /\ ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S /\ B e. S ) /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) ) /\ n e. ( N \ { K } ) ) -> ( n ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) ) ( Q ` n ) ) = ( n A ( Q ` n ) ) )
26		eqidd 2623	. . 3 |- ( ( ( ( G e. CMnd /\ N e. Fin ) /\ ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S /\ B e. S ) /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) ) /\ n e. ( N \ { K } ) ) -> ( i e. ( N \ { K } ) , j e. ( N \ { L } ) |-> ( i A j ) ) = ( i e. ( N \ { K } ) , j e. ( N \ { L } ) |-> ( i A j ) ) )
27	7	adantl 482	. . 3 |- ( ( ( ( ( G e. CMnd /\ N e. Fin ) /\ ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S /\ B e. S ) /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) ) /\ n e. ( N \ { K } ) ) /\ ( i = n /\ j = ( Q ` n ) ) ) -> ( i A j ) = ( n A ( Q ` n ) ) )
28		eqidd 2623	. . 3 |- ( ( ( ( ( G e. CMnd /\ N e. Fin ) /\ ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S /\ B e. S ) /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) ) /\ n e. ( N \ { K } ) ) /\ i = n ) -> ( N \ { L } ) = ( N \ { L } ) )
29		simpr 477	. . 3 |- ( ( ( ( G e. CMnd /\ N e. Fin ) /\ ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S /\ B e. S ) /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) ) /\ n e. ( N \ { K } ) ) -> n e. ( N \ { K } ) )
30		fveq1 6190	. . . . . . . . . . 11 |- ( r = Q -> ( r ` K ) = ( Q ` K ) )
31	30	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . 10 |- ( r = Q -> ( ( r ` K ) = L <-> ( Q ` K ) = L ) )
32	31, 17	elrab2 3366	. . . . . . . . 9 |- ( Q e. R <-> ( Q e. P /\ ( Q ` K ) = L ) )
33		simpll 790	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( Q e. P /\ ( Q ` K ) = L ) /\ ( L e. N /\ K e. N ) ) -> Q e. P )
34		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( SymGrp ` N ) = ( SymGrp ` N )
35	34, 16	symgfv 17807	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Q e. P /\ n e. N ) -> ( Q ` n ) e. N )
36	33, 14, 35	syl2an 494	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( Q e. P /\ ( Q ` K ) = L ) /\ ( L e. N /\ K e. N ) ) /\ n e. ( N \ { K } ) ) -> ( Q ` n ) e. N )
37	33	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( Q e. P /\ ( Q ` K ) = L ) /\ ( L e. N /\ K e. N ) ) /\ n e. ( N \ { K } ) ) -> Q e. P )
38		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( Q e. P /\ ( Q ` K ) = L ) /\ ( L e. N /\ K e. N ) ) /\ n e. ( N \ { K } ) ) -> K e. N )
39	14	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( Q e. P /\ ( Q ` K ) = L ) /\ ( L e. N /\ K e. N ) ) /\ n e. ( N \ { K } ) ) -> n e. N )
40	37, 38, 39	3jca 1242	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( Q e. P /\ ( Q ` K ) = L ) /\ ( L e. N /\ K e. N ) ) /\ n e. ( N \ { K } ) ) -> ( Q e. P /\ K e. N /\ n e. N ) )
41		simpllr 799	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( Q e. P /\ ( Q ` K ) = L ) /\ ( L e. N /\ K e. N ) ) /\ n e. ( N \ { K } ) ) -> ( Q ` K ) = L )
42	9	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( Q e. P /\ ( Q ` K ) = L ) /\ ( L e. N /\ K e. N ) ) /\ n e. ( N \ { K } ) ) -> n =/= K )
43	34, 16	symgfvne 17808	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Q e. P /\ K e. N /\ n e. N ) -> ( ( Q ` K ) = L -> ( n =/= K -> ( Q ` n ) =/= L ) ) )
44	40, 41, 42, 43	syl3c 66	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( Q e. P /\ ( Q ` K ) = L ) /\ ( L e. N /\ K e. N ) ) /\ n e. ( N \ { K } ) ) -> ( Q ` n ) =/= L )
45	36, 44	jca 554	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( Q e. P /\ ( Q ` K ) = L ) /\ ( L e. N /\ K e. N ) ) /\ n e. ( N \ { K } ) ) -> ( ( Q ` n ) e. N /\ ( Q ` n ) =/= L ) )
46	45	exp42 639	. . . . . . . . 9 |- ( ( Q e. P /\ ( Q ` K ) = L ) -> ( L e. N -> ( K e. N -> ( n e. ( N \ { K } ) -> ( ( Q ` n ) e. N /\ ( Q ` n ) =/= L ) ) ) ) )
47	32, 46	sylbi 207	. . . . . . . 8 |- ( Q e. R -> ( L e. N -> ( K e. N -> ( n e. ( N \ { K } ) -> ( ( Q ` n ) e. N /\ ( Q ` n ) =/= L ) ) ) ) )
48	47	com13 88	. . . . . . 7 |- ( K e. N -> ( L e. N -> ( Q e. R -> ( n e. ( N \ { K } ) -> ( ( Q ` n ) e. N /\ ( Q ` n ) =/= L ) ) ) ) )
49	48	3imp 1256	. . . . . 6 |- ( ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) -> ( n e. ( N \ { K } ) -> ( ( Q ` n ) e. N /\ ( Q ` n ) =/= L ) ) )
50	49	3ad2ant3 1084	. . . . 5 |- ( ( ( G e. CMnd /\ N e. Fin ) /\ ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S /\ B e. S ) /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) ) -> ( n e. ( N \ { K } ) -> ( ( Q ` n ) e. N /\ ( Q ` n ) =/= L ) ) )
51	50	imp 445	. . . 4 |- ( ( ( ( G e. CMnd /\ N e. Fin ) /\ ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S /\ B e. S ) /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) ) /\ n e. ( N \ { K } ) ) -> ( ( Q ` n ) e. N /\ ( Q ` n ) =/= L ) )
52		eldifsn 4317	. . . 4 |- ( ( Q ` n ) e. ( N \ { L } ) <-> ( ( Q ` n ) e. N /\ ( Q ` n ) =/= L ) )
53	51, 52	sylibr 224	. . 3 |- ( ( ( ( G e. CMnd /\ N e. Fin ) /\ ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S /\ B e. S ) /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) ) /\ n e. ( N \ { K } ) ) -> ( Q ` n ) e. ( N \ { L } ) )
54		ovexd 6680	. . 3 |- ( ( ( ( G e. CMnd /\ N e. Fin ) /\ ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S /\ B e. S ) /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) ) /\ n e. ( N \ { K } ) ) -> ( n A ( Q ` n ) ) e. _V )
55		nfv 1843	. . . . 5 |- F/ i ( G e. CMnd /\ N e. Fin )
56		nfra1 2941	. . . . . 6 |- F/ i A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S
57		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ i S
58	57	nfel2 2781	. . . . . 6 |- F/ i B e. S
59	56, 58	nfan 1828	. . . . 5 |- F/ i ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S /\ B e. S )
60		nfv 1843	. . . . 5 |- F/ i ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R )
61	55, 59, 60	nf3an 1831	. . . 4 |- F/ i ( ( G e. CMnd /\ N e. Fin ) /\ ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S /\ B e. S ) /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) )
62		nfcv 2764	. . . . 5 |- F/_ i ( N \ { K } )
63	62	nfel2 2781	. . . 4 |- F/ i n e. ( N \ { K } )
64	61, 63	nfan 1828	. . 3 |- F/ i ( ( ( G e. CMnd /\ N e. Fin ) /\ ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S /\ B e. S ) /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) ) /\ n e. ( N \ { K } ) )
65		nfv 1843	. . . . 5 |- F/ j ( G e. CMnd /\ N e. Fin )
66		nfra2 2946	. . . . . 6 |- F/ j A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S
67		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ j S
68	67	nfel2 2781	. . . . . 6 |- F/ j B e. S
69	66, 68	nfan 1828	. . . . 5 |- F/ j ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S /\ B e. S )
70		nfv 1843	. . . . 5 |- F/ j ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R )
71	65, 69, 70	nf3an 1831	. . . 4 |- F/ j ( ( G e. CMnd /\ N e. Fin ) /\ ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S /\ B e. S ) /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) )
72		nfcv 2764	. . . . 5 |- F/_ j ( N \ { K } )
73	72	nfel2 2781	. . . 4 |- F/ j n e. ( N \ { K } )
74	71, 73	nfan 1828	. . 3 |- F/ j ( ( ( G e. CMnd /\ N e. Fin ) /\ ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S /\ B e. S ) /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) ) /\ n e. ( N \ { K } ) )
75		nfcv 2764	. . 3 |- F/_ j n
76		nfcv 2764	. . 3 |- F/_ i ( Q ` n )
77		nfcv 2764	. . 3 |- F/_ i ( n A ( Q ` n ) )
78		nfcv 2764	. . 3 |- F/_ j ( n A ( Q ` n ) )
79	26, 27, 28, 29, 53, 54, 64, 74, 75, 76, 77, 78	ovmpt2dxf 6786	. 2 |- ( ( ( ( G e. CMnd /\ N e. Fin ) /\ ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S /\ B e. S ) /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) ) /\ n e. ( N \ { K } ) ) -> ( n ( i e. ( N \ { K } ) , j e. ( N \ { L } ) |-> ( i A j ) ) ( Q ` n ) ) = ( n A ( Q ` n ) ) )
80	25, 79	eqtr4d 2659	1 |- ( ( ( ( G e. CMnd /\ N e. Fin ) /\ ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S /\ B e. S ) /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) ) /\ n e. ( N \ { K } ) ) -> ( n ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) ) ( Q ` n ) ) = ( n ( i e. ( N \ { K } ) , j e. ( N \ { L } ) |-> ( i A j ) ) ( Q ` n ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   ifcif 4086   {csn 4177   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   Fincfn 7955   Basecbs 15857   0gc0g 16100   SymGrpcsymg 17797  CMndccmn 18193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-tset 15960  df-symg 17798

This theorem is referenced by:  gsummatr01  20465