Theorem gsummatr01 20465

Description: Lemma 1 for smadiadetlem4 20475. (Contributed by AV, 8-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummatr01.p	|- P = ( Base ` ( SymGrp ` N ) )
gsummatr01.r	|- R = { r e. P | ( r ` K ) = L }
gsummatr01.0	|- .0. = ( 0g ` G )
gsummatr01.s	|- S = ( Base ` G )

Assertion

Ref	Expression
gsummatr01	|- ( ( ( G e. CMnd /\ N e. Fin ) /\ ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S /\ B e. S ) /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) ) -> ( G gsumg ( n e. N |-> ( n ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) ) ( Q ` n ) ) ) ) = ( G gsumg ( n e. ( N \ { K } ) |-> ( n ( i e. ( N \ { K } ) , j e. ( N \ { L } ) |-> ( i A j ) ) ( Q ` n ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, i, j, n   B, i, j, n   i, G, j, n   i, K, j, n   K, r   i, L, j, n   L, r   i, N, j, n   P, r   Q, r   Q, i, j, n   R, i, j, n   S, i, j, n   .0. , i, j, n

Allowed substitution hints:   A( r)   B( r)   P( i, j, n)   R( r)   S( r)   G( r)   N( r)   .0. ( r)

Proof of Theorem gsummatr01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		difsnid 4341	. . . . . . 7 |- ( K e. N -> ( ( N \ { K } ) u. { K } ) = N )
2	1	eqcomd 2628	. . . . . 6 |- ( K e. N -> N = ( ( N \ { K } ) u. { K } ) )
3	2	3ad2ant1 1082	. . . . 5 |- ( ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) -> N = ( ( N \ { K } ) u. { K } ) )
4	3	3ad2ant3 1084	. . . 4 |- ( ( ( G e. CMnd /\ N e. Fin ) /\ ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S /\ B e. S ) /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) ) -> N = ( ( N \ { K } ) u. { K } ) )
5	4	mpteq1d 4738	. . 3 |- ( ( ( G e. CMnd /\ N e. Fin ) /\ ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S /\ B e. S ) /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) ) -> ( n e. N |-> ( n ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) ) ( Q ` n ) ) ) = ( n e. ( ( N \ { K } ) u. { K } ) |-> ( n ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) ) ( Q ` n ) ) ) )
6	5	oveq2d 6666	. 2 |- ( ( ( G e. CMnd /\ N e. Fin ) /\ ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S /\ B e. S ) /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) ) -> ( G gsumg ( n e. N |-> ( n ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) ) ( Q ` n ) ) ) ) = ( G gsumg ( n e. ( ( N \ { K } ) u. { K } ) |-> ( n ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) ) ( Q ` n ) ) ) ) )
7		gsummatr01.p	. . 3 |- P = ( Base ` ( SymGrp ` N ) )
8		gsummatr01.r	. . 3 |- R = { r e. P | ( r ` K ) = L }
9		gsummatr01.0	. . 3 |- .0. = ( 0g ` G )
10		gsummatr01.s	. . 3 |- S = ( Base ` G )
11	7, 8, 9, 10	gsummatr01lem3 20463	. 2 |- ( ( ( G e. CMnd /\ N e. Fin ) /\ ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S /\ B e. S ) /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) ) -> ( G gsumg ( n e. ( ( N \ { K } ) u. { K } ) |-> ( n ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) ) ( Q ` n ) ) ) ) = ( ( G gsumg ( n e. ( N \ { K } ) |-> ( n ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) ) ( Q ` n ) ) ) ) ( +g ` G ) ( K ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) ) ( Q ` K ) ) ) )
12		eqidd 2623	. . . . . 6 |- ( ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) -> ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) ) = ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) ) )
13		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r = Q -> ( r ` K ) = ( Q ` K ) )
14	13	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . 11 |- ( r = Q -> ( ( r ` K ) = L <-> ( Q ` K ) = L ) )
15	14, 8	elrab2 3366	. . . . . . . . . 10 |- ( Q e. R <-> ( Q e. P /\ ( Q ` K ) = L ) )
16		eqeq2 2633	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Q ` K ) = L -> ( j = ( Q ` K ) <-> j = L ) )
17	16	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Q e. P /\ ( Q ` K ) = L ) -> ( j = ( Q ` K ) <-> j = L ) )
18	17	anbi2d 740	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Q e. P /\ ( Q ` K ) = L ) -> ( ( i = K /\ j = ( Q ` K ) ) <-> ( i = K /\ j = L ) ) )
19	15, 18	sylbi 207	. . . . . . . . 9 |- ( Q e. R -> ( ( i = K /\ j = ( Q ` K ) ) <-> ( i = K /\ j = L ) ) )
20	19	3ad2ant3 1084	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) -> ( ( i = K /\ j = ( Q ` K ) ) <-> ( i = K /\ j = L ) ) )
21		iftrue 4092	. . . . . . . . 9 |- ( i = K -> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) = if ( j = L , .0. , B ) )
22		iftrue 4092	. . . . . . . . 9 |- ( j = L -> if ( j = L , .0. , B ) = .0. )
23	21, 22	sylan9eq 2676	. . . . . . . 8 |- ( ( i = K /\ j = L ) -> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) = .0. )
24	20, 23	syl6bi 243	. . . . . . 7 |- ( ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) -> ( ( i = K /\ j = ( Q ` K ) ) -> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) = .0. ) )
25	24	imp 445	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) /\ ( i = K /\ j = ( Q ` K ) ) ) -> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) = .0. )
26		simp1 1061	. . . . . 6 |- ( ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) -> K e. N )
27	7, 8	gsummatr01lem1 20461	. . . . . . . 8 |- ( ( Q e. R /\ K e. N ) -> ( Q ` K ) e. N )
28	27	ancoms 469	. . . . . . 7 |- ( ( K e. N /\ Q e. R ) -> ( Q ` K ) e. N )
29	28	3adant2 1080	. . . . . 6 |- ( ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) -> ( Q ` K ) e. N )
30		fvex 6201	. . . . . . . 8 |- ( 0g ` G ) e. _V
31	9, 30	eqeltri 2697	. . . . . . 7 |- .0. e. _V
32	31	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) -> .0. e. _V )
33	12, 25, 26, 29, 32	ovmpt2d 6788	. . . . 5 |- ( ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) -> ( K ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) ) ( Q ` K ) ) = .0. )
34	33	3ad2ant3 1084	. . . 4 |- ( ( ( G e. CMnd /\ N e. Fin ) /\ ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S /\ B e. S ) /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) ) -> ( K ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) ) ( Q ` K ) ) = .0. )
35	34	oveq2d 6666	. . 3 |- ( ( ( G e. CMnd /\ N e. Fin ) /\ ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S /\ B e. S ) /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) ) -> ( ( G gsumg ( n e. ( N \ { K } ) |-> ( n ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) ) ( Q ` n ) ) ) ) ( +g ` G ) ( K ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) ) ( Q ` K ) ) ) = ( ( G gsumg ( n e. ( N \ { K } ) |-> ( n ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) ) ( Q ` n ) ) ) ) ( +g ` G ) .0. ) )
36		cmnmnd 18208	. . . . . 6 |- ( G e. CMnd -> G e. Mnd )
37	36	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( G e. CMnd /\ N e. Fin ) -> G e. Mnd )
38	37	3ad2ant1 1082	. . . 4 |- ( ( ( G e. CMnd /\ N e. Fin ) /\ ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S /\ B e. S ) /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) ) -> G e. Mnd )
39		eqid 2622	. . . . 5 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
40		simp1l 1085	. . . . 5 |- ( ( ( G e. CMnd /\ N e. Fin ) /\ ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S /\ B e. S ) /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) ) -> G e. CMnd )
41		diffi 8192	. . . . . . 7 |- ( N e. Fin -> ( N \ { K } ) e. Fin )
42	41	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( G e. CMnd /\ N e. Fin ) -> ( N \ { K } ) e. Fin )
43	42	3ad2ant1 1082	. . . . 5 |- ( ( ( G e. CMnd /\ N e. Fin ) /\ ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S /\ B e. S ) /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) ) -> ( N \ { K } ) e. Fin )
44		eqidd 2623	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) /\ n e. ( N \ { K } ) ) -> ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) ) = ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) ) )
45		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = n -> ( i = K <-> n = K ) )
46	45	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( i = n /\ j = ( Q ` n ) ) -> ( i = K <-> n = K ) )
47		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j = ( Q ` n ) -> ( j = L <-> ( Q ` n ) = L ) )
48	47	ifbid 4108	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j = ( Q ` n ) -> if ( j = L , .0. , B ) = if ( ( Q ` n ) = L , .0. , B ) )
49	48	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( i = n /\ j = ( Q ` n ) ) -> if ( j = L , .0. , B ) = if ( ( Q ` n ) = L , .0. , B ) )
50		oveq12 6659	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( i = n /\ j = ( Q ` n ) ) -> ( i A j ) = ( n A ( Q ` n ) ) )
51	46, 49, 50	ifbieq12d 4113	. . . . . . . . . 10 |- ( ( i = n /\ j = ( Q ` n ) ) -> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) = if ( n = K , if ( ( Q ` n ) = L , .0. , B ) , ( n A ( Q ` n ) ) ) )
52		eldifsni 4320	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ( N \ { K } ) -> n =/= K )
53	52	neneqd 2799	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ( N \ { K } ) -> -. n = K )
54	53	iffalsed 4097	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( N \ { K } ) -> if ( n = K , if ( ( Q ` n ) = L , .0. , B ) , ( n A ( Q ` n ) ) ) = ( n A ( Q ` n ) ) )
55	54	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) /\ n e. ( N \ { K } ) ) -> if ( n = K , if ( ( Q ` n ) = L , .0. , B ) , ( n A ( Q ` n ) ) ) = ( n A ( Q ` n ) ) )
56	51, 55	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) /\ n e. ( N \ { K } ) ) /\ ( i = n /\ j = ( Q ` n ) ) ) -> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) = ( n A ( Q ` n ) ) )
57		eldifi 3732	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( N \ { K } ) -> n e. N )
58	57	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) /\ n e. ( N \ { K } ) ) -> n e. N )
59		simp3 1063	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) -> Q e. R )
60	7, 8	gsummatr01lem1 20461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Q e. R /\ n e. N ) -> ( Q ` n ) e. N )
61	59, 57, 60	syl2an 494	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) /\ n e. ( N \ { K } ) ) -> ( Q ` n ) e. N )
62		ovexd 6680	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) /\ n e. ( N \ { K } ) ) -> ( n A ( Q ` n ) ) e. _V )
63	44, 56, 58, 61, 62	ovmpt2d 6788	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) /\ n e. ( N \ { K } ) ) -> ( n ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) ) ( Q ` n ) ) = ( n A ( Q ` n ) ) )
64	63	3ad2antl3 1225	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( G e. CMnd /\ N e. Fin ) /\ ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S /\ B e. S ) /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) ) /\ n e. ( N \ { K } ) ) -> ( n ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) ) ( Q ` n ) ) = ( n A ( Q ` n ) ) )
65	10	eleq2i 2693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( i A j ) e. S <-> ( i A j ) e. ( Base ` G ) )
66	65	2ralbii 2981	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S <-> A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. ( Base ` G ) )
67	7, 8	gsummatr01lem2 20462	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( Q e. R /\ n e. N ) -> ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. ( Base ` G ) -> ( n A ( Q ` n ) ) e. ( Base ` G ) ) )
68	66, 67	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Q e. R /\ n e. N ) -> ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S -> ( n A ( Q ` n ) ) e. ( Base ` G ) ) )
69	59, 57, 68	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. ( N \ { K } ) /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) ) -> ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S -> ( n A ( Q ` n ) ) e. ( Base ` G ) ) )
70	69	ex 450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ( N \ { K } ) -> ( ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) -> ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S -> ( n A ( Q ` n ) ) e. ( Base ` G ) ) ) )
71	70	com13 88	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S -> ( ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) -> ( n e. ( N \ { K } ) -> ( n A ( Q ` n ) ) e. ( Base ` G ) ) ) )
72	71	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S /\ B e. S ) -> ( ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) -> ( n e. ( N \ { K } ) -> ( n A ( Q ` n ) ) e. ( Base ` G ) ) ) )
73	72	imp 445	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S /\ B e. S ) /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) ) -> ( n e. ( N \ { K } ) -> ( n A ( Q ` n ) ) e. ( Base ` G ) ) )
74	73	3adant1 1079	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. CMnd /\ N e. Fin ) /\ ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S /\ B e. S ) /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) ) -> ( n e. ( N \ { K } ) -> ( n A ( Q ` n ) ) e. ( Base ` G ) ) )
75	74	imp 445	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( G e. CMnd /\ N e. Fin ) /\ ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S /\ B e. S ) /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) ) /\ n e. ( N \ { K } ) ) -> ( n A ( Q ` n ) ) e. ( Base ` G ) )
76	64, 75	eqeltrd 2701	. . . . . 6 |- ( ( ( ( G e. CMnd /\ N e. Fin ) /\ ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S /\ B e. S ) /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) ) /\ n e. ( N \ { K } ) ) -> ( n ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) ) ( Q ` n ) ) e. ( Base ` G ) )
77	76	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( ( ( G e. CMnd /\ N e. Fin ) /\ ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S /\ B e. S ) /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) ) -> A. n e. ( N \ { K } ) ( n ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) ) ( Q ` n ) ) e. ( Base ` G ) )
78	39, 40, 43, 77	gsummptcl 18366	. . . 4 |- ( ( ( G e. CMnd /\ N e. Fin ) /\ ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S /\ B e. S ) /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) ) -> ( G gsumg ( n e. ( N \ { K } ) |-> ( n ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) ) ( Q ` n ) ) ) ) e. ( Base ` G ) )
79		eqid 2622	. . . . 5 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
80	39, 79, 9	mndrid 17312	. . . 4 |- ( ( G e. Mnd /\ ( G gsumg ( n e. ( N \ { K } ) |-> ( n ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) ) ( Q ` n ) ) ) ) e. ( Base ` G ) ) -> ( ( G gsumg ( n e. ( N \ { K } ) |-> ( n ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) ) ( Q ` n ) ) ) ) ( +g ` G ) .0. ) = ( G gsumg ( n e. ( N \ { K } ) |-> ( n ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) ) ( Q ` n ) ) ) ) )
81	38, 78, 80	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( ( G e. CMnd /\ N e. Fin ) /\ ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S /\ B e. S ) /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) ) -> ( ( G gsumg ( n e. ( N \ { K } ) |-> ( n ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) ) ( Q ` n ) ) ) ) ( +g ` G ) .0. ) = ( G gsumg ( n e. ( N \ { K } ) |-> ( n ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) ) ( Q ` n ) ) ) ) )
82	7, 8, 9, 10	gsummatr01lem4 20464	. . . . 5 |- ( ( ( ( G e. CMnd /\ N e. Fin ) /\ ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S /\ B e. S ) /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) ) /\ n e. ( N \ { K } ) ) -> ( n ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) ) ( Q ` n ) ) = ( n ( i e. ( N \ { K } ) , j e. ( N \ { L } ) |-> ( i A j ) ) ( Q ` n ) ) )
83	82	mpteq2dva 4744	. . . 4 |- ( ( ( G e. CMnd /\ N e. Fin ) /\ ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S /\ B e. S ) /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) ) -> ( n e. ( N \ { K } ) |-> ( n ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) ) ( Q ` n ) ) ) = ( n e. ( N \ { K } ) |-> ( n ( i e. ( N \ { K } ) , j e. ( N \ { L } ) |-> ( i A j ) ) ( Q ` n ) ) ) )
84	83	oveq2d 6666	. . 3 |- ( ( ( G e. CMnd /\ N e. Fin ) /\ ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S /\ B e. S ) /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) ) -> ( G gsumg ( n e. ( N \ { K } ) |-> ( n ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) ) ( Q ` n ) ) ) ) = ( G gsumg ( n e. ( N \ { K } ) |-> ( n ( i e. ( N \ { K } ) , j e. ( N \ { L } ) |-> ( i A j ) ) ( Q ` n ) ) ) ) )
85	35, 81, 84	3eqtrd 2660	. 2 |- ( ( ( G e. CMnd /\ N e. Fin ) /\ ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S /\ B e. S ) /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) ) -> ( ( G gsumg ( n e. ( N \ { K } ) |-> ( n ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) ) ( Q ` n ) ) ) ) ( +g ` G ) ( K ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) ) ( Q ` K ) ) ) = ( G gsumg ( n e. ( N \ { K } ) |-> ( n ( i e. ( N \ { K } ) , j e. ( N \ { L } ) |-> ( i A j ) ) ( Q ` n ) ) ) ) )
86	6, 11, 85	3eqtrd 2660	1 |- ( ( ( G e. CMnd /\ N e. Fin ) /\ ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S /\ B e. S ) /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) ) -> ( G gsumg ( n e. N |-> ( n ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) ) ( Q ` n ) ) ) ) = ( G gsumg ( n e. ( N \ { K } ) |-> ( n ( i e. ( N \ { K } ) , j e. ( N \ { L } ) |-> ( i A j ) ) ( Q ` n ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   ifcif 4086   {csn 4177   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   Fincfn 7955   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   0gc0g 16100   gsum_g cgsu 16101   Mndcmnd 17294   SymGrpcsymg 17797  CMndccmn 18193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-tset 15960  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-symg 17798  df-cmn 18195

This theorem is referenced by:  smadiadetlem4  20475