Theorem gsummatr01lem3 20463

Description: Lemma 1 for gsummatr01 20465. (Contributed by AV, 8-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummatr01.p	|- P = ( Base ` ( SymGrp ` N ) )
gsummatr01.r	|- R = { r e. P | ( r ` K ) = L }
gsummatr01.0	|- .0. = ( 0g ` G )
gsummatr01.s	|- S = ( Base ` G )

Assertion

Ref

Expression

gsummatr01lem3

|- ( ( ( G e. CMnd /\ N e. Fin ) /\ ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S /\ B e. S ) /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) ) -> ( G gsumg ( n e. ( ( N \ { K } ) u. { K } ) |-> ( n ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) ) ( Q ` n ) ) ) ) = ( ( G gsumg ( n e. ( N \ { K } ) |-> ( n ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) ) ( Q ` n ) ) ) ) ( +g ` G ) ( K ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) ) ( Q ` K ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, i, j, n   B, i, j, n   i, G, j, n   i, K, j, n   K, r   i, L, j, n   L, r   i, N, j, n   P, r   Q, r   Q, i, j, n   R, i, j, n   S, i, j, n   .0. , i, j, n

Allowed substitution hints:   A( r)   B( r)   P( i, j, n)   R( r)   S( r)   G( r)   N( r)   .0. ( r)

Proof of Theorem gsummatr01lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. 2 |- ( Base ` G ) = ( Base ` G )
2		eqid 2622	. 2 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
3		simpl 473	. . 3 |- ( ( G e. CMnd /\ N e. Fin ) -> G e. CMnd )
4	3	3ad2ant1 1082	. 2 |- ( ( ( G e. CMnd /\ N e. Fin ) /\ ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S /\ B e. S ) /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) ) -> G e. CMnd )
5		diffi 8192	. . . 4 |- ( N e. Fin -> ( N \ { K } ) e. Fin )
6	5	adantl 482	. . 3 |- ( ( G e. CMnd /\ N e. Fin ) -> ( N \ { K } ) e. Fin )
7	6	3ad2ant1 1082	. 2 |- ( ( ( G e. CMnd /\ N e. Fin ) /\ ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S /\ B e. S ) /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) ) -> ( N \ { K } ) e. Fin )
8		eqidd 2623	. . . . 5 |- ( ( ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) /\ n e. ( N \ { K } ) ) -> ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) ) = ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) ) )
9		eqeq1 2626	. . . . . . . 8 |- ( i = n -> ( i = K <-> n = K ) )
10	9	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( i = n /\ j = ( Q ` n ) ) -> ( i = K <-> n = K ) )
11		eqeq1 2626	. . . . . . . . 9 |- ( j = ( Q ` n ) -> ( j = L <-> ( Q ` n ) = L ) )
12	11	ifbid 4108	. . . . . . . 8 |- ( j = ( Q ` n ) -> if ( j = L , .0. , B ) = if ( ( Q ` n ) = L , .0. , B ) )
13	12	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( i = n /\ j = ( Q ` n ) ) -> if ( j = L , .0. , B ) = if ( ( Q ` n ) = L , .0. , B ) )
14		oveq12 6659	. . . . . . 7 |- ( ( i = n /\ j = ( Q ` n ) ) -> ( i A j ) = ( n A ( Q ` n ) ) )
15	10, 13, 14	ifbieq12d 4113	. . . . . 6 |- ( ( i = n /\ j = ( Q ` n ) ) -> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) = if ( n = K , if ( ( Q ` n ) = L , .0. , B ) , ( n A ( Q ` n ) ) ) )
16		eldifsni 4320	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( N \ { K } ) -> n =/= K )
17	16	neneqd 2799	. . . . . . . 8 |- ( n e. ( N \ { K } ) -> -. n = K )
18	17	iffalsed 4097	. . . . . . 7 |- ( n e. ( N \ { K } ) -> if ( n = K , if ( ( Q ` n ) = L , .0. , B ) , ( n A ( Q ` n ) ) ) = ( n A ( Q ` n ) ) )
19	18	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) /\ n e. ( N \ { K } ) ) -> if ( n = K , if ( ( Q ` n ) = L , .0. , B ) , ( n A ( Q ` n ) ) ) = ( n A ( Q ` n ) ) )
20	15, 19	sylan9eqr 2678	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) /\ n e. ( N \ { K } ) ) /\ ( i = n /\ j = ( Q ` n ) ) ) -> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) = ( n A ( Q ` n ) ) )
21		eldifi 3732	. . . . . 6 |- ( n e. ( N \ { K } ) -> n e. N )
22	21	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) /\ n e. ( N \ { K } ) ) -> n e. N )
23		gsummatr01.p	. . . . . . . . . 10 |- P = ( Base ` ( SymGrp ` N ) )
24		gsummatr01.r	. . . . . . . . . 10 |- R = { r e. P | ( r ` K ) = L }
25	23, 24	gsummatr01lem1 20461	. . . . . . . . 9 |- ( ( Q e. R /\ n e. N ) -> ( Q ` n ) e. N )
26	25	expcom 451	. . . . . . . 8 |- ( n e. N -> ( Q e. R -> ( Q ` n ) e. N ) )
27	26, 21	syl11 33	. . . . . . 7 |- ( Q e. R -> ( n e. ( N \ { K } ) -> ( Q ` n ) e. N ) )
28	27	3ad2ant3 1084	. . . . . 6 |- ( ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) -> ( n e. ( N \ { K } ) -> ( Q ` n ) e. N ) )
29	28	imp 445	. . . . 5 |- ( ( ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) /\ n e. ( N \ { K } ) ) -> ( Q ` n ) e. N )
30		ovexd 6680	. . . . 5 |- ( ( ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) /\ n e. ( N \ { K } ) ) -> ( n A ( Q ` n ) ) e. _V )
31	8, 20, 22, 29, 30	ovmpt2d 6788	. . . 4 |- ( ( ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) /\ n e. ( N \ { K } ) ) -> ( n ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) ) ( Q ` n ) ) = ( n A ( Q ` n ) ) )
32	31	3ad2antl3 1225	. . 3 |- ( ( ( ( G e. CMnd /\ N e. Fin ) /\ ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S /\ B e. S ) /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) ) /\ n e. ( N \ { K } ) ) -> ( n ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) ) ( Q ` n ) ) = ( n A ( Q ` n ) ) )
33		gsummatr01.s	. . . . . . . . 9 |- S = ( Base ` G )
34	33	eleq2i 2693	. . . . . . . 8 |- ( ( i A j ) e. S <-> ( i A j ) e. ( Base ` G ) )
35	34	2ralbii 2981	. . . . . . 7 |- ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S <-> A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. ( Base ` G ) )
36	23, 24	gsummatr01lem2 20462	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Q e. R /\ n e. N ) -> ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. ( Base ` G ) -> ( n A ( Q ` n ) ) e. ( Base ` G ) ) )
37	21, 36	sylan2 491	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Q e. R /\ n e. ( N \ { K } ) ) -> ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. ( Base ` G ) -> ( n A ( Q ` n ) ) e. ( Base ` G ) ) )
38	37	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( Q e. R -> ( n e. ( N \ { K } ) -> ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. ( Base ` G ) -> ( n A ( Q ` n ) ) e. ( Base ` G ) ) ) )
39	38	3ad2ant3 1084	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) -> ( n e. ( N \ { K } ) -> ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. ( Base ` G ) -> ( n A ( Q ` n ) ) e. ( Base ` G ) ) ) )
40	39	com3r 87	. . . . . . 7 |- ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. ( Base ` G ) -> ( ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) -> ( n e. ( N \ { K } ) -> ( n A ( Q ` n ) ) e. ( Base ` G ) ) ) )
41	35, 40	sylbi 207	. . . . . 6 |- ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S -> ( ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) -> ( n e. ( N \ { K } ) -> ( n A ( Q ` n ) ) e. ( Base ` G ) ) ) )
42	41	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S /\ B e. S ) -> ( ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) -> ( n e. ( N \ { K } ) -> ( n A ( Q ` n ) ) e. ( Base ` G ) ) ) )
43	42	imp31 448	. . . 4 |- ( ( ( ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S /\ B e. S ) /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) ) /\ n e. ( N \ { K } ) ) -> ( n A ( Q ` n ) ) e. ( Base ` G ) )
44	43	3adantl1 1217	. . 3 |- ( ( ( ( G e. CMnd /\ N e. Fin ) /\ ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S /\ B e. S ) /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) ) /\ n e. ( N \ { K } ) ) -> ( n A ( Q ` n ) ) e. ( Base ` G ) )
45	32, 44	eqeltrd 2701	. 2 |- ( ( ( ( G e. CMnd /\ N e. Fin ) /\ ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S /\ B e. S ) /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) ) /\ n e. ( N \ { K } ) ) -> ( n ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) ) ( Q ` n ) ) e. ( Base ` G ) )
46		simp31 1097	. 2 |- ( ( ( G e. CMnd /\ N e. Fin ) /\ ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S /\ B e. S ) /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) ) -> K e. N )
47		neldifsnd 4322	. 2 |- ( ( ( G e. CMnd /\ N e. Fin ) /\ ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S /\ B e. S ) /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) ) -> -. K e. ( N \ { K } ) )
48		eqidd 2623	. . . . . 6 |- ( ( B e. S /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) ) -> ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) ) = ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) ) )
49		iftrue 4092	. . . . . . . 8 |- ( i = K -> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) = if ( j = L , .0. , B ) )
50		eqeq1 2626	. . . . . . . . 9 |- ( j = ( Q ` K ) -> ( j = L <-> ( Q ` K ) = L ) )
51	50	ifbid 4108	. . . . . . . 8 |- ( j = ( Q ` K ) -> if ( j = L , .0. , B ) = if ( ( Q ` K ) = L , .0. , B ) )
52	49, 51	sylan9eq 2676	. . . . . . 7 |- ( ( i = K /\ j = ( Q ` K ) ) -> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) = if ( ( Q ` K ) = L , .0. , B ) )
53	52	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( B e. S /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) ) /\ ( i = K /\ j = ( Q ` K ) ) ) -> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) = if ( ( Q ` K ) = L , .0. , B ) )
54		simpr1 1067	. . . . . 6 |- ( ( B e. S /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) ) -> K e. N )
55	23, 24	gsummatr01lem1 20461	. . . . . . . . 9 |- ( ( Q e. R /\ K e. N ) -> ( Q ` K ) e. N )
56	55	ancoms 469	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. N /\ Q e. R ) -> ( Q ` K ) e. N )
57	56	3adant2 1080	. . . . . . 7 |- ( ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) -> ( Q ` K ) e. N )
58	57	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( B e. S /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) ) -> ( Q ` K ) e. N )
59		gsummatr01.0	. . . . . . . 8 |- .0. = ( 0g ` G )
60		fvex 6201	. . . . . . . 8 |- ( 0g ` G ) e. _V
61	59, 60	eqeltri 2697	. . . . . . 7 |- .0. e. _V
62		simpl 473	. . . . . . 7 |- ( ( B e. S /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) ) -> B e. S )
63		ifexg 4157	. . . . . . 7 |- ( ( .0. e. _V /\ B e. S ) -> if ( ( Q ` K ) = L , .0. , B ) e. _V )
64	61, 62, 63	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( ( B e. S /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) ) -> if ( ( Q ` K ) = L , .0. , B ) e. _V )
65	48, 53, 54, 58, 64	ovmpt2d 6788	. . . . 5 |- ( ( B e. S /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) ) -> ( K ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) ) ( Q ` K ) ) = if ( ( Q ` K ) = L , .0. , B ) )
66	65	adantll 750	. . . 4 |- ( ( ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S /\ B e. S ) /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) ) -> ( K ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) ) ( Q ` K ) ) = if ( ( Q ` K ) = L , .0. , B ) )
67	66	3adant1 1079	. . 3 |- ( ( ( G e. CMnd /\ N e. Fin ) /\ ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S /\ B e. S ) /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) ) -> ( K ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) ) ( Q ` K ) ) = if ( ( Q ` K ) = L , .0. , B ) )
68		cmnmnd 18208	. . . . . . 7 |- ( G e. CMnd -> G e. Mnd )
69	1, 59	mndidcl 17308	. . . . . . 7 |- ( G e. Mnd -> .0. e. ( Base ` G ) )
70	68, 69	syl 17	. . . . . 6 |- ( G e. CMnd -> .0. e. ( Base ` G ) )
71	70	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( G e. CMnd /\ N e. Fin ) -> .0. e. ( Base ` G ) )
72	71	3ad2ant1 1082	. . . 4 |- ( ( ( G e. CMnd /\ N e. Fin ) /\ ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S /\ B e. S ) /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) ) -> .0. e. ( Base ` G ) )
73	33	eleq2i 2693	. . . . . . 7 |- ( B e. S <-> B e. ( Base ` G ) )
74	73	biimpi 206	. . . . . 6 |- ( B e. S -> B e. ( Base ` G ) )
75	74	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S /\ B e. S ) -> B e. ( Base ` G ) )
76	75	3ad2ant2 1083	. . . 4 |- ( ( ( G e. CMnd /\ N e. Fin ) /\ ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S /\ B e. S ) /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) ) -> B e. ( Base ` G ) )
77	72, 76	ifcld 4131	. . 3 |- ( ( ( G e. CMnd /\ N e. Fin ) /\ ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S /\ B e. S ) /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) ) -> if ( ( Q ` K ) = L , .0. , B ) e. ( Base ` G ) )
78	67, 77	eqeltrd 2701	. 2 |- ( ( ( G e. CMnd /\ N e. Fin ) /\ ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S /\ B e. S ) /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) ) -> ( K ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) ) ( Q ` K ) ) e. ( Base ` G ) )
79		id 22	. . 3 |- ( n = K -> n = K )
80		fveq2 6191	. . 3 |- ( n = K -> ( Q ` n ) = ( Q ` K ) )
81	79, 80	oveq12d 6668	. 2 |- ( n = K -> ( n ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) ) ( Q ` n ) ) = ( K ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) ) ( Q ` K ) ) )
82	1, 2, 4, 7, 45, 46, 47, 78, 81	gsumunsn 18359	1 |- ( ( ( G e. CMnd /\ N e. Fin ) /\ ( A. i e. N A. j e. N ( i A j ) e. S /\ B e. S ) /\ ( K e. N /\ L e. N /\ Q e. R ) ) -> ( G gsumg ( n e. ( ( N \ { K } ) u. { K } ) |-> ( n ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) ) ( Q ` n ) ) ) ) = ( ( G gsumg ( n e. ( N \ { K } ) |-> ( n ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) ) ( Q ` n ) ) ) ) ( +g ` G ) ( K ( i e. N , j e. N |-> if ( i = K , if ( j = L , .0. , B ) , ( i A j ) ) ) ( Q ` K ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   ifcif 4086   {csn 4177   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   Fincfn 7955   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   0gc0g 16100   gsum_g cgsu 16101   Mndcmnd 17294   SymGrpcsymg 17797  CMndccmn 18193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-tset 15960  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-symg 17798  df-cmn 18195

This theorem is referenced by:  gsummatr01  20465