Theorem gsumncl 30614

Description: Closure of a group sum in a non-commutative monoid. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Oct-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumncl.k	|- K = ( Base ` M )
gsumncl.w	|- ( ph -> M e. Mnd )
gsumncl.p	|- ( ph -> P e. ( ZZ>= ` N ) )
gsumncl.b	|- ( ( ph /\ k e. ( N ... P ) ) -> B e. K )

Assertion

Ref	Expression
gsumncl	|- ( ph -> ( M gsumg ( k e. ( N ... P ) |-> B ) ) e. K )

Distinct variable groups:   k, K   k, N   P, k   ph, k

Allowed substitution hints:   B( k)   M( k)

Proof of Theorem gsumncl

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumncl.k	. . 3 |- K = ( Base ` M )
2		eqid 2622	. . 3 |- ( +g ` M ) = ( +g ` M )
3		gsumncl.w	. . 3 |- ( ph -> M e. Mnd )
4		gsumncl.p	. . 3 |- ( ph -> P e. ( ZZ>= ` N ) )
5		gsumncl.b	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( N ... P ) ) -> B e. K )
6		eqid 2622	. . . 4 |- ( k e. ( N ... P ) |-> B ) = ( k e. ( N ... P ) |-> B )
7	5, 6	fmptd 6385	. . 3 |- ( ph -> ( k e. ( N ... P ) |-> B ) : ( N ... P ) --> K )
8	1, 2, 3, 4, 7	gsumval2 17280	. 2 |- ( ph -> ( M gsumg ( k e. ( N ... P ) |-> B ) ) = ( seq N ( ( +g ` M ) , ( k e. ( N ... P ) |-> B ) ) ` P ) )
9	7	ffvelrnda 6359	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( N ... P ) ) -> ( ( k e. ( N ... P ) |-> B ) ` x ) e. K )
10	3	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. K /\ y e. K ) ) -> M e. Mnd )
11		simprl 794	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. K /\ y e. K ) ) -> x e. K )
12		simprr 796	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. K /\ y e. K ) ) -> y e. K )
13	1, 2	mndcl 17301	. . . 4 |- ( ( M e. Mnd /\ x e. K /\ y e. K ) -> ( x ( +g ` M ) y ) e. K )
14	10, 11, 12, 13	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. K /\ y e. K ) ) -> ( x ( +g ` M ) y ) e. K )
15	4, 9, 14	seqcl 12821	. 2 |- ( ph -> ( seq N ( ( +g ` M ) , ( k e. ( N ... P ) |-> B ) ) ` P ) e. K )
16	8, 15	eqeltrd 2701	1 |- ( ph -> ( M gsumg ( k e. ( N ... P ) |-> B ) ) e. K )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   seqcseq 12801   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   gsum_g cgsu 16101   Mndcmnd 17294

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-seq 12802  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295

This theorem is referenced by:  signstcl  30642  signstf  30643