Theorem gsumval2 17280

Description: Value of the group sum operation over a finite set of sequential integers. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsumval2.b	|- B = ( Base ` G )
gsumval2.p	|- .+ = ( +g ` G )
gsumval2.g	|- ( ph -> G e. V )
gsumval2.n	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
gsumval2.f	|- ( ph -> F : ( M ... N ) --> B )

Assertion

Ref	Expression
gsumval2	|- ( ph -> ( G gsumg F ) = ( seq M ( .+ , F ) ` N ) )

Proof of Theorem gsumval2

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsumval2.b	. . . 4 |- B = ( Base ` G )
2		eqid 2622	. . . 4 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
3		gsumval2.p	. . . 4 |- .+ = ( +g ` G )
4		eqid 2622	. . . 4 |- { x e. B | A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) } = { x e. B | A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) }
5		gsumval2.g	. . . . 5 |- ( ph -> G e. V )
6	5	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ ran F C_ { x e. B | A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) } ) -> G e. V )
7		ovexd 6680	. . . 4 |- ( ( ph /\ ran F C_ { x e. B | A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) } ) -> ( M ... N ) e. _V )
8		gsumval2.f	. . . . . . 7 |- ( ph -> F : ( M ... N ) --> B )
9		ffn 6045	. . . . . . 7 |- ( F : ( M ... N ) --> B -> F Fn ( M ... N ) )
10	8, 9	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> F Fn ( M ... N ) )
11	10	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ran F C_ { x e. B | A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) } ) -> F Fn ( M ... N ) )
12		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ran F C_ { x e. B | A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) } ) -> ran F C_ { x e. B | A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) } )
13		df-f 5892	. . . . 5 |- ( F : ( M ... N ) --> { x e. B | A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) } <-> ( F Fn ( M ... N ) /\ ran F C_ { x e. B | A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) } ) )
14	11, 12, 13	sylanbrc 698	. . . 4 |- ( ( ph /\ ran F C_ { x e. B | A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) } ) -> F : ( M ... N ) --> { x e. B | A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) } )
15	1, 2, 3, 4, 6, 7, 14	gsumval1 17277	. . 3 |- ( ( ph /\ ran F C_ { x e. B | A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) } ) -> ( G gsumg F ) = ( 0g ` G ) )
16		simpl 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) -> ( x .+ y ) = y )
17	16	ralimi 2952	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) -> A. y e. B ( x .+ y ) = y )
18	17	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( x e. B -> ( A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) -> A. y e. B ( x .+ y ) = y ) )
19	18	ss2rabi 3684	. . . . . 6 |- { x e. B | A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) } C_ { x e. B | A. y e. B ( x .+ y ) = y }
20		fvex 6201	. . . . . . . 8 |- ( 0g ` G ) e. _V
21	20	snid 4208	. . . . . . 7 |- ( 0g ` G ) e. { ( 0g ` G ) }
22		fdm 6051	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F : ( M ... N ) --> B -> dom F = ( M ... N ) )
23	8, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> dom F = ( M ... N ) )
24		gsumval2.n	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
25		eluzfz1 12348	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ( M ... N ) )
26		ne0i 3921	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M e. ( M ... N ) -> ( M ... N ) =/= (/) )
27	24, 25, 26	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( M ... N ) =/= (/) )
28	23, 27	eqnetrd 2861	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> dom F =/= (/) )
29		dm0rn0 5342	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( dom F = (/) <-> ran F = (/) )
30	29	necon3bii 2846	. . . . . . . . . . . 12 |- ( dom F =/= (/) <-> ran F =/= (/) )
31	28, 30	sylib 208	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ran F =/= (/) )
32	31	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ran F C_ { x e. B | A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) } ) -> ran F =/= (/) )
33		ssn0 3976	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ran F C_ { x e. B | A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) } /\ ran F =/= (/) ) -> { x e. B | A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) } =/= (/) )
34	12, 32, 33	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ran F C_ { x e. B | A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) } ) -> { x e. B | A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) } =/= (/) )
35	34	neneqd 2799	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ran F C_ { x e. B | A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) } ) -> -. { x e. B | A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) } = (/) )
36	1, 2, 3, 4	mgmidsssn0 17269	. . . . . . . . . . 11 |- ( G e. V -> { x e. B | A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) } C_ { ( 0g ` G ) } )
37	5, 36	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> { x e. B | A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) } C_ { ( 0g ` G ) } )
38		sssn 4358	. . . . . . . . . 10 |- ( { x e. B | A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) } C_ { ( 0g ` G ) } <-> ( { x e. B | A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) } = (/) \/ { x e. B | A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) } = { ( 0g ` G ) } ) )
39	37, 38	sylib 208	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( { x e. B | A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) } = (/) \/ { x e. B | A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) } = { ( 0g ` G ) } ) )
40	39	orcanai 952	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. { x e. B | A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) } = (/) ) -> { x e. B | A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) } = { ( 0g ` G ) } )
41	35, 40	syldan 487	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ran F C_ { x e. B | A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) } ) -> { x e. B | A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) } = { ( 0g ` G ) } )
42	21, 41	syl5eleqr 2708	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ran F C_ { x e. B | A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) } ) -> ( 0g ` G ) e. { x e. B | A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) } )
43	19, 42	sseldi 3601	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ran F C_ { x e. B | A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) } ) -> ( 0g ` G ) e. { x e. B | A. y e. B ( x .+ y ) = y } )
44		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( 0g ` G ) -> ( x .+ y ) = ( ( 0g ` G ) .+ y ) )
45	44	eqeq1d 2624	. . . . . . . 8 |- ( x = ( 0g ` G ) -> ( ( x .+ y ) = y <-> ( ( 0g ` G ) .+ y ) = y ) )
46	45	ralbidv 2986	. . . . . . 7 |- ( x = ( 0g ` G ) -> ( A. y e. B ( x .+ y ) = y <-> A. y e. B ( ( 0g ` G ) .+ y ) = y ) )
47	46	elrab 3363	. . . . . 6 |- ( ( 0g ` G ) e. { x e. B | A. y e. B ( x .+ y ) = y } <-> ( ( 0g ` G ) e. B /\ A. y e. B ( ( 0g ` G ) .+ y ) = y ) )
48		oveq2 6658	. . . . . . . 8 |- ( y = ( 0g ` G ) -> ( ( 0g ` G ) .+ y ) = ( ( 0g ` G ) .+ ( 0g ` G ) ) )
49		id 22	. . . . . . . 8 |- ( y = ( 0g ` G ) -> y = ( 0g ` G ) )
50	48, 49	eqeq12d 2637	. . . . . . 7 |- ( y = ( 0g ` G ) -> ( ( ( 0g ` G ) .+ y ) = y <-> ( ( 0g ` G ) .+ ( 0g ` G ) ) = ( 0g ` G ) ) )
51	50	rspcva 3307	. . . . . 6 |- ( ( ( 0g ` G ) e. B /\ A. y e. B ( ( 0g ` G ) .+ y ) = y ) -> ( ( 0g ` G ) .+ ( 0g ` G ) ) = ( 0g ` G ) )
52	47, 51	sylbi 207	. . . . 5 |- ( ( 0g ` G ) e. { x e. B | A. y e. B ( x .+ y ) = y } -> ( ( 0g ` G ) .+ ( 0g ` G ) ) = ( 0g ` G ) )
53	43, 52	syl 17	. . . 4 |- ( ( ph /\ ran F C_ { x e. B | A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) } ) -> ( ( 0g ` G ) .+ ( 0g ` G ) ) = ( 0g ` G ) )
54	24	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ ran F C_ { x e. B | A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) } ) -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
55	37	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ran F C_ { x e. B | A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) } ) /\ z e. ( M ... N ) ) -> { x e. B | A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) } C_ { ( 0g ` G ) } )
56	14	ffvelrnda 6359	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ran F C_ { x e. B | A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) } ) /\ z e. ( M ... N ) ) -> ( F ` z ) e. { x e. B | A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) } )
57	55, 56	sseldd 3604	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ran F C_ { x e. B | A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) } ) /\ z e. ( M ... N ) ) -> ( F ` z ) e. { ( 0g ` G ) } )
58		elsni 4194	. . . . 5 |- ( ( F ` z ) e. { ( 0g ` G ) } -> ( F ` z ) = ( 0g ` G ) )
59	57, 58	syl 17	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ran F C_ { x e. B | A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) } ) /\ z e. ( M ... N ) ) -> ( F ` z ) = ( 0g ` G ) )
60	53, 54, 59	seqid3 12845	. . 3 |- ( ( ph /\ ran F C_ { x e. B | A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) } ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) = ( 0g ` G ) )
61	15, 60	eqtr4d 2659	. 2 |- ( ( ph /\ ran F C_ { x e. B | A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) } ) -> ( G gsumg F ) = ( seq M ( .+ , F ) ` N ) )
62	5	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ -. ran F C_ { x e. B | A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) } ) -> G e. V )
63	24	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ -. ran F C_ { x e. B | A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) } ) -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
64	8	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ -. ran F C_ { x e. B | A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) } ) -> F : ( M ... N ) --> B )
65		simpr 477	. . 3 |- ( ( ph /\ -. ran F C_ { x e. B | A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) } ) -> -. ran F C_ { x e. B | A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) } )
66	1, 3, 62, 63, 64, 4, 65	gsumval2a 17279	. 2 |- ( ( ph /\ -. ran F C_ { x e. B | A. y e. B ( ( x .+ y ) = y /\ ( y .+ x ) = y ) } ) -> ( G gsumg F ) = ( seq M ( .+ , F ) ` N ) )
67	61, 66	pm2.61dan 832	1 |- ( ph -> ( G gsumg F ) = ( seq M ( .+ , F ) ` N ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   dom cdm 5114   ran crn 5115   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   seqcseq 12801   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   0gc0g 16100   gsum_g cgsu 16101

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-seq 12802  df-0g 16102  df-gsum 16103

This theorem is referenced by:  gsumprval  17281  gsumwsubmcl  17375  gsumws1  17376  gsumccat  17378  gsumwmhm  17382  gsumval3  18308  gsummptfzcl  18368  gsumncl  30614  gsumnunsn  30615