Theorem hashle2prv 13260

Description: A nonempty subset of a powerset of a class V has size less than or equal to two iff it is an unordered pair of elements of V. (Contributed by AV, 24-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
hashle2prv	|- ( P e. ( ~P V \ { (/) } ) -> ( ( # ` P ) <_ 2 <-> E. a e. V E. b e. V P = { a , b } ) )

Distinct variable groups:   P, a, b   V, a, b

Proof of Theorem hashle2prv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifsn 4317	. . 3 |- ( P e. ( ~P V \ { (/) } ) <-> ( P e. ~P V /\ P =/= (/) ) )
2		hashle2pr 13259	. . 3 |- ( ( P e. ~P V /\ P =/= (/) ) -> ( ( # ` P ) <_ 2 <-> E. a E. b P = { a , b } ) )
3	1, 2	sylbi 207	. 2 |- ( P e. ( ~P V \ { (/) } ) -> ( ( # ` P ) <_ 2 <-> E. a E. b P = { a , b } ) )
4		eldifi 3732	. . . . 5 |- ( P e. ( ~P V \ { (/) } ) -> P e. ~P V )
5		eleq1 2689	. . . . . 6 |- ( P = { a , b } -> ( P e. ~P V <-> { a , b } e. ~P V ) )
6		vex 3203	. . . . . . 7 |- a e. _V
7		vex 3203	. . . . . . 7 |- b e. _V
8		prelpw 4914	. . . . . . . 8 |- ( ( a e. _V /\ b e. _V ) -> ( ( a e. V /\ b e. V ) <-> { a , b } e. ~P V ) )
9	8	biimprd 238	. . . . . . 7 |- ( ( a e. _V /\ b e. _V ) -> ( { a , b } e. ~P V -> ( a e. V /\ b e. V ) ) )
10	6, 7, 9	mp2an 708	. . . . . 6 |- ( { a , b } e. ~P V -> ( a e. V /\ b e. V ) )
11	5, 10	syl6bi 243	. . . . 5 |- ( P = { a , b } -> ( P e. ~P V -> ( a e. V /\ b e. V ) ) )
12	4, 11	syl5com 31	. . . 4 |- ( P e. ( ~P V \ { (/) } ) -> ( P = { a , b } -> ( a e. V /\ b e. V ) ) )
13	12	pm4.71rd 667	. . 3 |- ( P e. ( ~P V \ { (/) } ) -> ( P = { a , b } <-> ( ( a e. V /\ b e. V ) /\ P = { a , b } ) ) )
14	13	2exbidv 1852	. 2 |- ( P e. ( ~P V \ { (/) } ) -> ( E. a E. b P = { a , b } <-> E. a E. b ( ( a e. V /\ b e. V ) /\ P = { a , b } ) ) )
15		r2ex 3061	. . . 4 |- ( E. a e. V E. b e. V P = { a , b } <-> E. a E. b ( ( a e. V /\ b e. V ) /\ P = { a , b } ) )
16	15	bicomi 214	. . 3 |- ( E. a E. b ( ( a e. V /\ b e. V ) /\ P = { a , b } ) <-> E. a e. V E. b e. V P = { a , b } )
17	16	a1i 11	. 2 |- ( P e. ( ~P V \ { (/) } ) -> ( E. a E. b ( ( a e. V /\ b e. V ) /\ P = { a , b } ) <-> E. a e. V E. b e. V P = { a , b } ) )
18	3, 14, 17	3bitrd 294	1 |- ( P e. ( ~P V \ { (/) } ) -> ( ( # ` P ) <_ 2 <-> E. a e. V E. b e. V P = { a , b } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {csn 4177   {cpr 4179   class class class wbr 4653   ` cfv 5888   <_ cle 10075   2c2 11070   #chash 13117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-hash 13118

This theorem is referenced by:  upgredg  26032  sprvalpwle2  41739