Theorem hgt749d 30727

Description: A deduction version of ax-hgt749 30722. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
hgt749d.o	|- O = { z e. ZZ | -. 2 || z }
hgt749d.n	|- ( ph -> N e. O )
hgt749d.1	|- ( ph -> (; 1 0 ^; 2 7 ) <_ N )

Assertion

Ref	Expression
hgt749d	|- ( ph -> E. h e. ( ( 0 [,) +oo ) ^m NN ) E. k e. ( ( 0 [,) +oo ) ^m NN ) ( A. m e. NN ( k ` m ) <_ ( 1 period_ 0_ 7_ 9_ 9_ 5 5 ) /\ A. m e. NN ( h ` m ) <_ ( 1 period_ 4_ 1 4 ) /\ ( ( 0 period_ 0_ 0_ 0_ 4_ 2_ 2_ 4 8 ) x. ( N ^ 2 ) ) <_ S. ( 0 (,) 1 ) ( ( ( ( (Λ oF x. h )vts N ) ` x ) x. ( ( ( (Λ oF x. k )vts N ) ` x ) ^ 2 ) ) x. ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( -u N x. x ) ) ) ) _d x ) )

Distinct variable groups:   h, N, k, x   h, m, z, k, x

Allowed substitution hints:   ph( x, z, h, k, m)   N( z, m)   O( x, z, h, k, m)

Proof of Theorem hgt749d

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hgt749d.1	. 2 |- ( ph -> (; 1 0 ^; 2 7 ) <_ N )
2		breq2 4657	. . . 4 |- ( n = N -> ( (; 1 0 ^; 2 7 ) <_ n <-> (; 1 0 ^; 2 7 ) <_ N ) )
3		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( n = N -> ( n ^ 2 ) = ( N ^ 2 ) )
4	3	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( n = N -> ( ( 0 period_ 0_ 0_ 0_ 4_ 2_ 2_ 4 8 ) x. ( n ^ 2 ) ) = ( ( 0 period_ 0_ 0_ 0_ 4_ 2_ 2_ 4 8 ) x. ( N ^ 2 ) ) )
5		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = N -> ( (Λ oF x. h )vts n ) = ( (Λ oF x. h )vts N ) )
6	5	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = N -> ( ( (Λ oF x. h )vts n ) ` x ) = ( ( (Λ oF x. h )vts N ) ` x ) )
7		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = N -> ( (Λ oF x. k )vts n ) = ( (Λ oF x. k )vts N ) )
8	7	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = N -> ( ( (Λ oF x. k )vts n ) ` x ) = ( ( (Λ oF x. k )vts N ) ` x ) )
9	8	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = N -> ( ( ( (Λ oF x. k )vts n ) ` x ) ^ 2 ) = ( ( ( (Λ oF x. k )vts N ) ` x ) ^ 2 ) )
10	6, 9	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = N -> ( ( ( (Λ oF x. h )vts n ) ` x ) x. ( ( ( (Λ oF x. k )vts n ) ` x ) ^ 2 ) ) = ( ( ( (Λ oF x. h )vts N ) ` x ) x. ( ( ( (Λ oF x. k )vts N ) ` x ) ^ 2 ) ) )
11		negeq 10273	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = N -> -u n = -u N )
12	11	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = N -> ( -u n x. x ) = ( -u N x. x ) )
13	12	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = N -> ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( -u n x. x ) ) = ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( -u N x. x ) ) )
14	13	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = N -> ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( -u n x. x ) ) ) = ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( -u N x. x ) ) ) )
15	10, 14	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 |- ( n = N -> ( ( ( ( (Λ oF x. h )vts n ) ` x ) x. ( ( ( (Λ oF x. k )vts n ) ` x ) ^ 2 ) ) x. ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( -u n x. x ) ) ) ) = ( ( ( ( (Λ oF x. h )vts N ) ` x ) x. ( ( ( (Λ oF x. k )vts N ) ` x ) ^ 2 ) ) x. ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( -u N x. x ) ) ) ) )
16	15	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( n = N /\ x e. ( 0 (,) 1 ) ) -> ( ( ( ( (Λ oF x. h )vts n ) ` x ) x. ( ( ( (Λ oF x. k )vts n ) ` x ) ^ 2 ) ) x. ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( -u n x. x ) ) ) ) = ( ( ( ( (Λ oF x. h )vts N ) ` x ) x. ( ( ( (Λ oF x. k )vts N ) ` x ) ^ 2 ) ) x. ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( -u N x. x ) ) ) ) )
17	16	itgeq2dv 23548	. . . . . . . 8 |- ( n = N -> S. ( 0 (,) 1 ) ( ( ( ( (Λ oF x. h )vts n ) ` x ) x. ( ( ( (Λ oF x. k )vts n ) ` x ) ^ 2 ) ) x. ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( -u n x. x ) ) ) ) _d x = S. ( 0 (,) 1 ) ( ( ( ( (Λ oF x. h )vts N ) ` x ) x. ( ( ( (Λ oF x. k )vts N ) ` x ) ^ 2 ) ) x. ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( -u N x. x ) ) ) ) _d x )
18	4, 17	breq12d 4666	. . . . . . 7 |- ( n = N -> ( ( ( 0 period_ 0_ 0_ 0_ 4_ 2_ 2_ 4 8 ) x. ( n ^ 2 ) ) <_ S. ( 0 (,) 1 ) ( ( ( ( (Λ oF x. h )vts n ) ` x ) x. ( ( ( (Λ oF x. k )vts n ) ` x ) ^ 2 ) ) x. ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( -u n x. x ) ) ) ) _d x <-> ( ( 0 period_ 0_ 0_ 0_ 4_ 2_ 2_ 4 8 ) x. ( N ^ 2 ) ) <_ S. ( 0 (,) 1 ) ( ( ( ( (Λ oF x. h )vts N ) ` x ) x. ( ( ( (Λ oF x. k )vts N ) ` x ) ^ 2 ) ) x. ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( -u N x. x ) ) ) ) _d x ) )
19	18	3anbi3d 1405	. . . . . 6 |- ( n = N -> ( ( A. m e. NN ( k ` m ) <_ ( 1 period_ 0_ 7_ 9_ 9_ 5 5 ) /\ A. m e. NN ( h ` m ) <_ ( 1 period_ 4_ 1 4 ) /\ ( ( 0 period_ 0_ 0_ 0_ 4_ 2_ 2_ 4 8 ) x. ( n ^ 2 ) ) <_ S. ( 0 (,) 1 ) ( ( ( ( (Λ oF x. h )vts n ) ` x ) x. ( ( ( (Λ oF x. k )vts n ) ` x ) ^ 2 ) ) x. ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( -u n x. x ) ) ) ) _d x ) <-> ( A. m e. NN ( k ` m ) <_ ( 1 period_ 0_ 7_ 9_ 9_ 5 5 ) /\ A. m e. NN ( h ` m ) <_ ( 1 period_ 4_ 1 4 ) /\ ( ( 0 period_ 0_ 0_ 0_ 4_ 2_ 2_ 4 8 ) x. ( N ^ 2 ) ) <_ S. ( 0 (,) 1 ) ( ( ( ( (Λ oF x. h )vts N ) ` x ) x. ( ( ( (Λ oF x. k )vts N ) ` x ) ^ 2 ) ) x. ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( -u N x. x ) ) ) ) _d x ) ) )
20	19	rexbidv 3052	. . . . 5 |- ( n = N -> ( E. k e. ( ( 0 [,) +oo ) ^m NN ) ( A. m e. NN ( k ` m ) <_ ( 1 period_ 0_ 7_ 9_ 9_ 5 5 ) /\ A. m e. NN ( h ` m ) <_ ( 1 period_ 4_ 1 4 ) /\ ( ( 0 period_ 0_ 0_ 0_ 4_ 2_ 2_ 4 8 ) x. ( n ^ 2 ) ) <_ S. ( 0 (,) 1 ) ( ( ( ( (Λ oF x. h )vts n ) ` x ) x. ( ( ( (Λ oF x. k )vts n ) ` x ) ^ 2 ) ) x. ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( -u n x. x ) ) ) ) _d x ) <-> E. k e. ( ( 0 [,) +oo ) ^m NN ) ( A. m e. NN ( k ` m ) <_ ( 1 period_ 0_ 7_ 9_ 9_ 5 5 ) /\ A. m e. NN ( h ` m ) <_ ( 1 period_ 4_ 1 4 ) /\ ( ( 0 period_ 0_ 0_ 0_ 4_ 2_ 2_ 4 8 ) x. ( N ^ 2 ) ) <_ S. ( 0 (,) 1 ) ( ( ( ( (Λ oF x. h )vts N ) ` x ) x. ( ( ( (Λ oF x. k )vts N ) ` x ) ^ 2 ) ) x. ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( -u N x. x ) ) ) ) _d x ) ) )
21	20	rexbidv 3052	. . . 4 |- ( n = N -> ( E. h e. ( ( 0 [,) +oo ) ^m NN ) E. k e. ( ( 0 [,) +oo ) ^m NN ) ( A. m e. NN ( k ` m ) <_ ( 1 period_ 0_ 7_ 9_ 9_ 5 5 ) /\ A. m e. NN ( h ` m ) <_ ( 1 period_ 4_ 1 4 ) /\ ( ( 0 period_ 0_ 0_ 0_ 4_ 2_ 2_ 4 8 ) x. ( n ^ 2 ) ) <_ S. ( 0 (,) 1 ) ( ( ( ( (Λ oF x. h )vts n ) ` x ) x. ( ( ( (Λ oF x. k )vts n ) ` x ) ^ 2 ) ) x. ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( -u n x. x ) ) ) ) _d x ) <-> E. h e. ( ( 0 [,) +oo ) ^m NN ) E. k e. ( ( 0 [,) +oo ) ^m NN ) ( A. m e. NN ( k ` m ) <_ ( 1 period_ 0_ 7_ 9_ 9_ 5 5 ) /\ A. m e. NN ( h ` m ) <_ ( 1 period_ 4_ 1 4 ) /\ ( ( 0 period_ 0_ 0_ 0_ 4_ 2_ 2_ 4 8 ) x. ( N ^ 2 ) ) <_ S. ( 0 (,) 1 ) ( ( ( ( (Λ oF x. h )vts N ) ` x ) x. ( ( ( (Λ oF x. k )vts N ) ` x ) ^ 2 ) ) x. ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( -u N x. x ) ) ) ) _d x ) ) )
22	2, 21	imbi12d 334	. . 3 |- ( n = N -> ( ( (; 1 0 ^; 2 7 ) <_ n -> E. h e. ( ( 0 [,) +oo ) ^m NN ) E. k e. ( ( 0 [,) +oo ) ^m NN ) ( A. m e. NN ( k ` m ) <_ ( 1 period_ 0_ 7_ 9_ 9_ 5 5 ) /\ A. m e. NN ( h ` m ) <_ ( 1 period_ 4_ 1 4 ) /\ ( ( 0 period_ 0_ 0_ 0_ 4_ 2_ 2_ 4 8 ) x. ( n ^ 2 ) ) <_ S. ( 0 (,) 1 ) ( ( ( ( (Λ oF x. h )vts n ) ` x ) x. ( ( ( (Λ oF x. k )vts n ) ` x ) ^ 2 ) ) x. ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( -u n x. x ) ) ) ) _d x ) ) <-> ( (; 1 0 ^; 2 7 ) <_ N -> E. h e. ( ( 0 [,) +oo ) ^m NN ) E. k e. ( ( 0 [,) +oo ) ^m NN ) ( A. m e. NN ( k ` m ) <_ ( 1 period_ 0_ 7_ 9_ 9_ 5 5 ) /\ A. m e. NN ( h ` m ) <_ ( 1 period_ 4_ 1 4 ) /\ ( ( 0 period_ 0_ 0_ 0_ 4_ 2_ 2_ 4 8 ) x. ( N ^ 2 ) ) <_ S. ( 0 (,) 1 ) ( ( ( ( (Λ oF x. h )vts N ) ` x ) x. ( ( ( (Λ oF x. k )vts N ) ` x ) ^ 2 ) ) x. ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( -u N x. x ) ) ) ) _d x ) ) ) )
23		ax-hgt749 30722	. . . 4 |- A. n e. { z e. ZZ | -. 2 || z } ( (; 1 0 ^; 2 7 ) <_ n -> E. h e. ( ( 0 [,) +oo ) ^m NN ) E. k e. ( ( 0 [,) +oo ) ^m NN ) ( A. m e. NN ( k ` m ) <_ ( 1 period_ 0_ 7_ 9_ 9_ 5 5 ) /\ A. m e. NN ( h ` m ) <_ ( 1 period_ 4_ 1 4 ) /\ ( ( 0 period_ 0_ 0_ 0_ 4_ 2_ 2_ 4 8 ) x. ( n ^ 2 ) ) <_ S. ( 0 (,) 1 ) ( ( ( ( (Λ oF x. h )vts n ) ` x ) x. ( ( ( (Λ oF x. k )vts n ) ` x ) ^ 2 ) ) x. ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( -u n x. x ) ) ) ) _d x ) )
24	23	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> A. n e. { z e. ZZ | -. 2 || z } ( (; 1 0 ^; 2 7 ) <_ n -> E. h e. ( ( 0 [,) +oo ) ^m NN ) E. k e. ( ( 0 [,) +oo ) ^m NN ) ( A. m e. NN ( k ` m ) <_ ( 1 period_ 0_ 7_ 9_ 9_ 5 5 ) /\ A. m e. NN ( h ` m ) <_ ( 1 period_ 4_ 1 4 ) /\ ( ( 0 period_ 0_ 0_ 0_ 4_ 2_ 2_ 4 8 ) x. ( n ^ 2 ) ) <_ S. ( 0 (,) 1 ) ( ( ( ( (Λ oF x. h )vts n ) ` x ) x. ( ( ( (Λ oF x. k )vts n ) ` x ) ^ 2 ) ) x. ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( -u n x. x ) ) ) ) _d x ) ) )
25		hgt749d.n	. . . 4 |- ( ph -> N e. O )
26		hgt749d.o	. . . 4 |- O = { z e. ZZ | -. 2 || z }
27	25, 26	syl6eleq 2711	. . 3 |- ( ph -> N e. { z e. ZZ | -. 2 || z } )
28	22, 24, 27	rspcdva 3316	. 2 |- ( ph -> ( (; 1 0 ^; 2 7 ) <_ N -> E. h e. ( ( 0 [,) +oo ) ^m NN ) E. k e. ( ( 0 [,) +oo ) ^m NN ) ( A. m e. NN ( k ` m ) <_ ( 1 period_ 0_ 7_ 9_ 9_ 5 5 ) /\ A. m e. NN ( h ` m ) <_ ( 1 period_ 4_ 1 4 ) /\ ( ( 0 period_ 0_ 0_ 0_ 4_ 2_ 2_ 4 8 ) x. ( N ^ 2 ) ) <_ S. ( 0 (,) 1 ) ( ( ( ( (Λ oF x. h )vts N ) ` x ) x. ( ( ( (Λ oF x. k )vts N ) ` x ) ^ 2 ) ) x. ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( -u N x. x ) ) ) ) _d x ) ) )
29	1, 28	mpd 15	1 |- ( ph -> E. h e. ( ( 0 [,) +oo ) ^m NN ) E. k e. ( ( 0 [,) +oo ) ^m NN ) ( A. m e. NN ( k ` m ) <_ ( 1 period_ 0_ 7_ 9_ 9_ 5 5 ) /\ A. m e. NN ( h ` m ) <_ ( 1 period_ 4_ 1 4 ) /\ ( ( 0 period_ 0_ 0_ 0_ 4_ 2_ 2_ 4 8 ) x. ( N ^ 2 ) ) <_ S. ( 0 (,) 1 ) ( ( ( ( (Λ oF x. h )vts N ) ` x ) x. ( ( ( (Λ oF x. k )vts N ) ` x ) ^ 2 ) ) x. ( exp ` ( ( _i x. ( 2 x. pi ) ) x. ( -u N x. x ) ) ) ) _d x ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   ^m cmap 7857   0cc0 9936   1c1 9937   _ici 9938   x. cmul 9941   +oocpnf 10071   <_ cle 10075   -ucneg 10267   NNcn 11020   2c2 11070   4c4 11072   5c5 11073   7c7 11075   8c8 11076   9c9 11077   ZZcz 11377  ;cdc 11493   (,)cioo 12175   [,)cico 12177   ^cexp 12860   expce 14792   picpi 14797   || cdvds 14983   S.citg 23387  Λcvma 24818  _cdp2 29577   periodcdp 29595  vtscvts 30713

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-hgt749 30722

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-seq 12802  df-sum 14417  df-itg 23392

This theorem is referenced by:  tgoldbachgtd  30740