Theorem logdivsqrle 30728

Description: Conditions for ( ( log x ) / ( sqrt x ) ) to be decreasing. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
logdivsqrle.a	|- ( ph -> A e. RR+ )
logdivsqrle.b	|- ( ph -> B e. RR+ )
logdivsqrle.1	|- ( ph -> ( exp ` 2 ) <_ A )
logdivsqrle.2	|- ( ph -> A <_ B )

Assertion

Ref	Expression
logdivsqrle	|- ( ph -> ( ( log ` B ) / ( sqr ` B ) ) <_ ( ( log ` A ) / ( sqr ` A ) ) )

Proof of Theorem logdivsqrle

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioorp 12251	. . . 4 |- ( 0 (,) +oo ) = RR+
2	1	eqcomi 2631	. . 3 |- RR+ = ( 0 (,) +oo )
3		logdivsqrle.a	. . 3 |- ( ph -> A e. RR+ )
4		logdivsqrle.b	. . 3 |- ( ph -> B e. RR+ )
5		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> x e. RR+ )
6	5	relogcld 24369	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( log ` x ) e. RR )
7	5	rpsqrtcld 14150	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( sqr ` x ) e. RR+ )
8	7	rpred 11872	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( sqr ` x ) e. RR )
9		rpsqrtcl 14005	. . . . . . 7 |- ( x e. RR+ -> ( sqr ` x ) e. RR+ )
10		rpne0 11848	. . . . . . 7 |- ( ( sqr ` x ) e. RR+ -> ( sqr ` x ) =/= 0 )
11	9, 10	syl 17	. . . . . 6 |- ( x e. RR+ -> ( sqr ` x ) =/= 0 )
12	11	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( sqr ` x ) =/= 0 )
13	6, 8, 12	redivcld 10853	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( log ` x ) / ( sqr ` x ) ) e. RR )
14		eqid 2622	. . . 4 |- ( x e. RR+ |-> ( ( log ` x ) / ( sqr ` x ) ) ) = ( x e. RR+ |-> ( ( log ` x ) / ( sqr ` x ) ) )
15	13, 14	fmptd 6385	. . 3 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( ( log ` x ) / ( sqr ` x ) ) ) : RR+ --> RR )
16		rpcn 11841	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR+ -> x e. CC )
17	16	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> x e. CC )
18		rpne0 11848	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR+ -> x =/= 0 )
19	18	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> x =/= 0 )
20	17, 19	logcld 24317	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( log ` x ) e. CC )
21	17	sqrtcld 14176	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( sqr ` x ) e. CC )
22	20, 21, 12	divrecd 10804	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( log ` x ) / ( sqr ` x ) ) = ( ( log ` x ) x. ( 1 / ( sqr ` x ) ) ) )
23		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 2 e. CC )
24	23	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> 2 e. CC )
25		2ne0 11113	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 =/= 0
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> 2 =/= 0 )
27	24, 26	reccld 10794	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 1 / 2 ) e. CC )
28	17, 19, 27	cxpnegd 24461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( x ^c -u ( 1 / 2 ) ) = ( 1 / ( x ^c ( 1 / 2 ) ) ) )
29		cxpsqrt 24449	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. CC -> ( x ^c ( 1 / 2 ) ) = ( sqr ` x ) )
30	17, 29	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( x ^c ( 1 / 2 ) ) = ( sqr ` x ) )
31	30	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 1 / ( x ^c ( 1 / 2 ) ) ) = ( 1 / ( sqr ` x ) ) )
32	28, 31	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( x ^c -u ( 1 / 2 ) ) = ( 1 / ( sqr ` x ) ) )
33	32	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( log ` x ) x. ( x ^c -u ( 1 / 2 ) ) ) = ( ( log ` x ) x. ( 1 / ( sqr ` x ) ) ) )
34	22, 33	eqtr4d 2659	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( log ` x ) / ( sqr ` x ) ) = ( ( log ` x ) x. ( x ^c -u ( 1 / 2 ) ) ) )
35	34	mpteq2dva 4744	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( ( log ` x ) / ( sqr ` x ) ) ) = ( x e. RR+ |-> ( ( log ` x ) x. ( x ^c -u ( 1 / 2 ) ) ) ) )
36	35	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. RR+ |-> ( ( log ` x ) / ( sqr ` x ) ) ) ) = ( RR _D ( x e. RR+ |-> ( ( log ` x ) x. ( x ^c -u ( 1 / 2 ) ) ) ) ) )
37		reelprrecn 10028	. . . . . . 7 |- RR e. { RR , CC }
38	37	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> RR e. { RR , CC } )
39	5	rpreccld 11882	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 1 / x ) e. RR+ )
40		dvrelog 24383	. . . . . . 7 |- ( RR _D ( log |` RR+ ) ) = ( x e. RR+ |-> ( 1 / x ) )
41		logf1o 24311	. . . . . . . . . . 11 |- log : ( CC \ { 0 } ) -1-1-onto-> ran log
42		f1of 6137	. . . . . . . . . . 11 |- ( log : ( CC \ { 0 } ) -1-1-onto-> ran log -> log : ( CC \ { 0 } ) --> ran log )
43	41, 42	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- log : ( CC \ { 0 } ) --> ran log
44	43	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> log : ( CC \ { 0 } ) --> ran log )
45	16	ssriv 3607	. . . . . . . . . . 11 |- RR+ C_ CC
46		0nrp 11865	. . . . . . . . . . 11 |- -. 0 e. RR+
47		ssdifsn 4318	. . . . . . . . . . 11 |- ( RR+ C_ ( CC \ { 0 } ) <-> ( RR+ C_ CC /\ -. 0 e. RR+ ) )
48	45, 46, 47	mpbir2an 955	. . . . . . . . . 10 |- RR+ C_ ( CC \ { 0 } )
49	48	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> RR+ C_ ( CC \ { 0 } ) )
50	44, 49	feqresmpt 6250	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( log |` RR+ ) = ( x e. RR+ |-> ( log ` x ) ) )
51	50	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( RR _D ( log |` RR+ ) ) = ( RR _D ( x e. RR+ |-> ( log ` x ) ) ) )
52	40, 51	syl5reqr 2671	. . . . . 6 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. RR+ |-> ( log ` x ) ) ) = ( x e. RR+ |-> ( 1 / x ) ) )
53		1cnd 10056	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 1 e. CC )
54	53	halfcld 11277	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 / 2 ) e. CC )
55	54	negcld 10379	. . . . . . . 8 |- ( ph -> -u ( 1 / 2 ) e. CC )
56	55	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> -u ( 1 / 2 ) e. CC )
57	17, 56	cxpcld 24454	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( x ^c -u ( 1 / 2 ) ) e. CC )
58	53	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> 1 e. CC )
59	56, 58	subcld 10392	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( -u ( 1 / 2 ) - 1 ) e. CC )
60	17, 59	cxpcld 24454	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( x ^c ( -u ( 1 / 2 ) - 1 ) ) e. CC )
61	56, 60	mulcld 10060	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( -u ( 1 / 2 ) x. ( x ^c ( -u ( 1 / 2 ) - 1 ) ) ) e. CC )
62		dvcxp1 24481	. . . . . . 7 |- ( -u ( 1 / 2 ) e. CC -> ( RR _D ( x e. RR+ |-> ( x ^c -u ( 1 / 2 ) ) ) ) = ( x e. RR+ |-> ( -u ( 1 / 2 ) x. ( x ^c ( -u ( 1 / 2 ) - 1 ) ) ) ) )
63	55, 62	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. RR+ |-> ( x ^c -u ( 1 / 2 ) ) ) ) = ( x e. RR+ |-> ( -u ( 1 / 2 ) x. ( x ^c ( -u ( 1 / 2 ) - 1 ) ) ) ) )
64	38, 20, 39, 52, 57, 61, 63	dvmptmul 23724	. . . . 5 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. RR+ |-> ( ( log ` x ) x. ( x ^c -u ( 1 / 2 ) ) ) ) ) = ( x e. RR+ |-> ( ( ( 1 / x ) x. ( x ^c -u ( 1 / 2 ) ) ) + ( ( -u ( 1 / 2 ) x. ( x ^c ( -u ( 1 / 2 ) - 1 ) ) ) x. ( log ` x ) ) ) ) )
65	36, 64	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. RR+ |-> ( ( log ` x ) / ( sqr ` x ) ) ) ) = ( x e. RR+ |-> ( ( ( 1 / x ) x. ( x ^c -u ( 1 / 2 ) ) ) + ( ( -u ( 1 / 2 ) x. ( x ^c ( -u ( 1 / 2 ) - 1 ) ) ) x. ( log ` x ) ) ) ) )
66		ax-resscn 9993	. . . . . 6 |- RR C_ CC
67	66	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> RR C_ CC )
68		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
69	68	addcn 22668	. . . . . . 7 |- + e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) )
70	69	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> + e. ( ( ( TopOpen ` ℂfld ) tX ( TopOpen ` ℂfld ) ) Cn ( TopOpen ` ℂfld ) ) )
71	45	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> RR+ C_ CC )
72		ssid 3624	. . . . . . . . . 10 |- CC C_ CC
73	72	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> CC C_ CC )
74		cncfmptc 22714	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1 e. CC /\ RR+ C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( x e. RR+ |-> 1 ) e. ( RR+ -cn-> CC ) )
75	53, 71, 73, 74	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> 1 ) e. ( RR+ -cn-> CC ) )
76		difss 3737	. . . . . . . . 9 |- ( CC \ { 0 } ) C_ CC
77		cncfmptid 22715	. . . . . . . . 9 |- ( ( RR+ C_ ( CC \ { 0 } ) /\ ( CC \ { 0 } ) C_ CC ) -> ( x e. RR+ |-> x ) e. ( RR+ -cn-> ( CC \ { 0 } ) ) )
78	49, 76, 77	sylancl 694	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> x ) e. ( RR+ -cn-> ( CC \ { 0 } ) ) )
79	75, 78	divcncf 23216	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( 1 / x ) ) e. ( RR+ -cn-> CC ) )
80		ax-1 6	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. RR+ -> ( x e. RR -> x e. RR+ ) )
81	16, 80	jca 554	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR+ -> ( x e. CC /\ ( x e. RR -> x e. RR+ ) ) )
82		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) = ( CC \ ( -oo (,] 0 ) )
83	82	ellogdm 24385	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) <-> ( x e. CC /\ ( x e. RR -> x e. RR+ ) ) )
84	81, 83	sylibr 224	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR+ -> x e. ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) )
85	84	ssriv 3607	. . . . . . . . 9 |- RR+ C_ ( CC \ ( -oo (,] 0 ) )
86	85	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> RR+ C_ ( CC \ ( -oo (,] 0 ) ) )
87	55, 86	cxpcncf1 30673	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( x ^c -u ( 1 / 2 ) ) ) e. ( RR+ -cn-> CC ) )
88	79, 87	mulcncf 23215	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( ( 1 / x ) x. ( x ^c -u ( 1 / 2 ) ) ) ) e. ( RR+ -cn-> CC ) )
89		cncfmptc 22714	. . . . . . . . 9 |- ( ( -u ( 1 / 2 ) e. CC /\ RR+ C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( x e. RR+ |-> -u ( 1 / 2 ) ) e. ( RR+ -cn-> CC ) )
90	55, 71, 73, 89	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> -u ( 1 / 2 ) ) e. ( RR+ -cn-> CC ) )
91	55, 53	subcld 10392	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( -u ( 1 / 2 ) - 1 ) e. CC )
92	91, 86	cxpcncf1 30673	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( x ^c ( -u ( 1 / 2 ) - 1 ) ) ) e. ( RR+ -cn-> CC ) )
93	90, 92	mulcncf 23215	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( -u ( 1 / 2 ) x. ( x ^c ( -u ( 1 / 2 ) - 1 ) ) ) ) e. ( RR+ -cn-> CC ) )
94		cncfss 22702	. . . . . . . . 9 |- ( ( RR C_ CC /\ CC C_ CC ) -> ( RR+ -cn-> RR ) C_ ( RR+ -cn-> CC ) )
95	66, 72, 94	mp2an 708	. . . . . . . 8 |- ( RR+ -cn-> RR ) C_ ( RR+ -cn-> CC )
96		relogcn 24384	. . . . . . . . 9 |- ( log |` RR+ ) e. ( RR+ -cn-> RR )
97	50, 96	syl6eqelr 2710	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( log ` x ) ) e. ( RR+ -cn-> RR ) )
98	95, 97	sseldi 3601	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( log ` x ) ) e. ( RR+ -cn-> CC ) )
99	93, 98	mulcncf 23215	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( ( -u ( 1 / 2 ) x. ( x ^c ( -u ( 1 / 2 ) - 1 ) ) ) x. ( log ` x ) ) ) e. ( RR+ -cn-> CC ) )
100	68, 70, 88, 99	cncfmpt2f 22717	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( ( ( 1 / x ) x. ( x ^c -u ( 1 / 2 ) ) ) + ( ( -u ( 1 / 2 ) x. ( x ^c ( -u ( 1 / 2 ) - 1 ) ) ) x. ( log ` x ) ) ) ) e. ( RR+ -cn-> CC ) )
101		rpre 11839	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR+ -> x e. RR )
102	101, 18	rereccld 10852	. . . . . . . . 9 |- ( x e. RR+ -> ( 1 / x ) e. RR )
103		rpge0 11845	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR+ -> 0 <_ x )
104		halfre 11246	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 / 2 ) e. RR
105	104	renegcli 10342	. . . . . . . . . . 11 |- -u ( 1 / 2 ) e. RR
106	105	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR+ -> -u ( 1 / 2 ) e. RR )
107	101, 103, 106	recxpcld 24469	. . . . . . . . 9 |- ( x e. RR+ -> ( x ^c -u ( 1 / 2 ) ) e. RR )
108	102, 107	remulcld 10070	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR+ -> ( ( 1 / x ) x. ( x ^c -u ( 1 / 2 ) ) ) e. RR )
109		1re 10039	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. RR
110	105, 109	resubcli 10343	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -u ( 1 / 2 ) - 1 ) e. RR
111	110	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR+ -> ( -u ( 1 / 2 ) - 1 ) e. RR )
112	101, 103, 111	recxpcld 24469	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR+ -> ( x ^c ( -u ( 1 / 2 ) - 1 ) ) e. RR )
113	106, 112	remulcld 10070	. . . . . . . . 9 |- ( x e. RR+ -> ( -u ( 1 / 2 ) x. ( x ^c ( -u ( 1 / 2 ) - 1 ) ) ) e. RR )
114		relogcl 24322	. . . . . . . . 9 |- ( x e. RR+ -> ( log ` x ) e. RR )
115	113, 114	remulcld 10070	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR+ -> ( ( -u ( 1 / 2 ) x. ( x ^c ( -u ( 1 / 2 ) - 1 ) ) ) x. ( log ` x ) ) e. RR )
116	108, 115	readdcld 10069	. . . . . . 7 |- ( x e. RR+ -> ( ( ( 1 / x ) x. ( x ^c -u ( 1 / 2 ) ) ) + ( ( -u ( 1 / 2 ) x. ( x ^c ( -u ( 1 / 2 ) - 1 ) ) ) x. ( log ` x ) ) ) e. RR )
117	116	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( ( 1 / x ) x. ( x ^c -u ( 1 / 2 ) ) ) + ( ( -u ( 1 / 2 ) x. ( x ^c ( -u ( 1 / 2 ) - 1 ) ) ) x. ( log ` x ) ) ) e. RR )
118		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( x e. RR+ |-> ( ( ( 1 / x ) x. ( x ^c -u ( 1 / 2 ) ) ) + ( ( -u ( 1 / 2 ) x. ( x ^c ( -u ( 1 / 2 ) - 1 ) ) ) x. ( log ` x ) ) ) ) = ( x e. RR+ |-> ( ( ( 1 / x ) x. ( x ^c -u ( 1 / 2 ) ) ) + ( ( -u ( 1 / 2 ) x. ( x ^c ( -u ( 1 / 2 ) - 1 ) ) ) x. ( log ` x ) ) ) )
119	117, 118	fmptd 6385	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( ( ( 1 / x ) x. ( x ^c -u ( 1 / 2 ) ) ) + ( ( -u ( 1 / 2 ) x. ( x ^c ( -u ( 1 / 2 ) - 1 ) ) ) x. ( log ` x ) ) ) ) : RR+ --> RR )
120		cncffvrn 22701	. . . . . 6 |- ( ( RR C_ CC /\ ( x e. RR+ |-> ( ( ( 1 / x ) x. ( x ^c -u ( 1 / 2 ) ) ) + ( ( -u ( 1 / 2 ) x. ( x ^c ( -u ( 1 / 2 ) - 1 ) ) ) x. ( log ` x ) ) ) ) e. ( RR+ -cn-> CC ) ) -> ( ( x e. RR+ |-> ( ( ( 1 / x ) x. ( x ^c -u ( 1 / 2 ) ) ) + ( ( -u ( 1 / 2 ) x. ( x ^c ( -u ( 1 / 2 ) - 1 ) ) ) x. ( log ` x ) ) ) ) e. ( RR+ -cn-> RR ) <-> ( x e. RR+ |-> ( ( ( 1 / x ) x. ( x ^c -u ( 1 / 2 ) ) ) + ( ( -u ( 1 / 2 ) x. ( x ^c ( -u ( 1 / 2 ) - 1 ) ) ) x. ( log ` x ) ) ) ) : RR+ --> RR ) )
121	120	biimpar 502	. . . . 5 |- ( ( ( RR C_ CC /\ ( x e. RR+ |-> ( ( ( 1 / x ) x. ( x ^c -u ( 1 / 2 ) ) ) + ( ( -u ( 1 / 2 ) x. ( x ^c ( -u ( 1 / 2 ) - 1 ) ) ) x. ( log ` x ) ) ) ) e. ( RR+ -cn-> CC ) ) /\ ( x e. RR+ |-> ( ( ( 1 / x ) x. ( x ^c -u ( 1 / 2 ) ) ) + ( ( -u ( 1 / 2 ) x. ( x ^c ( -u ( 1 / 2 ) - 1 ) ) ) x. ( log ` x ) ) ) ) : RR+ --> RR ) -> ( x e. RR+ |-> ( ( ( 1 / x ) x. ( x ^c -u ( 1 / 2 ) ) ) + ( ( -u ( 1 / 2 ) x. ( x ^c ( -u ( 1 / 2 ) - 1 ) ) ) x. ( log ` x ) ) ) ) e. ( RR+ -cn-> RR ) )
122	67, 100, 119, 121	syl21anc 1325	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( ( ( 1 / x ) x. ( x ^c -u ( 1 / 2 ) ) ) + ( ( -u ( 1 / 2 ) x. ( x ^c ( -u ( 1 / 2 ) - 1 ) ) ) x. ( log ` x ) ) ) ) e. ( RR+ -cn-> RR ) )
123	65, 122	eqeltrd 2701	. . 3 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. RR+ |-> ( ( log ` x ) / ( sqr ` x ) ) ) ) e. ( RR+ -cn-> RR ) )
124		logdivsqrle.2	. . 3 |- ( ph -> A <_ B )
125	65	fveq1d 6193	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( RR _D ( x e. RR+ |-> ( ( log ` x ) / ( sqr ` x ) ) ) ) ` y ) = ( ( x e. RR+ |-> ( ( ( 1 / x ) x. ( x ^c -u ( 1 / 2 ) ) ) + ( ( -u ( 1 / 2 ) x. ( x ^c ( -u ( 1 / 2 ) - 1 ) ) ) x. ( log ` x ) ) ) ) ` y ) )
126	125	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. ( A (,) B ) ) -> ( ( RR _D ( x e. RR+ |-> ( ( log ` x ) / ( sqr ` x ) ) ) ) ` y ) = ( ( x e. RR+ |-> ( ( ( 1 / x ) x. ( x ^c -u ( 1 / 2 ) ) ) + ( ( -u ( 1 / 2 ) x. ( x ^c ( -u ( 1 / 2 ) - 1 ) ) ) x. ( log ` x ) ) ) ) ` y ) )
127	58	negcld 10379	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> -u 1 e. CC )
128		cxpadd 24425	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. CC /\ x =/= 0 ) /\ -u ( 1 / 2 ) e. CC /\ -u 1 e. CC ) -> ( x ^c ( -u ( 1 / 2 ) + -u 1 ) ) = ( ( x ^c -u ( 1 / 2 ) ) x. ( x ^c -u 1 ) ) )
129	17, 19, 56, 127, 128	syl211anc 1332	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( x ^c ( -u ( 1 / 2 ) + -u 1 ) ) = ( ( x ^c -u ( 1 / 2 ) ) x. ( x ^c -u 1 ) ) )
130	60	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 1 x. ( x ^c ( -u ( 1 / 2 ) - 1 ) ) ) = ( x ^c ( -u ( 1 / 2 ) - 1 ) ) )
131	56, 58	negsubd 10398	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( -u ( 1 / 2 ) + -u 1 ) = ( -u ( 1 / 2 ) - 1 ) )
132	131	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( x ^c ( -u ( 1 / 2 ) + -u 1 ) ) = ( x ^c ( -u ( 1 / 2 ) - 1 ) ) )
133	130, 132	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 1 x. ( x ^c ( -u ( 1 / 2 ) - 1 ) ) ) = ( x ^c ( -u ( 1 / 2 ) + -u 1 ) ) )
134	45, 39	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 1 / x ) e. CC )
135	134, 57	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( 1 / x ) x. ( x ^c -u ( 1 / 2 ) ) ) = ( ( x ^c -u ( 1 / 2 ) ) x. ( 1 / x ) ) )
136		cxpneg 24427	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. CC /\ x =/= 0 /\ 1 e. CC ) -> ( x ^c -u 1 ) = ( 1 / ( x ^c 1 ) ) )
137	17, 19, 58, 136	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( x ^c -u 1 ) = ( 1 / ( x ^c 1 ) ) )
138	17	cxp1d 24452	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( x ^c 1 ) = x )
139	138	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 1 / ( x ^c 1 ) ) = ( 1 / x ) )
140	137, 139	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( 1 / x ) = ( x ^c -u 1 ) )
141	140	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( x ^c -u ( 1 / 2 ) ) x. ( 1 / x ) ) = ( ( x ^c -u ( 1 / 2 ) ) x. ( x ^c -u 1 ) ) )
142	135, 141	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( 1 / x ) x. ( x ^c -u ( 1 / 2 ) ) ) = ( ( x ^c -u ( 1 / 2 ) ) x. ( x ^c -u 1 ) ) )
143	129, 133, 142	3eqtr4rd 2667	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( 1 / x ) x. ( x ^c -u ( 1 / 2 ) ) ) = ( 1 x. ( x ^c ( -u ( 1 / 2 ) - 1 ) ) ) )
144	56, 60, 20	mul32d 10246	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( -u ( 1 / 2 ) x. ( x ^c ( -u ( 1 / 2 ) - 1 ) ) ) x. ( log ` x ) ) = ( ( -u ( 1 / 2 ) x. ( log ` x ) ) x. ( x ^c ( -u ( 1 / 2 ) - 1 ) ) ) )
145	143, 144	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( ( 1 / x ) x. ( x ^c -u ( 1 / 2 ) ) ) + ( ( -u ( 1 / 2 ) x. ( x ^c ( -u ( 1 / 2 ) - 1 ) ) ) x. ( log ` x ) ) ) = ( ( 1 x. ( x ^c ( -u ( 1 / 2 ) - 1 ) ) ) + ( ( -u ( 1 / 2 ) x. ( log ` x ) ) x. ( x ^c ( -u ( 1 / 2 ) - 1 ) ) ) ) )
146	56, 20	mulcld 10060	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( -u ( 1 / 2 ) x. ( log ` x ) ) e. CC )
147	58, 146, 60	adddird 10065	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( 1 + ( -u ( 1 / 2 ) x. ( log ` x ) ) ) x. ( x ^c ( -u ( 1 / 2 ) - 1 ) ) ) = ( ( 1 x. ( x ^c ( -u ( 1 / 2 ) - 1 ) ) ) + ( ( -u ( 1 / 2 ) x. ( log ` x ) ) x. ( x ^c ( -u ( 1 / 2 ) - 1 ) ) ) ) )
148	145, 147	eqtr4d 2659	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR+ ) -> ( ( ( 1 / x ) x. ( x ^c -u ( 1 / 2 ) ) ) + ( ( -u ( 1 / 2 ) x. ( x ^c ( -u ( 1 / 2 ) - 1 ) ) ) x. ( log ` x ) ) ) = ( ( 1 + ( -u ( 1 / 2 ) x. ( log ` x ) ) ) x. ( x ^c ( -u ( 1 / 2 ) - 1 ) ) ) )
149	148	mpteq2dva 4744	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( ( ( 1 / x ) x. ( x ^c -u ( 1 / 2 ) ) ) + ( ( -u ( 1 / 2 ) x. ( x ^c ( -u ( 1 / 2 ) - 1 ) ) ) x. ( log ` x ) ) ) ) = ( x e. RR+ |-> ( ( 1 + ( -u ( 1 / 2 ) x. ( log ` x ) ) ) x. ( x ^c ( -u ( 1 / 2 ) - 1 ) ) ) ) )
150	149	fveq1d 6193	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( x e. RR+ |-> ( ( ( 1 / x ) x. ( x ^c -u ( 1 / 2 ) ) ) + ( ( -u ( 1 / 2 ) x. ( x ^c ( -u ( 1 / 2 ) - 1 ) ) ) x. ( log ` x ) ) ) ) ` y ) = ( ( x e. RR+ |-> ( ( 1 + ( -u ( 1 / 2 ) x. ( log ` x ) ) ) x. ( x ^c ( -u ( 1 / 2 ) - 1 ) ) ) ) ` y ) )
151	150	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. ( A (,) B ) ) -> ( ( x e. RR+ |-> ( ( ( 1 / x ) x. ( x ^c -u ( 1 / 2 ) ) ) + ( ( -u ( 1 / 2 ) x. ( x ^c ( -u ( 1 / 2 ) - 1 ) ) ) x. ( log ` x ) ) ) ) ` y ) = ( ( x e. RR+ |-> ( ( 1 + ( -u ( 1 / 2 ) x. ( log ` x ) ) ) x. ( x ^c ( -u ( 1 / 2 ) - 1 ) ) ) ) ` y ) )
152		eqidd 2623	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. ( A (,) B ) ) -> ( x e. RR+ |-> ( ( 1 + ( -u ( 1 / 2 ) x. ( log ` x ) ) ) x. ( x ^c ( -u ( 1 / 2 ) - 1 ) ) ) ) = ( x e. RR+ |-> ( ( 1 + ( -u ( 1 / 2 ) x. ( log ` x ) ) ) x. ( x ^c ( -u ( 1 / 2 ) - 1 ) ) ) ) )
153		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. ( A (,) B ) ) /\ x = y ) -> x = y )
154	153	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. ( A (,) B ) ) /\ x = y ) -> ( log ` x ) = ( log ` y ) )
155	154	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. ( A (,) B ) ) /\ x = y ) -> ( -u ( 1 / 2 ) x. ( log ` x ) ) = ( -u ( 1 / 2 ) x. ( log ` y ) ) )
156	155	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. ( A (,) B ) ) /\ x = y ) -> ( 1 + ( -u ( 1 / 2 ) x. ( log ` x ) ) ) = ( 1 + ( -u ( 1 / 2 ) x. ( log ` y ) ) ) )
157	153	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ y e. ( A (,) B ) ) /\ x = y ) -> ( x ^c ( -u ( 1 / 2 ) - 1 ) ) = ( y ^c ( -u ( 1 / 2 ) - 1 ) ) )
158	156, 157	oveq12d 6668	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ y e. ( A (,) B ) ) /\ x = y ) -> ( ( 1 + ( -u ( 1 / 2 ) x. ( log ` x ) ) ) x. ( x ^c ( -u ( 1 / 2 ) - 1 ) ) ) = ( ( 1 + ( -u ( 1 / 2 ) x. ( log ` y ) ) ) x. ( y ^c ( -u ( 1 / 2 ) - 1 ) ) ) )
159		ioossicc 12259	. . . . . . . . . 10 |- ( A (,) B ) C_ ( A [,] B )
160	159	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A (,) B ) C_ ( A [,] B ) )
161	2, 3, 4	fct2relem 30675	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ RR+ )
162	160, 161	sstrd 3613	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A (,) B ) C_ RR+ )
163	162	sselda 3603	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. ( A (,) B ) ) -> y e. RR+ )
164		ovexd 6680	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. ( A (,) B ) ) -> ( ( 1 + ( -u ( 1 / 2 ) x. ( log ` y ) ) ) x. ( y ^c ( -u ( 1 / 2 ) - 1 ) ) ) e. _V )
165	152, 158, 163, 164	fvmptd 6288	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ( A (,) B ) ) -> ( ( x e. RR+ |-> ( ( 1 + ( -u ( 1 / 2 ) x. ( log ` x ) ) ) x. ( x ^c ( -u ( 1 / 2 ) - 1 ) ) ) ) ` y ) = ( ( 1 + ( -u ( 1 / 2 ) x. ( log ` y ) ) ) x. ( y ^c ( -u ( 1 / 2 ) - 1 ) ) ) )
166	109	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ( A (,) B ) ) -> 1 e. RR )
167	105	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. ( A (,) B ) ) -> -u ( 1 / 2 ) e. RR )
168	163	relogcld 24369	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. ( A (,) B ) ) -> ( log ` y ) e. RR )
169	167, 168	remulcld 10070	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ( A (,) B ) ) -> ( -u ( 1 / 2 ) x. ( log ` y ) ) e. RR )
170	166, 169	readdcld 10069	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ( A (,) B ) ) -> ( 1 + ( -u ( 1 / 2 ) x. ( log ` y ) ) ) e. RR )
171		0red 10041	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ( A (,) B ) ) -> 0 e. RR )
172		rpcxpcl 24422	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. RR+ /\ ( -u ( 1 / 2 ) - 1 ) e. RR ) -> ( y ^c ( -u ( 1 / 2 ) - 1 ) ) e. RR+ )
173	163, 110, 172	sylancl 694	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ( A (,) B ) ) -> ( y ^c ( -u ( 1 / 2 ) - 1 ) ) e. RR+ )
174	173	rpred 11872	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ( A (,) B ) ) -> ( y ^c ( -u ( 1 / 2 ) - 1 ) ) e. RR )
175	173	rpge0d 11876	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ( A (,) B ) ) -> 0 <_ ( y ^c ( -u ( 1 / 2 ) - 1 ) ) )
176		2cn 11091	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. CC
177	176	mulid2i 10043	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 x. 2 ) = 2
178		2re 11090	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 2 e. RR
179	178	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ y e. ( A (,) B ) ) -> 2 e. RR )
180	179	reefcld 14818	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ y e. ( A (,) B ) ) -> ( exp ` 2 ) e. RR )
181	3	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> A e. RR )
182	181	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ y e. ( A (,) B ) ) -> A e. RR )
183	163	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ y e. ( A (,) B ) ) -> y e. RR )
184		logdivsqrle.1	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( exp ` 2 ) <_ A )
185	184	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ y e. ( A (,) B ) ) -> ( exp ` 2 ) <_ A )
186		eliooord 12233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. ( A (,) B ) -> ( A < y /\ y < B ) )
187	186	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. ( A (,) B ) -> A < y )
188	187	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ y e. ( A (,) B ) ) -> A < y )
189	182, 183, 188	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ y e. ( A (,) B ) ) -> A <_ y )
190	180, 182, 183, 185, 189	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ y e. ( A (,) B ) ) -> ( exp ` 2 ) <_ y )
191		reeflog 24327	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. RR+ -> ( exp ` ( log ` y ) ) = y )
192	163, 191	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ y e. ( A (,) B ) ) -> ( exp ` ( log ` y ) ) = y )
193	190, 192	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ y e. ( A (,) B ) ) -> ( exp ` 2 ) <_ ( exp ` ( log ` y ) ) )
194		efle 14848	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 2 e. RR /\ ( log ` y ) e. RR ) -> ( 2 <_ ( log ` y ) <-> ( exp ` 2 ) <_ ( exp ` ( log ` y ) ) ) )
195	178, 168, 194	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ y e. ( A (,) B ) ) -> ( 2 <_ ( log ` y ) <-> ( exp ` 2 ) <_ ( exp ` ( log ` y ) ) ) )
196	193, 195	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. ( A (,) B ) ) -> 2 <_ ( log ` y ) )
197	177, 196	syl5eqbr 4688	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. ( A (,) B ) ) -> ( 1 x. 2 ) <_ ( log ` y ) )
198		2rp 11837	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. RR+
199	198	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. ( A (,) B ) ) -> 2 e. RR+ )
200	166, 168, 199	lemuldivd 11921	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. ( A (,) B ) ) -> ( ( 1 x. 2 ) <_ ( log ` y ) <-> 1 <_ ( ( log ` y ) / 2 ) ) )
201	197, 200	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. ( A (,) B ) ) -> 1 <_ ( ( log ` y ) / 2 ) )
202	66, 168	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. ( A (,) B ) ) -> ( log ` y ) e. CC )
203	23	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. ( A (,) B ) ) -> 2 e. CC )
204	25	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. ( A (,) B ) ) -> 2 =/= 0 )
205	202, 203, 204	divrec2d 10805	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. ( A (,) B ) ) -> ( ( log ` y ) / 2 ) = ( ( 1 / 2 ) x. ( log ` y ) ) )
206	201, 205	breqtrd 4679	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. ( A (,) B ) ) -> 1 <_ ( ( 1 / 2 ) x. ( log ` y ) ) )
207	54	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. ( A (,) B ) ) -> ( 1 / 2 ) e. CC )
208	207, 202	mulneg1d 10483	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. ( A (,) B ) ) -> ( -u ( 1 / 2 ) x. ( log ` y ) ) = -u ( ( 1 / 2 ) x. ( log ` y ) ) )
209	208	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. ( A (,) B ) ) -> ( 0 - ( -u ( 1 / 2 ) x. ( log ` y ) ) ) = ( 0 - -u ( ( 1 / 2 ) x. ( log ` y ) ) ) )
210	66, 171	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. ( A (,) B ) ) -> 0 e. CC )
211	207, 202	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. ( A (,) B ) ) -> ( ( 1 / 2 ) x. ( log ` y ) ) e. CC )
212	210, 211	subnegd 10399	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. ( A (,) B ) ) -> ( 0 - -u ( ( 1 / 2 ) x. ( log ` y ) ) ) = ( 0 + ( ( 1 / 2 ) x. ( log ` y ) ) ) )
213	211	addid2d 10237	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. ( A (,) B ) ) -> ( 0 + ( ( 1 / 2 ) x. ( log ` y ) ) ) = ( ( 1 / 2 ) x. ( log ` y ) ) )
214	209, 212, 213	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. ( A (,) B ) ) -> ( 0 - ( -u ( 1 / 2 ) x. ( log ` y ) ) ) = ( ( 1 / 2 ) x. ( log ` y ) ) )
215	206, 214	breqtrrd 4681	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ( A (,) B ) ) -> 1 <_ ( 0 - ( -u ( 1 / 2 ) x. ( log ` y ) ) ) )
216		leaddsub 10504	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. RR /\ ( -u ( 1 / 2 ) x. ( log ` y ) ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( ( 1 + ( -u ( 1 / 2 ) x. ( log ` y ) ) ) <_ 0 <-> 1 <_ ( 0 - ( -u ( 1 / 2 ) x. ( log ` y ) ) ) ) )
217	166, 169, 171, 216	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ( A (,) B ) ) -> ( ( 1 + ( -u ( 1 / 2 ) x. ( log ` y ) ) ) <_ 0 <-> 1 <_ ( 0 - ( -u ( 1 / 2 ) x. ( log ` y ) ) ) ) )
218	215, 217	mpbird 247	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ( A (,) B ) ) -> ( 1 + ( -u ( 1 / 2 ) x. ( log ` y ) ) ) <_ 0 )
219	170, 171, 174, 175, 218	lemul1ad 10963	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. ( A (,) B ) ) -> ( ( 1 + ( -u ( 1 / 2 ) x. ( log ` y ) ) ) x. ( y ^c ( -u ( 1 / 2 ) - 1 ) ) ) <_ ( 0 x. ( y ^c ( -u ( 1 / 2 ) - 1 ) ) ) )
220	45, 173	sseldi 3601	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ( A (,) B ) ) -> ( y ^c ( -u ( 1 / 2 ) - 1 ) ) e. CC )
221	220	mul02d 10234	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. ( A (,) B ) ) -> ( 0 x. ( y ^c ( -u ( 1 / 2 ) - 1 ) ) ) = 0 )
222	219, 221	breqtrd 4679	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ( A (,) B ) ) -> ( ( 1 + ( -u ( 1 / 2 ) x. ( log ` y ) ) ) x. ( y ^c ( -u ( 1 / 2 ) - 1 ) ) ) <_ 0 )
223	165, 222	eqbrtrd 4675	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. ( A (,) B ) ) -> ( ( x e. RR+ |-> ( ( 1 + ( -u ( 1 / 2 ) x. ( log ` x ) ) ) x. ( x ^c ( -u ( 1 / 2 ) - 1 ) ) ) ) ` y ) <_ 0 )
224	151, 223	eqbrtrd 4675	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. ( A (,) B ) ) -> ( ( x e. RR+ |-> ( ( ( 1 / x ) x. ( x ^c -u ( 1 / 2 ) ) ) + ( ( -u ( 1 / 2 ) x. ( x ^c ( -u ( 1 / 2 ) - 1 ) ) ) x. ( log ` x ) ) ) ) ` y ) <_ 0 )
225	126, 224	eqbrtrd 4675	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. ( A (,) B ) ) -> ( ( RR _D ( x e. RR+ |-> ( ( log ` x ) / ( sqr ` x ) ) ) ) ` y ) <_ 0 )
226	2, 3, 4, 15, 123, 124, 225	fdvnegge 30680	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. RR+ |-> ( ( log ` x ) / ( sqr ` x ) ) ) ` B ) <_ ( ( x e. RR+ |-> ( ( log ` x ) / ( sqr ` x ) ) ) ` A ) )
227		eqidd 2623	. . 3 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> ( ( log ` x ) / ( sqr ` x ) ) ) = ( x e. RR+ |-> ( ( log ` x ) / ( sqr ` x ) ) ) )
228		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x = B ) -> x = B )
229	228	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( ( ph /\ x = B ) -> ( log ` x ) = ( log ` B ) )
230	228	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( ( ph /\ x = B ) -> ( sqr ` x ) = ( sqr ` B ) )
231	229, 230	oveq12d 6668	. . 3 |- ( ( ph /\ x = B ) -> ( ( log ` x ) / ( sqr ` x ) ) = ( ( log ` B ) / ( sqr ` B ) ) )
232		ovex 6678	. . . 4 |- ( ( log ` B ) / ( sqr ` B ) ) e. _V
233	232	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> ( ( log ` B ) / ( sqr ` B ) ) e. _V )
234	227, 231, 4, 233	fvmptd 6288	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. RR+ |-> ( ( log ` x ) / ( sqr ` x ) ) ) ` B ) = ( ( log ` B ) / ( sqr ` B ) ) )
235		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x = A ) -> x = A )
236	235	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( ( ph /\ x = A ) -> ( log ` x ) = ( log ` A ) )
237	235	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( ( ph /\ x = A ) -> ( sqr ` x ) = ( sqr ` A ) )
238	236, 237	oveq12d 6668	. . 3 |- ( ( ph /\ x = A ) -> ( ( log ` x ) / ( sqr ` x ) ) = ( ( log ` A ) / ( sqr ` A ) ) )
239		ovex 6678	. . . 4 |- ( ( log ` A ) / ( sqr ` A ) ) e. _V
240	239	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> ( ( log ` A ) / ( sqr ` A ) ) e. _V )
241	227, 238, 3, 240	fvmptd 6288	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. RR+ |-> ( ( log ` x ) / ( sqr ` x ) ) ) ` A ) = ( ( log ` A ) / ( sqr ` A ) ) )
242	226, 234, 241	3brtr3d 4684	1 |- ( ph -> ( ( log ` B ) / ( sqr ` B ) ) <_ ( ( log ` A ) / ( sqr ` A ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   {csn 4177   {cpr 4179   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   |` cres 5116   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   +oocpnf 10071   -oocmnf 10072   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   2c2 11070   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   (,]cioc 12176   [,]cicc 12178   sqrcsqrt 13973   expce 14792   TopOpenctopn 16082  ℂ_fldccnfld 19746   Cn ccn 21028   tX ctx 21363   -cn->ccncf 22679   _D cdv 23627   logclog 24301   ^c ccxp 24302

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-tan 14802  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388  df-itg1 23389  df-itg2 23390  df-ibl 23391  df-itg 23392  df-0p 23437  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-cxp 24304

This theorem is referenced by:  hgt750lem  30729