Theorem hhssnm 28116

Description: The norm operation on a subspace. (Contributed by NM, 8-Apr-2008.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
hhss.1	|- W = <. <. ( +h |` ( H X. H ) ) , ( .h |` ( CC X. H ) ) >. , ( normh |` H ) >.

Assertion

Ref	Expression
hhssnm	|- ( normh |` H ) = ( normCV ` W )

Proof of Theorem hhssnm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . 3 |- ( normCV ` W ) = ( normCV ` W )
2	1	nmcvfval 27462	. 2 |- ( normCV ` W ) = ( 2nd ` W )
3		hhss.1	. . 3 |- W = <. <. ( +h |` ( H X. H ) ) , ( .h |` ( CC X. H ) ) >. , ( normh |` H ) >.
4	3	fveq2i 6194	. 2 |- ( 2nd ` W ) = ( 2nd ` <. <. ( +h |` ( H X. H ) ) , ( .h |` ( CC X. H ) ) >. , ( normh |` H ) >. )
5		opex 4932	. . 3 |- <. ( +h |` ( H X. H ) ) , ( .h |` ( CC X. H ) ) >. e. _V
6		normf 27980	. . . . 5 |- normh : ~H --> RR
7		ax-hilex 27856	. . . . 5 |- ~H e. _V
8		fex 6490	. . . . 5 |- ( ( normh : ~H --> RR /\ ~H e. _V ) -> normh e. _V )
9	6, 7, 8	mp2an 708	. . . 4 |- normh e. _V
10	9	resex 5443	. . 3 |- ( normh |` H ) e. _V
11	5, 10	op2nd 7177	. 2 |- ( 2nd ` <. <. ( +h |` ( H X. H ) ) , ( .h |` ( CC X. H ) ) >. , ( normh |` H ) >. ) = ( normh |` H )
12	2, 4, 11	3eqtrri 2649	1 |- ( normh |` H ) = ( normCV ` W )

Syntax hints:   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   <.cop 4183   X. cxp 5112   |` cres 5116   -->wf 5884   ` cfv 5888   2ndc2nd 7167   CCcc 9934   RRcr 9935   norm_CVcnmcv 27445   ~Hchil 27776   +h cva 27777   .h csm 27778   normhcno 27780

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-hilex 27856  ax-hv0cl 27860  ax-hvmul0 27867  ax-hfi 27936  ax-his1 27939  ax-his3 27941  ax-his4 27942

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-nmcv 27455  df-hnorm 27825

This theorem is referenced by:  hhsst  28123  hhsssh2  28127  hhssims  28132  hhssmetdval  28135