Theorem minvecolem5 27737

Description: Lemma for minveco 27740. Discharge the assumption about the sequence F by applying countable choice ax-cc 9257. (Contributed by Mario Carneiro, 9-May-2014.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
minveco.x	|- X = ( BaseSet ` U )
minveco.m	|- M = ( -v ` U )
minveco.n	|- N = ( normCV ` U )
minveco.y	|- Y = ( BaseSet ` W )
minveco.u	|- ( ph -> U e. CPreHil OLD )
minveco.w	|- ( ph -> W e. ( ( SubSp ` U ) i^i CBan ) )
minveco.a	|- ( ph -> A e. X )
minveco.d	|- D = ( IndMet ` U )
minveco.j	|- J = ( MetOpen ` D )
minveco.r	|- R = ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A M y ) ) )
minveco.s	|- S = inf ( R , RR , < )

Assertion

Ref	Expression
minvecolem5	|- ( ph -> E. x e. Y A. y e. Y ( N ` ( A M x ) ) <_ ( N ` ( A M y ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, J   x, M, y   x, N, y   ph, x, y   x, R   x, S, y   x, A, y   x, D, y   x, U, y   x, W, y   x, X   x, Y, y

Allowed substitution hints:   R( y)   X( y)

Proof of Theorem minvecolem5

Dummy variables n k w f are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnrecgt0 11058	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. NN -> 0 < ( 1 / n ) )
2	1	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> 0 < ( 1 / n ) )
3		nnrecre 11057	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN -> ( 1 / n ) e. RR )
4	3	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 1 / n ) e. RR )
5		minveco.s	. . . . . . . . . . . . . 14 |- S = inf ( R , RR , < )
6		minveco.x	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- X = ( BaseSet ` U )
7		minveco.m	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- M = ( -v ` U )
8		minveco.n	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- N = ( normCV ` U )
9		minveco.y	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- Y = ( BaseSet ` W )
10		minveco.u	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> U e. CPreHil OLD )
11		minveco.w	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> W e. ( ( SubSp ` U ) i^i CBan ) )
12		minveco.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> A e. X )
13		minveco.d	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- D = ( IndMet ` U )
14		minveco.j	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- J = ( MetOpen ` D )
15		minveco.r	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- R = ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A M y ) ) )
16	6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15	minvecolem1 27730	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( R C_ RR /\ R =/= (/) /\ A. w e. R 0 <_ w ) )
17	16	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( R C_ RR /\ R =/= (/) /\ A. w e. R 0 <_ w ) )
18	17	simp1d 1073	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> R C_ RR )
19	17	simp2d 1074	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> R =/= (/) )
20		0re 10040	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 e. RR
21	17	simp3d 1075	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> A. w e. R 0 <_ w )
22		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = 0 -> ( x <_ w <-> 0 <_ w ) )
23	22	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = 0 -> ( A. w e. R x <_ w <-> A. w e. R 0 <_ w ) )
24	23	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 0 e. RR /\ A. w e. R 0 <_ w ) -> E. x e. RR A. w e. R x <_ w )
25	20, 21, 24	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> E. x e. RR A. w e. R x <_ w )
26		infrecl 11005	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R C_ RR /\ R =/= (/) /\ E. x e. RR A. w e. R x <_ w ) -> inf ( R , RR , < ) e. RR )
27	18, 19, 25, 26	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> inf ( R , RR , < ) e. RR )
28	5, 27	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> S e. RR )
29	28	resqcld 13035	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( S ^ 2 ) e. RR )
30	4, 29	ltaddposd 10611	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 0 < ( 1 / n ) <-> ( S ^ 2 ) < ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) )
31	2, 30	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( S ^ 2 ) < ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) )
32	29, 4	readdcld 10069	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) e. RR )
33	28	sqge0d 13036	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> 0 <_ ( S ^ 2 ) )
34	29, 4, 33, 2	addgegt0d 10601	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> 0 < ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) )
35	32, 34	elrpd 11869	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) e. RR+ )
36	35	rpge0d 11876	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> 0 <_ ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) )
37		resqrtth 13996	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) e. RR /\ 0 <_ ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) -> ( ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) ^ 2 ) = ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) )
38	32, 36, 37	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) ^ 2 ) = ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) )
39	31, 38	breqtrrd 4681	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( S ^ 2 ) < ( ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) ^ 2 ) )
40	35	rpsqrtcld 14150	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) e. RR+ )
41	40	rpred 11872	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) e. RR )
42		0red 10041	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> 0 e. RR )
43		infregelb 11007	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R C_ RR /\ R =/= (/) /\ E. x e. RR A. w e. R x <_ w ) /\ 0 e. RR ) -> ( 0 <_ inf ( R , RR , < ) <-> A. w e. R 0 <_ w ) )
44	18, 19, 25, 42, 43	syl31anc 1329	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( 0 <_ inf ( R , RR , < ) <-> A. w e. R 0 <_ w ) )
45	21, 44	mpbird 247	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> 0 <_ inf ( R , RR , < ) )
46	45, 5	syl6breqr 4695	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> 0 <_ S )
47	32, 36	sqrtge0d 14159	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> 0 <_ ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) )
48	28, 41, 46, 47	lt2sqd 13043	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( S < ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) <-> ( S ^ 2 ) < ( ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) ^ 2 ) ) )
49	39, 48	mpbird 247	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> S < ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) )
50	28, 41	ltnled 10184	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( S < ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) <-> -. ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) <_ S ) )
51	49, 50	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> -. ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) <_ S )
52	5	breq2i 4661	. . . . . . . . 9 |- ( ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) <_ S <-> ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) <_ inf ( R , RR , < ) )
53		infregelb 11007	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R C_ RR /\ R =/= (/) /\ E. x e. RR A. w e. R x <_ w ) /\ ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) e. RR ) -> ( ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) <_ inf ( R , RR , < ) <-> A. w e. R ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) <_ w ) )
54	18, 19, 25, 41, 53	syl31anc 1329	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) <_ inf ( R , RR , < ) <-> A. w e. R ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) <_ w ) )
55	52, 54	syl5bb 272	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) <_ S <-> A. w e. R ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) <_ w ) )
56	15	raleqi 3142	. . . . . . . . 9 |- ( A. w e. R ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) <_ w <-> A. w e. ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A M y ) ) ) ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) <_ w )
57		fvex 6201	. . . . . . . . . . 11 |- ( N ` ( A M y ) ) e. _V
58	57	rgenw 2924	. . . . . . . . . 10 |- A. y e. Y ( N ` ( A M y ) ) e. _V
59		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. Y |-> ( N ` ( A M y ) ) ) = ( y e. Y |-> ( N ` ( A M y ) ) )
60		breq2 4657	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = ( N ` ( A M y ) ) -> ( ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) <_ w <-> ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) <_ ( N ` ( A M y ) ) ) )
61	59, 60	ralrnmpt 6368	. . . . . . . . . 10 |- ( A. y e. Y ( N ` ( A M y ) ) e. _V -> ( A. w e. ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A M y ) ) ) ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) <_ w <-> A. y e. Y ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) <_ ( N ` ( A M y ) ) ) )
62	58, 61	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( A. w e. ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A M y ) ) ) ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) <_ w <-> A. y e. Y ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) <_ ( N ` ( A M y ) ) )
63	56, 62	bitri 264	. . . . . . . 8 |- ( A. w e. R ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) <_ w <-> A. y e. Y ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) <_ ( N ` ( A M y ) ) )
64	55, 63	syl6bb 276	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) <_ S <-> A. y e. Y ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) <_ ( N ` ( A M y ) ) ) )
65	51, 64	mtbid 314	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> -. A. y e. Y ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) <_ ( N ` ( A M y ) ) )
66		rexnal 2995	. . . . . 6 |- ( E. y e. Y -. ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) <_ ( N ` ( A M y ) ) <-> -. A. y e. Y ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) <_ ( N ` ( A M y ) ) )
67	65, 66	sylibr 224	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> E. y e. Y -. ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) <_ ( N ` ( A M y ) ) )
68	32	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ y e. Y ) -> ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) e. RR )
69		phnv 27669	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( U e. CPreHil OLD -> U e. NrmCVec )
70	10, 69	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> U e. NrmCVec )
71	70	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ y e. Y ) -> U e. NrmCVec )
72	12	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ y e. Y ) -> A e. X )
73		inss1 3833	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( SubSp ` U ) i^i CBan ) C_ ( SubSp ` U )
74	73, 11	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> W e. ( SubSp ` U ) )
75		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( SubSp ` U ) = ( SubSp ` U )
76	6, 9, 75	sspba 27582	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. ( SubSp ` U ) ) -> Y C_ X )
77	70, 74, 76	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> Y C_ X )
78	77	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> Y C_ X )
79	78	sselda 3603	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ y e. Y ) -> y e. X )
80	6, 7	nvmcl 27501	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ y e. X ) -> ( A M y ) e. X )
81	71, 72, 79, 80	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ y e. Y ) -> ( A M y ) e. X )
82	6, 8	nvcl 27516	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( A M y ) e. X ) -> ( N ` ( A M y ) ) e. RR )
83	71, 81, 82	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ y e. Y ) -> ( N ` ( A M y ) ) e. RR )
84	83	resqcld 13035	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ y e. Y ) -> ( ( N ` ( A M y ) ) ^ 2 ) e. RR )
85	68, 84	letrid 10189	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ y e. Y ) -> ( ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) <_ ( ( N ` ( A M y ) ) ^ 2 ) \/ ( ( N ` ( A M y ) ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) )
86	85	ord 392	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ y e. Y ) -> ( -. ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) <_ ( ( N ` ( A M y ) ) ^ 2 ) -> ( ( N ` ( A M y ) ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) )
87	41	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ y e. Y ) -> ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) e. RR )
88	47	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ y e. Y ) -> 0 <_ ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) )
89	6, 8	nvge0 27528	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( A M y ) e. X ) -> 0 <_ ( N ` ( A M y ) ) )
90	71, 81, 89	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ y e. Y ) -> 0 <_ ( N ` ( A M y ) ) )
91	87, 83, 88, 90	le2sqd 13044	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ y e. Y ) -> ( ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) <_ ( N ` ( A M y ) ) <-> ( ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) ^ 2 ) <_ ( ( N ` ( A M y ) ) ^ 2 ) ) )
92	38	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ y e. Y ) -> ( ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) ^ 2 ) = ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) )
93	92	breq1d 4663	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ y e. Y ) -> ( ( ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) ^ 2 ) <_ ( ( N ` ( A M y ) ) ^ 2 ) <-> ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) <_ ( ( N ` ( A M y ) ) ^ 2 ) ) )
94	91, 93	bitrd 268	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ y e. Y ) -> ( ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) <_ ( N ` ( A M y ) ) <-> ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) <_ ( ( N ` ( A M y ) ) ^ 2 ) ) )
95	94	notbid 308	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ y e. Y ) -> ( -. ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) <_ ( N ` ( A M y ) ) <-> -. ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) <_ ( ( N ` ( A M y ) ) ^ 2 ) ) )
96	6, 7, 8, 13	imsdval 27541	. . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ y e. X ) -> ( A D y ) = ( N ` ( A M y ) ) )
97	71, 72, 79, 96	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ y e. Y ) -> ( A D y ) = ( N ` ( A M y ) ) )
98	97	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ y e. Y ) -> ( ( A D y ) ^ 2 ) = ( ( N ` ( A M y ) ) ^ 2 ) )
99	98	breq1d 4663	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ y e. Y ) -> ( ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) <-> ( ( N ` ( A M y ) ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) )
100	86, 95, 99	3imtr4d 283	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ y e. Y ) -> ( -. ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) <_ ( N ` ( A M y ) ) -> ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) )
101	100	reximdva 3017	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( E. y e. Y -. ( sqr ` ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) <_ ( N ` ( A M y ) ) -> E. y e. Y ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) )
102	67, 101	mpd 15	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> E. y e. Y ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) )
103	102	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( ph -> A. n e. NN E. y e. Y ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) )
104		fvex 6201	. . . . 5 |- ( BaseSet ` W ) e. _V
105	9, 104	eqeltri 2697	. . . 4 |- Y e. _V
106		nnenom 12779	. . . 4 |- NN ~~ om
107		oveq2 6658	. . . . . 6 |- ( y = ( f ` n ) -> ( A D y ) = ( A D ( f ` n ) ) )
108	107	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( y = ( f ` n ) -> ( ( A D y ) ^ 2 ) = ( ( A D ( f ` n ) ) ^ 2 ) )
109	108	breq1d 4663	. . . 4 |- ( y = ( f ` n ) -> ( ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) <-> ( ( A D ( f ` n ) ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) )
110	105, 106, 109	axcc4 9261	. . 3 |- ( A. n e. NN E. y e. Y ( ( A D y ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) -> E. f ( f : NN --> Y /\ A. n e. NN ( ( A D ( f ` n ) ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) )
111	103, 110	syl 17	. 2 |- ( ph -> E. f ( f : NN --> Y /\ A. n e. NN ( ( A D ( f ` n ) ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) )
112	10	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ ( f : NN --> Y /\ A. n e. NN ( ( A D ( f ` n ) ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) ) -> U e. CPreHil OLD )
113	11	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ ( f : NN --> Y /\ A. n e. NN ( ( A D ( f ` n ) ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) ) -> W e. ( ( SubSp ` U ) i^i CBan ) )
114	12	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ ( f : NN --> Y /\ A. n e. NN ( ( A D ( f ` n ) ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) ) -> A e. X )
115		simprl 794	. . 3 |- ( ( ph /\ ( f : NN --> Y /\ A. n e. NN ( ( A D ( f ` n ) ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) ) -> f : NN --> Y )
116		simprr 796	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f : NN --> Y /\ A. n e. NN ( ( A D ( f ` n ) ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) ) -> A. n e. NN ( ( A D ( f ` n ) ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) )
117		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( n = k -> ( f ` n ) = ( f ` k ) )
118	117	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( n = k -> ( A D ( f ` n ) ) = ( A D ( f ` k ) ) )
119	118	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( n = k -> ( ( A D ( f ` n ) ) ^ 2 ) = ( ( A D ( f ` k ) ) ^ 2 ) )
120		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( n = k -> ( 1 / n ) = ( 1 / k ) )
121	120	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( n = k -> ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) = ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / k ) ) )
122	119, 121	breq12d 4666	. . . . 5 |- ( n = k -> ( ( ( A D ( f ` n ) ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) <-> ( ( A D ( f ` k ) ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / k ) ) ) )
123	122	rspccva 3308	. . . 4 |- ( ( A. n e. NN ( ( A D ( f ` n ) ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) /\ k e. NN ) -> ( ( A D ( f ` k ) ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / k ) ) )
124	116, 123	sylan 488	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ( f : NN --> Y /\ A. n e. NN ( ( A D ( f ` n ) ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) ) /\ k e. NN ) -> ( ( A D ( f ` k ) ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / k ) ) )
125		eqid 2622	. . 3 |- ( 1 / ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` f ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) ) = ( 1 / ( ( ( ( ( A D ( ( ~~> t ` J ) ` f ) ) + S ) / 2 ) ^ 2 ) - ( S ^ 2 ) ) )
126	6, 7, 8, 9, 112, 113, 114, 13, 14, 15, 5, 115, 124, 125	minvecolem4 27736	. 2 |- ( ( ph /\ ( f : NN --> Y /\ A. n e. NN ( ( A D ( f ` n ) ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) ) ) -> E. x e. Y A. y e. Y ( N ` ( A M x ) ) <_ ( N ` ( A M y ) ) )
127	111, 126	exlimddv 1863	1 |- ( ph -> E. x e. Y A. y e. Y ( N ` ( A M x ) ) <_ ( N ` ( A M y ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650  infcinf 8347   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   ^cexp 12860   sqrcsqrt 13973   MetOpencmopn 19736   ~~> tclm 21030   NrmCVeccnv 27439   BaseSetcba 27441   -vcnsb 27444   norm_CVcnmcv 27445   IndMetcims 27446   SubSpcss 27576   CPreHil OLDccphlo 27667   CBanccbn 27718

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lm 21033  df-haus 21119  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-cfil 23053  df-cau 23054  df-cmet 23055  df-grpo 27347  df-gid 27348  df-ginv 27349  df-gdiv 27350  df-ablo 27399  df-vc 27414  df-nv 27447  df-va 27450  df-ba 27451  df-sm 27452  df-0v 27453  df-vs 27454  df-nmcv 27455  df-ims 27456  df-ssp 27577  df-ph 27668  df-cbn 27719

This theorem is referenced by:  minvecolem7  27739