Theorem vacn 27549

Description: Vector addition is jointly continuous in both arguments. (Contributed by Jeff Hankins, 16-Jun-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
vacn.c	|- C = ( IndMet ` U )
vacn.j	|- J = ( MetOpen ` C )
vacn.g	|- G = ( +v ` U )

Assertion

Ref	Expression
vacn	|- ( U e. NrmCVec -> G e. ( ( J tX J ) Cn J ) )

Proof of Theorem vacn

Dummy variables s r w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . 3 |- ( BaseSet ` U ) = ( BaseSet ` U )
2		vacn.g	. . 3 |- G = ( +v ` U )
3	1, 2	nvgf 27473	. 2 |- ( U e. NrmCVec -> G : ( ( BaseSet ` U ) X. ( BaseSet ` U ) ) --> ( BaseSet ` U ) )
4		rphalfcl 11858	. . . . . 6 |- ( r e. RR+ -> ( r / 2 ) e. RR+ )
5	4	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ( U e. NrmCVec /\ ( x e. ( BaseSet ` U ) /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) ) /\ r e. RR+ ) -> ( r / 2 ) e. RR+ )
6		simplll 798	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( U e. NrmCVec /\ ( x e. ( BaseSet ` U ) /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( z e. ( BaseSet ` U ) /\ w e. ( BaseSet ` U ) ) ) -> U e. NrmCVec )
7		vacn.c	. . . . . . . . . . 11 |- C = ( IndMet ` U )
8	1, 7	imsmet 27546	. . . . . . . . . 10 |- ( U e. NrmCVec -> C e. ( Met ` ( BaseSet ` U ) ) )
9	6, 8	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( U e. NrmCVec /\ ( x e. ( BaseSet ` U ) /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( z e. ( BaseSet ` U ) /\ w e. ( BaseSet ` U ) ) ) -> C e. ( Met ` ( BaseSet ` U ) ) )
10		simplrl 800	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( U e. NrmCVec /\ ( x e. ( BaseSet ` U ) /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) ) /\ r e. RR+ ) -> x e. ( BaseSet ` U ) )
11	10	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( U e. NrmCVec /\ ( x e. ( BaseSet ` U ) /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( z e. ( BaseSet ` U ) /\ w e. ( BaseSet ` U ) ) ) -> x e. ( BaseSet ` U ) )
12		simprl 794	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( U e. NrmCVec /\ ( x e. ( BaseSet ` U ) /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( z e. ( BaseSet ` U ) /\ w e. ( BaseSet ` U ) ) ) -> z e. ( BaseSet ` U ) )
13		metcl 22137	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. ( Met ` ( BaseSet ` U ) ) /\ x e. ( BaseSet ` U ) /\ z e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( x C z ) e. RR )
14	9, 11, 12, 13	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( U e. NrmCVec /\ ( x e. ( BaseSet ` U ) /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( z e. ( BaseSet ` U ) /\ w e. ( BaseSet ` U ) ) ) -> ( x C z ) e. RR )
15		simplrr 801	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( U e. NrmCVec /\ ( x e. ( BaseSet ` U ) /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) ) /\ r e. RR+ ) -> y e. ( BaseSet ` U ) )
16	15	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( U e. NrmCVec /\ ( x e. ( BaseSet ` U ) /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( z e. ( BaseSet ` U ) /\ w e. ( BaseSet ` U ) ) ) -> y e. ( BaseSet ` U ) )
17		simprr 796	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( U e. NrmCVec /\ ( x e. ( BaseSet ` U ) /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( z e. ( BaseSet ` U ) /\ w e. ( BaseSet ` U ) ) ) -> w e. ( BaseSet ` U ) )
18		metcl 22137	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. ( Met ` ( BaseSet ` U ) ) /\ y e. ( BaseSet ` U ) /\ w e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( y C w ) e. RR )
19	9, 16, 17, 18	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( U e. NrmCVec /\ ( x e. ( BaseSet ` U ) /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( z e. ( BaseSet ` U ) /\ w e. ( BaseSet ` U ) ) ) -> ( y C w ) e. RR )
20		rpre 11839	. . . . . . . . 9 |- ( r e. RR+ -> r e. RR )
21	20	ad2antlr 763	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( U e. NrmCVec /\ ( x e. ( BaseSet ` U ) /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( z e. ( BaseSet ` U ) /\ w e. ( BaseSet ` U ) ) ) -> r e. RR )
22		lt2halves 11267	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x C z ) e. RR /\ ( y C w ) e. RR /\ r e. RR ) -> ( ( ( x C z ) < ( r / 2 ) /\ ( y C w ) < ( r / 2 ) ) -> ( ( x C z ) + ( y C w ) ) < r ) )
23	14, 19, 21, 22	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( U e. NrmCVec /\ ( x e. ( BaseSet ` U ) /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( z e. ( BaseSet ` U ) /\ w e. ( BaseSet ` U ) ) ) -> ( ( ( x C z ) < ( r / 2 ) /\ ( y C w ) < ( r / 2 ) ) -> ( ( x C z ) + ( y C w ) ) < r ) )
24		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -v ` U ) = ( -v ` U )
25	1, 24	nvmcl 27501	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( U e. NrmCVec /\ x e. ( BaseSet ` U ) /\ z e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( x ( -v ` U ) z ) e. ( BaseSet ` U ) )
26	6, 11, 12, 25	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( U e. NrmCVec /\ ( x e. ( BaseSet ` U ) /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( z e. ( BaseSet ` U ) /\ w e. ( BaseSet ` U ) ) ) -> ( x ( -v ` U ) z ) e. ( BaseSet ` U ) )
27	1, 24	nvmcl 27501	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( U e. NrmCVec /\ y e. ( BaseSet ` U ) /\ w e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( y ( -v ` U ) w ) e. ( BaseSet ` U ) )
28	6, 16, 17, 27	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( U e. NrmCVec /\ ( x e. ( BaseSet ` U ) /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( z e. ( BaseSet ` U ) /\ w e. ( BaseSet ` U ) ) ) -> ( y ( -v ` U ) w ) e. ( BaseSet ` U ) )
29		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( normCV ` U ) = ( normCV ` U )
30	1, 2, 29	nvtri 27525	. . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( x ( -v ` U ) z ) e. ( BaseSet ` U ) /\ ( y ( -v ` U ) w ) e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( ( normCV ` U ) ` ( ( x ( -v ` U ) z ) G ( y ( -v ` U ) w ) ) ) <_ ( ( ( normCV ` U ) ` ( x ( -v ` U ) z ) ) + ( ( normCV ` U ) ` ( y ( -v ` U ) w ) ) ) )
31	6, 26, 28, 30	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( U e. NrmCVec /\ ( x e. ( BaseSet ` U ) /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( z e. ( BaseSet ` U ) /\ w e. ( BaseSet ` U ) ) ) -> ( ( normCV ` U ) ` ( ( x ( -v ` U ) z ) G ( y ( -v ` U ) w ) ) ) <_ ( ( ( normCV ` U ) ` ( x ( -v ` U ) z ) ) + ( ( normCV ` U ) ` ( y ( -v ` U ) w ) ) ) )
32	1, 2	nvgcl 27475	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U e. NrmCVec /\ x e. ( BaseSet ` U ) /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( x G y ) e. ( BaseSet ` U ) )
33	6, 11, 16, 32	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( U e. NrmCVec /\ ( x e. ( BaseSet ` U ) /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( z e. ( BaseSet ` U ) /\ w e. ( BaseSet ` U ) ) ) -> ( x G y ) e. ( BaseSet ` U ) )
34	1, 2	nvgcl 27475	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U e. NrmCVec /\ z e. ( BaseSet ` U ) /\ w e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( z G w ) e. ( BaseSet ` U ) )
35	6, 12, 17, 34	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( U e. NrmCVec /\ ( x e. ( BaseSet ` U ) /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( z e. ( BaseSet ` U ) /\ w e. ( BaseSet ` U ) ) ) -> ( z G w ) e. ( BaseSet ` U ) )
36	1, 24, 29, 7	imsdval 27541	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( x G y ) e. ( BaseSet ` U ) /\ ( z G w ) e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( ( x G y ) C ( z G w ) ) = ( ( normCV ` U ) ` ( ( x G y ) ( -v ` U ) ( z G w ) ) ) )
37	6, 33, 35, 36	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( U e. NrmCVec /\ ( x e. ( BaseSet ` U ) /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( z e. ( BaseSet ` U ) /\ w e. ( BaseSet ` U ) ) ) -> ( ( x G y ) C ( z G w ) ) = ( ( normCV ` U ) ` ( ( x G y ) ( -v ` U ) ( z G w ) ) ) )
38	1, 2, 24	nvaddsub4 27512	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( x e. ( BaseSet ` U ) /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) /\ ( z e. ( BaseSet ` U ) /\ w e. ( BaseSet ` U ) ) ) -> ( ( x G y ) ( -v ` U ) ( z G w ) ) = ( ( x ( -v ` U ) z ) G ( y ( -v ` U ) w ) ) )
39	6, 11, 16, 12, 17, 38	syl122anc 1335	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( U e. NrmCVec /\ ( x e. ( BaseSet ` U ) /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( z e. ( BaseSet ` U ) /\ w e. ( BaseSet ` U ) ) ) -> ( ( x G y ) ( -v ` U ) ( z G w ) ) = ( ( x ( -v ` U ) z ) G ( y ( -v ` U ) w ) ) )
40	39	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( U e. NrmCVec /\ ( x e. ( BaseSet ` U ) /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( z e. ( BaseSet ` U ) /\ w e. ( BaseSet ` U ) ) ) -> ( ( normCV ` U ) ` ( ( x G y ) ( -v ` U ) ( z G w ) ) ) = ( ( normCV ` U ) ` ( ( x ( -v ` U ) z ) G ( y ( -v ` U ) w ) ) ) )
41	37, 40	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( U e. NrmCVec /\ ( x e. ( BaseSet ` U ) /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( z e. ( BaseSet ` U ) /\ w e. ( BaseSet ` U ) ) ) -> ( ( x G y ) C ( z G w ) ) = ( ( normCV ` U ) ` ( ( x ( -v ` U ) z ) G ( y ( -v ` U ) w ) ) ) )
42	1, 24, 29, 7	imsdval 27541	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( U e. NrmCVec /\ x e. ( BaseSet ` U ) /\ z e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( x C z ) = ( ( normCV ` U ) ` ( x ( -v ` U ) z ) ) )
43	6, 11, 12, 42	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( U e. NrmCVec /\ ( x e. ( BaseSet ` U ) /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( z e. ( BaseSet ` U ) /\ w e. ( BaseSet ` U ) ) ) -> ( x C z ) = ( ( normCV ` U ) ` ( x ( -v ` U ) z ) ) )
44	1, 24, 29, 7	imsdval 27541	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( U e. NrmCVec /\ y e. ( BaseSet ` U ) /\ w e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( y C w ) = ( ( normCV ` U ) ` ( y ( -v ` U ) w ) ) )
45	6, 16, 17, 44	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( U e. NrmCVec /\ ( x e. ( BaseSet ` U ) /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( z e. ( BaseSet ` U ) /\ w e. ( BaseSet ` U ) ) ) -> ( y C w ) = ( ( normCV ` U ) ` ( y ( -v ` U ) w ) ) )
46	43, 45	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( U e. NrmCVec /\ ( x e. ( BaseSet ` U ) /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( z e. ( BaseSet ` U ) /\ w e. ( BaseSet ` U ) ) ) -> ( ( x C z ) + ( y C w ) ) = ( ( ( normCV ` U ) ` ( x ( -v ` U ) z ) ) + ( ( normCV ` U ) ` ( y ( -v ` U ) w ) ) ) )
47	31, 41, 46	3brtr4d 4685	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( U e. NrmCVec /\ ( x e. ( BaseSet ` U ) /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( z e. ( BaseSet ` U ) /\ w e. ( BaseSet ` U ) ) ) -> ( ( x G y ) C ( z G w ) ) <_ ( ( x C z ) + ( y C w ) ) )
48		metcl 22137	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. ( Met ` ( BaseSet ` U ) ) /\ ( x G y ) e. ( BaseSet ` U ) /\ ( z G w ) e. ( BaseSet ` U ) ) -> ( ( x G y ) C ( z G w ) ) e. RR )
49	9, 33, 35, 48	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( U e. NrmCVec /\ ( x e. ( BaseSet ` U ) /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( z e. ( BaseSet ` U ) /\ w e. ( BaseSet ` U ) ) ) -> ( ( x G y ) C ( z G w ) ) e. RR )
50	14, 19	readdcld 10069	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( U e. NrmCVec /\ ( x e. ( BaseSet ` U ) /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( z e. ( BaseSet ` U ) /\ w e. ( BaseSet ` U ) ) ) -> ( ( x C z ) + ( y C w ) ) e. RR )
51		lelttr 10128	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( x G y ) C ( z G w ) ) e. RR /\ ( ( x C z ) + ( y C w ) ) e. RR /\ r e. RR ) -> ( ( ( ( x G y ) C ( z G w ) ) <_ ( ( x C z ) + ( y C w ) ) /\ ( ( x C z ) + ( y C w ) ) < r ) -> ( ( x G y ) C ( z G w ) ) < r ) )
52	49, 50, 21, 51	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( U e. NrmCVec /\ ( x e. ( BaseSet ` U ) /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( z e. ( BaseSet ` U ) /\ w e. ( BaseSet ` U ) ) ) -> ( ( ( ( x G y ) C ( z G w ) ) <_ ( ( x C z ) + ( y C w ) ) /\ ( ( x C z ) + ( y C w ) ) < r ) -> ( ( x G y ) C ( z G w ) ) < r ) )
53	47, 52	mpand 711	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( U e. NrmCVec /\ ( x e. ( BaseSet ` U ) /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( z e. ( BaseSet ` U ) /\ w e. ( BaseSet ` U ) ) ) -> ( ( ( x C z ) + ( y C w ) ) < r -> ( ( x G y ) C ( z G w ) ) < r ) )
54	23, 53	syld 47	. . . . . 6 |- ( ( ( ( U e. NrmCVec /\ ( x e. ( BaseSet ` U ) /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) ) /\ r e. RR+ ) /\ ( z e. ( BaseSet ` U ) /\ w e. ( BaseSet ` U ) ) ) -> ( ( ( x C z ) < ( r / 2 ) /\ ( y C w ) < ( r / 2 ) ) -> ( ( x G y ) C ( z G w ) ) < r ) )
55	54	ralrimivva 2971	. . . . 5 |- ( ( ( U e. NrmCVec /\ ( x e. ( BaseSet ` U ) /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) ) /\ r e. RR+ ) -> A. z e. ( BaseSet ` U ) A. w e. ( BaseSet ` U ) ( ( ( x C z ) < ( r / 2 ) /\ ( y C w ) < ( r / 2 ) ) -> ( ( x G y ) C ( z G w ) ) < r ) )
56		breq2 4657	. . . . . . . . 9 |- ( s = ( r / 2 ) -> ( ( x C z ) < s <-> ( x C z ) < ( r / 2 ) ) )
57		breq2 4657	. . . . . . . . 9 |- ( s = ( r / 2 ) -> ( ( y C w ) < s <-> ( y C w ) < ( r / 2 ) ) )
58	56, 57	anbi12d 747	. . . . . . . 8 |- ( s = ( r / 2 ) -> ( ( ( x C z ) < s /\ ( y C w ) < s ) <-> ( ( x C z ) < ( r / 2 ) /\ ( y C w ) < ( r / 2 ) ) ) )
59	58	imbi1d 331	. . . . . . 7 |- ( s = ( r / 2 ) -> ( ( ( ( x C z ) < s /\ ( y C w ) < s ) -> ( ( x G y ) C ( z G w ) ) < r ) <-> ( ( ( x C z ) < ( r / 2 ) /\ ( y C w ) < ( r / 2 ) ) -> ( ( x G y ) C ( z G w ) ) < r ) ) )
60	59	2ralbidv 2989	. . . . . 6 |- ( s = ( r / 2 ) -> ( A. z e. ( BaseSet ` U ) A. w e. ( BaseSet ` U ) ( ( ( x C z ) < s /\ ( y C w ) < s ) -> ( ( x G y ) C ( z G w ) ) < r ) <-> A. z e. ( BaseSet ` U ) A. w e. ( BaseSet ` U ) ( ( ( x C z ) < ( r / 2 ) /\ ( y C w ) < ( r / 2 ) ) -> ( ( x G y ) C ( z G w ) ) < r ) ) )
61	60	rspcev 3309	. . . . 5 |- ( ( ( r / 2 ) e. RR+ /\ A. z e. ( BaseSet ` U ) A. w e. ( BaseSet ` U ) ( ( ( x C z ) < ( r / 2 ) /\ ( y C w ) < ( r / 2 ) ) -> ( ( x G y ) C ( z G w ) ) < r ) ) -> E. s e. RR+ A. z e. ( BaseSet ` U ) A. w e. ( BaseSet ` U ) ( ( ( x C z ) < s /\ ( y C w ) < s ) -> ( ( x G y ) C ( z G w ) ) < r ) )
62	5, 55, 61	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ( U e. NrmCVec /\ ( x e. ( BaseSet ` U ) /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) ) /\ r e. RR+ ) -> E. s e. RR+ A. z e. ( BaseSet ` U ) A. w e. ( BaseSet ` U ) ( ( ( x C z ) < s /\ ( y C w ) < s ) -> ( ( x G y ) C ( z G w ) ) < r ) )
63	62	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( x e. ( BaseSet ` U ) /\ y e. ( BaseSet ` U ) ) ) -> A. r e. RR+ E. s e. RR+ A. z e. ( BaseSet ` U ) A. w e. ( BaseSet ` U ) ( ( ( x C z ) < s /\ ( y C w ) < s ) -> ( ( x G y ) C ( z G w ) ) < r ) )
64	63	ralrimivva 2971	. 2 |- ( U e. NrmCVec -> A. x e. ( BaseSet ` U ) A. y e. ( BaseSet ` U ) A. r e. RR+ E. s e. RR+ A. z e. ( BaseSet ` U ) A. w e. ( BaseSet ` U ) ( ( ( x C z ) < s /\ ( y C w ) < s ) -> ( ( x G y ) C ( z G w ) ) < r ) )
65	1, 7	imsxmet 27547	. . 3 |- ( U e. NrmCVec -> C e. ( *Met ` ( BaseSet ` U ) ) )
66		vacn.j	. . . 4 |- J = ( MetOpen ` C )
67	66, 66, 66	txmetcn 22353	. . 3 |- ( ( C e. ( *Met ` ( BaseSet ` U ) ) /\ C e. ( *Met ` ( BaseSet ` U ) ) /\ C e. ( *Met ` ( BaseSet ` U ) ) ) -> ( G e. ( ( J tX J ) Cn J ) <-> ( G : ( ( BaseSet ` U ) X. ( BaseSet ` U ) ) --> ( BaseSet ` U ) /\ A. x e. ( BaseSet ` U ) A. y e. ( BaseSet ` U ) A. r e. RR+ E. s e. RR+ A. z e. ( BaseSet ` U ) A. w e. ( BaseSet ` U ) ( ( ( x C z ) < s /\ ( y C w ) < s ) -> ( ( x G y ) C ( z G w ) ) < r ) ) ) )
68	65, 65, 65, 67	syl3anc 1326	. 2 |- ( U e. NrmCVec -> ( G e. ( ( J tX J ) Cn J ) <-> ( G : ( ( BaseSet ` U ) X. ( BaseSet ` U ) ) --> ( BaseSet ` U ) /\ A. x e. ( BaseSet ` U ) A. y e. ( BaseSet ` U ) A. r e. RR+ E. s e. RR+ A. z e. ( BaseSet ` U ) A. w e. ( BaseSet ` U ) ( ( ( x C z ) < s /\ ( y C w ) < s ) -> ( ( x G y ) C ( z G w ) ) < r ) ) ) )
69	3, 64, 68	mpbir2and 957	1 |- ( U e. NrmCVec -> G e. ( ( J tX J ) Cn J ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   / cdiv 10684   2c2 11070   RR+crp 11832   *Metcxmt 19731   Metcme 19732   MetOpencmopn 19736   Cn ccn 21028   tX ctx 21363   NrmCVeccnv 27439   +vcpv 27440   BaseSetcba 27441   -vcnsb 27444   norm_CVcnmcv 27445   IndMetcims 27446

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-xms 22125  df-tms 22127  df-grpo 27347  df-gid 27348  df-ginv 27349  df-gdiv 27350  df-ablo 27399  df-vc 27414  df-nv 27447  df-va 27450  df-ba 27451  df-sm 27452  df-0v 27453  df-vs 27454  df-nmcv 27455  df-ims 27456

This theorem is referenced by:  vmcn  27554  dipcn  27575  hlimadd  28050