Theorem minvecolem2 27731

Description: Lemma for minveco 27740. Any two points K and L in Y are close to each other if they are close to the infimum of distance to A. (Contributed by Mario Carneiro, 9-May-2014.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
minveco.x	|- X = ( BaseSet ` U )
minveco.m	|- M = ( -v ` U )
minveco.n	|- N = ( normCV ` U )
minveco.y	|- Y = ( BaseSet ` W )
minveco.u	|- ( ph -> U e. CPreHil OLD )
minveco.w	|- ( ph -> W e. ( ( SubSp ` U ) i^i CBan ) )
minveco.a	|- ( ph -> A e. X )
minveco.d	|- D = ( IndMet ` U )
minveco.j	|- J = ( MetOpen ` D )
minveco.r	|- R = ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A M y ) ) )
minveco.s	|- S = inf ( R , RR , < )
minvecolem2.1	|- ( ph -> B e. RR )
minvecolem2.2	|- ( ph -> 0 <_ B )
minvecolem2.3	|- ( ph -> K e. Y )
minvecolem2.4	|- ( ph -> L e. Y )
minvecolem2.5	|- ( ph -> ( ( A D K ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + B ) )
minvecolem2.6	|- ( ph -> ( ( A D L ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + B ) )

Assertion

Ref	Expression
minvecolem2	|- ( ph -> ( ( K D L ) ^ 2 ) <_ ( 4 x. B ) )

Distinct variable groups:   y, J   y, K   y, L   y, M   y, N   ph, y   y, S   y, A   y, D   y, U   y, W   y, Y

Allowed substitution hints:   B( y)   R( y)   X( y)

Proof of Theorem minvecolem2

Dummy variables x w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4re 11097	. . . . . 6 |- 4 e. RR
2		minveco.s	. . . . . . . 8 |- S = inf ( R , RR , < )
3		minveco.x	. . . . . . . . . . 11 |- X = ( BaseSet ` U )
4		minveco.m	. . . . . . . . . . 11 |- M = ( -v ` U )
5		minveco.n	. . . . . . . . . . 11 |- N = ( normCV ` U )
6		minveco.y	. . . . . . . . . . 11 |- Y = ( BaseSet ` W )
7		minveco.u	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> U e. CPreHil OLD )
8		minveco.w	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> W e. ( ( SubSp ` U ) i^i CBan ) )
9		minveco.a	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. X )
10		minveco.d	. . . . . . . . . . 11 |- D = ( IndMet ` U )
11		minveco.j	. . . . . . . . . . 11 |- J = ( MetOpen ` D )
12		minveco.r	. . . . . . . . . . 11 |- R = ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A M y ) ) )
13	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	minvecolem1 27730	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( R C_ RR /\ R =/= (/) /\ A. w e. R 0 <_ w ) )
14	13	simp1d 1073	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> R C_ RR )
15	13	simp2d 1074	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> R =/= (/) )
16		0re 10040	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. RR
17	13	simp3d 1075	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. w e. R 0 <_ w )
18		breq1 4656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = 0 -> ( x <_ w <-> 0 <_ w ) )
19	18	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = 0 -> ( A. w e. R x <_ w <-> A. w e. R 0 <_ w ) )
20	19	rspcev 3309	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. RR /\ A. w e. R 0 <_ w ) -> E. x e. RR A. w e. R x <_ w )
21	16, 17, 20	sylancr 695	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> E. x e. RR A. w e. R x <_ w )
22		infrecl 11005	. . . . . . . . 9 |- ( ( R C_ RR /\ R =/= (/) /\ E. x e. RR A. w e. R x <_ w ) -> inf ( R , RR , < ) e. RR )
23	14, 15, 21, 22	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ph -> inf ( R , RR , < ) e. RR )
24	2, 23	syl5eqel 2705	. . . . . . 7 |- ( ph -> S e. RR )
25	24	resqcld 13035	. . . . . 6 |- ( ph -> ( S ^ 2 ) e. RR )
26		remulcl 10021	. . . . . 6 |- ( ( 4 e. RR /\ ( S ^ 2 ) e. RR ) -> ( 4 x. ( S ^ 2 ) ) e. RR )
27	1, 25, 26	sylancr 695	. . . . 5 |- ( ph -> ( 4 x. ( S ^ 2 ) ) e. RR )
28		phnv 27669	. . . . . . . . 9 |- ( U e. CPreHil OLD -> U e. NrmCVec )
29	7, 28	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> U e. NrmCVec )
30	3, 10	imsmet 27546	. . . . . . . 8 |- ( U e. NrmCVec -> D e. ( Met ` X ) )
31	29, 30	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> D e. ( Met ` X ) )
32		inss1 3833	. . . . . . . . . 10 |- ( ( SubSp ` U ) i^i CBan ) C_ ( SubSp ` U )
33	32, 8	sseldi 3601	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> W e. ( SubSp ` U ) )
34		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( SubSp ` U ) = ( SubSp ` U )
35	3, 6, 34	sspba 27582	. . . . . . . . 9 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. ( SubSp ` U ) ) -> Y C_ X )
36	29, 33, 35	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Y C_ X )
37		minvecolem2.3	. . . . . . . 8 |- ( ph -> K e. Y )
38	36, 37	sseldd 3604	. . . . . . 7 |- ( ph -> K e. X )
39		minvecolem2.4	. . . . . . . 8 |- ( ph -> L e. Y )
40	36, 39	sseldd 3604	. . . . . . 7 |- ( ph -> L e. X )
41		metcl 22137	. . . . . . 7 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ K e. X /\ L e. X ) -> ( K D L ) e. RR )
42	31, 38, 40, 41	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ph -> ( K D L ) e. RR )
43	42	resqcld 13035	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( K D L ) ^ 2 ) e. RR )
44	27, 43	readdcld 10069	. . . 4 |- ( ph -> ( ( 4 x. ( S ^ 2 ) ) + ( ( K D L ) ^ 2 ) ) e. RR )
45		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. CC
46		halfcl 11257	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 e. CC -> ( 1 / 2 ) e. CC )
47	45, 46	mp1i 13	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 1 / 2 ) e. CC )
48		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( +v ` U ) = ( +v ` U )
49		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( +v ` W ) = ( +v ` W )
50	6, 48, 49, 34	sspgval 27584	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( U e. NrmCVec /\ W e. ( SubSp ` U ) ) /\ ( K e. Y /\ L e. Y ) ) -> ( K ( +v ` W ) L ) = ( K ( +v ` U ) L ) )
51	29, 33, 37, 39, 50	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( K ( +v ` W ) L ) = ( K ( +v ` U ) L ) )
52	34	sspnv 27581	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. ( SubSp ` U ) ) -> W e. NrmCVec )
53	29, 33, 52	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> W e. NrmCVec )
54	6, 49	nvgcl 27475	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( W e. NrmCVec /\ K e. Y /\ L e. Y ) -> ( K ( +v ` W ) L ) e. Y )
55	53, 37, 39, 54	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( K ( +v ` W ) L ) e. Y )
56	51, 55	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( K ( +v ` U ) L ) e. Y )
57		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( .sOLD ` U ) = ( .sOLD ` U )
58		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( .sOLD ` W ) = ( .sOLD ` W )
59	6, 57, 58, 34	sspsval 27586	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( U e. NrmCVec /\ W e. ( SubSp ` U ) ) /\ ( ( 1 / 2 ) e. CC /\ ( K ( +v ` U ) L ) e. Y ) ) -> ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` W ) ( K ( +v ` U ) L ) ) = ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) )
60	29, 33, 47, 56, 59	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` W ) ( K ( +v ` U ) L ) ) = ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) )
61	6, 58	nvscl 27481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( W e. NrmCVec /\ ( 1 / 2 ) e. CC /\ ( K ( +v ` U ) L ) e. Y ) -> ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` W ) ( K ( +v ` U ) L ) ) e. Y )
62	53, 47, 56, 61	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` W ) ( K ( +v ` U ) L ) ) e. Y )
63	60, 62	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) e. Y )
64	36, 63	sseldd 3604	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) e. X )
65	3, 4	nvmcl 27501	. . . . . . . . 9 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) e. X ) -> ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) e. X )
66	29, 9, 64, 65	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) e. X )
67	3, 5	nvcl 27516	. . . . . . . 8 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) e. X ) -> ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) e. RR )
68	29, 66, 67	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) e. RR )
69	68	resqcld 13035	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) e. RR )
70		remulcl 10021	. . . . . 6 |- ( ( 4 e. RR /\ ( ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) e. RR ) -> ( 4 x. ( ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) ) e. RR )
71	1, 69, 70	sylancr 695	. . . . 5 |- ( ph -> ( 4 x. ( ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) ) e. RR )
72	71, 43	readdcld 10069	. . . 4 |- ( ph -> ( ( 4 x. ( ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) ) + ( ( K D L ) ^ 2 ) ) e. RR )
73		minvecolem2.1	. . . . . 6 |- ( ph -> B e. RR )
74	25, 73	readdcld 10069	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( S ^ 2 ) + B ) e. RR )
75		remulcl 10021	. . . . 5 |- ( ( 4 e. RR /\ ( ( S ^ 2 ) + B ) e. RR ) -> ( 4 x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) e. RR )
76	1, 74, 75	sylancr 695	. . . 4 |- ( ph -> ( 4 x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) e. RR )
77	16	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 e. RR )
78		infregelb 11007	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R C_ RR /\ R =/= (/) /\ E. x e. RR A. w e. R x <_ w ) /\ 0 e. RR ) -> ( 0 <_ inf ( R , RR , < ) <-> A. w e. R 0 <_ w ) )
79	14, 15, 21, 77, 78	syl31anc 1329	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 0 <_ inf ( R , RR , < ) <-> A. w e. R 0 <_ w ) )
80	17, 79	mpbird 247	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 <_ inf ( R , RR , < ) )
81	80, 2	syl6breqr 4695	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 <_ S )
82		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) = ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) )
83		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) -> ( A M y ) = ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) )
84	83	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) -> ( N ` ( A M y ) ) = ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) )
85	84	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) -> ( ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) = ( N ` ( A M y ) ) <-> ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) = ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) ) )
86	85	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) e. Y /\ ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) = ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) ) -> E. y e. Y ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) = ( N ` ( A M y ) ) )
87	63, 82, 86	sylancl 694	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> E. y e. Y ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) = ( N ` ( A M y ) ) )
88		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. Y |-> ( N ` ( A M y ) ) ) = ( y e. Y |-> ( N ` ( A M y ) ) )
89		fvex 6201	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N ` ( A M y ) ) e. _V
90	88, 89	elrnmpti 5376	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) e. ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A M y ) ) ) <-> E. y e. Y ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) = ( N ` ( A M y ) ) )
91	87, 90	sylibr 224	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) e. ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A M y ) ) ) )
92	91, 12	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) e. R )
93		infrelb 11008	. . . . . . . . 9 |- ( ( R C_ RR /\ E. x e. RR A. w e. R x <_ w /\ ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) e. R ) -> inf ( R , RR , < ) <_ ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) )
94	14, 21, 92, 93	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ph -> inf ( R , RR , < ) <_ ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) )
95	2, 94	syl5eqbr 4688	. . . . . . 7 |- ( ph -> S <_ ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) )
96		le2sq2 12939	. . . . . . 7 |- ( ( ( S e. RR /\ 0 <_ S ) /\ ( ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) e. RR /\ S <_ ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) ) ) -> ( S ^ 2 ) <_ ( ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) )
97	24, 81, 68, 95, 96	syl22anc 1327	. . . . . 6 |- ( ph -> ( S ^ 2 ) <_ ( ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) )
98		4pos 11116	. . . . . . . . 9 |- 0 < 4
99	1, 98	pm3.2i 471	. . . . . . . 8 |- ( 4 e. RR /\ 0 < 4 )
100		lemul2 10876	. . . . . . . 8 |- ( ( ( S ^ 2 ) e. RR /\ ( ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) e. RR /\ ( 4 e. RR /\ 0 < 4 ) ) -> ( ( S ^ 2 ) <_ ( ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) <-> ( 4 x. ( S ^ 2 ) ) <_ ( 4 x. ( ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
101	99, 100	mp3an3 1413	. . . . . . 7 |- ( ( ( S ^ 2 ) e. RR /\ ( ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) e. RR ) -> ( ( S ^ 2 ) <_ ( ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) <-> ( 4 x. ( S ^ 2 ) ) <_ ( 4 x. ( ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
102	25, 69, 101	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( S ^ 2 ) <_ ( ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) <-> ( 4 x. ( S ^ 2 ) ) <_ ( 4 x. ( ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
103	97, 102	mpbid 222	. . . . 5 |- ( ph -> ( 4 x. ( S ^ 2 ) ) <_ ( 4 x. ( ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) ) )
104	27, 71, 43, 103	leadd1dd 10641	. . . 4 |- ( ph -> ( ( 4 x. ( S ^ 2 ) ) + ( ( K D L ) ^ 2 ) ) <_ ( ( 4 x. ( ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) ) + ( ( K D L ) ^ 2 ) ) )
105		metcl 22137	. . . . . . . . . 10 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ A e. X /\ K e. X ) -> ( A D K ) e. RR )
106	31, 9, 38, 105	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A D K ) e. RR )
107	106	resqcld 13035	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( A D K ) ^ 2 ) e. RR )
108		metcl 22137	. . . . . . . . . 10 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ A e. X /\ L e. X ) -> ( A D L ) e. RR )
109	31, 9, 40, 108	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A D L ) e. RR )
110	109	resqcld 13035	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( A D L ) ^ 2 ) e. RR )
111		minvecolem2.5	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( A D K ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + B ) )
112		minvecolem2.6	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( A D L ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + B ) )
113	107, 110, 74, 74, 111, 112	le2addd 10646	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( A D K ) ^ 2 ) + ( ( A D L ) ^ 2 ) ) <_ ( ( ( S ^ 2 ) + B ) + ( ( S ^ 2 ) + B ) ) )
114	74	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( S ^ 2 ) + B ) e. CC )
115	114	2timesd 11275	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 2 x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) = ( ( ( S ^ 2 ) + B ) + ( ( S ^ 2 ) + B ) ) )
116	113, 115	breqtrrd 4681	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( A D K ) ^ 2 ) + ( ( A D L ) ^ 2 ) ) <_ ( 2 x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) )
117	107, 110	readdcld 10069	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( A D K ) ^ 2 ) + ( ( A D L ) ^ 2 ) ) e. RR )
118		2re 11090	. . . . . . . 8 |- 2 e. RR
119		remulcl 10021	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 e. RR /\ ( ( S ^ 2 ) + B ) e. RR ) -> ( 2 x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) e. RR )
120	118, 74, 119	sylancr 695	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 2 x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) e. RR )
121		2pos 11112	. . . . . . . . 9 |- 0 < 2
122	118, 121	pm3.2i 471	. . . . . . . 8 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
123		lemul2 10876	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A D K ) ^ 2 ) + ( ( A D L ) ^ 2 ) ) e. RR /\ ( 2 x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( ( ( A D K ) ^ 2 ) + ( ( A D L ) ^ 2 ) ) <_ ( 2 x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) <-> ( 2 x. ( ( ( A D K ) ^ 2 ) + ( ( A D L ) ^ 2 ) ) ) <_ ( 2 x. ( 2 x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) ) ) )
124	122, 123	mp3an3 1413	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( A D K ) ^ 2 ) + ( ( A D L ) ^ 2 ) ) e. RR /\ ( 2 x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) e. RR ) -> ( ( ( ( A D K ) ^ 2 ) + ( ( A D L ) ^ 2 ) ) <_ ( 2 x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) <-> ( 2 x. ( ( ( A D K ) ^ 2 ) + ( ( A D L ) ^ 2 ) ) ) <_ ( 2 x. ( 2 x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) ) ) )
125	117, 120, 124	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( ( A D K ) ^ 2 ) + ( ( A D L ) ^ 2 ) ) <_ ( 2 x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) <-> ( 2 x. ( ( ( A D K ) ^ 2 ) + ( ( A D L ) ^ 2 ) ) ) <_ ( 2 x. ( 2 x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) ) ) )
126	116, 125	mpbid 222	. . . . 5 |- ( ph -> ( 2 x. ( ( ( A D K ) ^ 2 ) + ( ( A D L ) ^ 2 ) ) ) <_ ( 2 x. ( 2 x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) ) )
127	3, 4	nvmcl 27501	. . . . . . . 8 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ K e. X ) -> ( A M K ) e. X )
128	29, 9, 38, 127	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A M K ) e. X )
129	3, 4	nvmcl 27501	. . . . . . . 8 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ L e. X ) -> ( A M L ) e. X )
130	29, 9, 40, 129	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A M L ) e. X )
131	3, 48, 4, 5	phpar2 27678	. . . . . . 7 |- ( ( U e. CPreHil OLD /\ ( A M K ) e. X /\ ( A M L ) e. X ) -> ( ( ( N ` ( ( A M K ) ( +v ` U ) ( A M L ) ) ) ^ 2 ) + ( ( N ` ( ( A M K ) M ( A M L ) ) ) ^ 2 ) ) = ( 2 x. ( ( ( N ` ( A M K ) ) ^ 2 ) + ( ( N ` ( A M L ) ) ^ 2 ) ) ) )
132	7, 128, 130, 131	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( N ` ( ( A M K ) ( +v ` U ) ( A M L ) ) ) ^ 2 ) + ( ( N ` ( ( A M K ) M ( A M L ) ) ) ^ 2 ) ) = ( 2 x. ( ( ( N ` ( A M K ) ) ^ 2 ) + ( ( N ` ( A M L ) ) ^ 2 ) ) ) )
133		2cn 11091	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. CC
134	68	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) e. CC )
135		sqmul 12926	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. CC /\ ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) e. CC ) -> ( ( 2 x. ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) ) ^ 2 ) = ( ( 2 ^ 2 ) x. ( ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) ) )
136	133, 134, 135	sylancr 695	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) ) ^ 2 ) = ( ( 2 ^ 2 ) x. ( ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) ) )
137		sq2 12960	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 ^ 2 ) = 4
138	137	oveq1i 6660	. . . . . . . . 9 |- ( ( 2 ^ 2 ) x. ( ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) ) = ( 4 x. ( ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) )
139	136, 138	syl6eq 2672	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) ) ^ 2 ) = ( 4 x. ( ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) ) )
140	133	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 2 e. CC )
141	3, 57, 5	nvs 27518	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( U e. NrmCVec /\ 2 e. CC /\ ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) e. X ) -> ( N ` ( 2 ( .sOLD ` U ) ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) ) = ( ( abs ` 2 ) x. ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) ) )
142	29, 140, 66, 141	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( N ` ( 2 ( .sOLD ` U ) ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) ) = ( ( abs ` 2 ) x. ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) ) )
143		0le2 11111	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 <_ 2
144		absid 14036	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 e. RR /\ 0 <_ 2 ) -> ( abs ` 2 ) = 2 )
145	118, 143, 144	mp2an 708	. . . . . . . . . . . 12 |- ( abs ` 2 ) = 2
146	145	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( abs ` 2 ) x. ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) ) = ( 2 x. ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) )
147	142, 146	syl6eq 2672	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( N ` ( 2 ( .sOLD ` U ) ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) ) = ( 2 x. ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) ) )
148	3, 4, 57	nvmdi 27503	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( 2 e. CC /\ A e. X /\ ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) e. X ) ) -> ( 2 ( .sOLD ` U ) ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) = ( ( 2 ( .sOLD ` U ) A ) M ( 2 ( .sOLD ` U ) ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) )
149	29, 140, 9, 64, 148	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 2 ( .sOLD ` U ) ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) = ( ( 2 ( .sOLD ` U ) A ) M ( 2 ( .sOLD ` U ) ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) )
150	3, 48, 57	nv2 27487	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X ) -> ( A ( +v ` U ) A ) = ( 2 ( .sOLD ` U ) A ) )
151	29, 9, 150	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( A ( +v ` U ) A ) = ( 2 ( .sOLD ` U ) A ) )
152		2ne0 11113	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 2 =/= 0
153	133, 152	recidi 10756	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) = 1
154	153	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) = ( 1 ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) )
155	3, 48	nvgcl 27475	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( U e. NrmCVec /\ K e. X /\ L e. X ) -> ( K ( +v ` U ) L ) e. X )
156	29, 38, 40, 155	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( K ( +v ` U ) L ) e. X )
157	3, 57	nvsid 27482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( K ( +v ` U ) L ) e. X ) -> ( 1 ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) = ( K ( +v ` U ) L ) )
158	29, 156, 157	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( 1 ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) = ( K ( +v ` U ) L ) )
159	154, 158	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) = ( K ( +v ` U ) L ) )
160	3, 57	nvsass 27483	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( 2 e. CC /\ ( 1 / 2 ) e. CC /\ ( K ( +v ` U ) L ) e. X ) ) -> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) = ( 2 ( .sOLD ` U ) ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) )
161	29, 140, 47, 156, 160	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( 1 / 2 ) ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) = ( 2 ( .sOLD ` U ) ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) )
162	159, 161	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( K ( +v ` U ) L ) = ( 2 ( .sOLD ` U ) ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) )
163	151, 162	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( A ( +v ` U ) A ) M ( K ( +v ` U ) L ) ) = ( ( 2 ( .sOLD ` U ) A ) M ( 2 ( .sOLD ` U ) ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) )
164	3, 48, 4	nvaddsub4 27512	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( A e. X /\ A e. X ) /\ ( K e. X /\ L e. X ) ) -> ( ( A ( +v ` U ) A ) M ( K ( +v ` U ) L ) ) = ( ( A M K ) ( +v ` U ) ( A M L ) ) )
165	29, 9, 9, 38, 40, 164	syl122anc 1335	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( A ( +v ` U ) A ) M ( K ( +v ` U ) L ) ) = ( ( A M K ) ( +v ` U ) ( A M L ) ) )
166	149, 163, 165	3eqtr2d 2662	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 2 ( .sOLD ` U ) ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) = ( ( A M K ) ( +v ` U ) ( A M L ) ) )
167	166	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( N ` ( 2 ( .sOLD ` U ) ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) ) = ( N ` ( ( A M K ) ( +v ` U ) ( A M L ) ) ) )
168	147, 167	eqtr3d 2658	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 2 x. ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) ) = ( N ` ( ( A M K ) ( +v ` U ) ( A M L ) ) ) )
169	168	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 2 x. ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) ) ^ 2 ) = ( ( N ` ( ( A M K ) ( +v ` U ) ( A M L ) ) ) ^ 2 ) )
170	139, 169	eqtr3d 2658	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 4 x. ( ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) ) = ( ( N ` ( ( A M K ) ( +v ` U ) ( A M L ) ) ) ^ 2 ) )
171	3, 4, 5, 10	imsdval 27541	. . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. NrmCVec /\ L e. X /\ K e. X ) -> ( L D K ) = ( N ` ( L M K ) ) )
172	29, 40, 38, 171	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( L D K ) = ( N ` ( L M K ) ) )
173		metsym 22155	. . . . . . . . . 10 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ K e. X /\ L e. X ) -> ( K D L ) = ( L D K ) )
174	31, 38, 40, 173	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( K D L ) = ( L D K ) )
175	3, 4	nvnnncan1 27502	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( A e. X /\ K e. X /\ L e. X ) ) -> ( ( A M K ) M ( A M L ) ) = ( L M K ) )
176	29, 9, 38, 40, 175	syl13anc 1328	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( A M K ) M ( A M L ) ) = ( L M K ) )
177	176	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( N ` ( ( A M K ) M ( A M L ) ) ) = ( N ` ( L M K ) ) )
178	172, 174, 177	3eqtr4d 2666	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( K D L ) = ( N ` ( ( A M K ) M ( A M L ) ) ) )
179	178	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( K D L ) ^ 2 ) = ( ( N ` ( ( A M K ) M ( A M L ) ) ) ^ 2 ) )
180	170, 179	oveq12d 6668	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 4 x. ( ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) ) + ( ( K D L ) ^ 2 ) ) = ( ( ( N ` ( ( A M K ) ( +v ` U ) ( A M L ) ) ) ^ 2 ) + ( ( N ` ( ( A M K ) M ( A M L ) ) ) ^ 2 ) ) )
181	3, 4, 5, 10	imsdval 27541	. . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ K e. X ) -> ( A D K ) = ( N ` ( A M K ) ) )
182	29, 9, 38, 181	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A D K ) = ( N ` ( A M K ) ) )
183	182	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( A D K ) ^ 2 ) = ( ( N ` ( A M K ) ) ^ 2 ) )
184	3, 4, 5, 10	imsdval 27541	. . . . . . . . . 10 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ L e. X ) -> ( A D L ) = ( N ` ( A M L ) ) )
185	29, 9, 40, 184	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A D L ) = ( N ` ( A M L ) ) )
186	185	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( A D L ) ^ 2 ) = ( ( N ` ( A M L ) ) ^ 2 ) )
187	183, 186	oveq12d 6668	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( A D K ) ^ 2 ) + ( ( A D L ) ^ 2 ) ) = ( ( ( N ` ( A M K ) ) ^ 2 ) + ( ( N ` ( A M L ) ) ^ 2 ) ) )
188	187	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 2 x. ( ( ( A D K ) ^ 2 ) + ( ( A D L ) ^ 2 ) ) ) = ( 2 x. ( ( ( N ` ( A M K ) ) ^ 2 ) + ( ( N ` ( A M L ) ) ^ 2 ) ) ) )
189	132, 180, 188	3eqtr4d 2666	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 4 x. ( ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) ) + ( ( K D L ) ^ 2 ) ) = ( 2 x. ( ( ( A D K ) ^ 2 ) + ( ( A D L ) ^ 2 ) ) ) )
190		2t2e4 11177	. . . . . . 7 |- ( 2 x. 2 ) = 4
191	190	oveq1i 6660	. . . . . 6 |- ( ( 2 x. 2 ) x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) = ( 4 x. ( ( S ^ 2 ) + B ) )
192	140, 140, 114	mulassd 10063	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 2 x. 2 ) x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) = ( 2 x. ( 2 x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) ) )
193	191, 192	syl5eqr 2670	. . . . 5 |- ( ph -> ( 4 x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) = ( 2 x. ( 2 x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) ) )
194	126, 189, 193	3brtr4d 4685	. . . 4 |- ( ph -> ( ( 4 x. ( ( N ` ( A M ( ( 1 / 2 ) ( .sOLD ` U ) ( K ( +v ` U ) L ) ) ) ) ^ 2 ) ) + ( ( K D L ) ^ 2 ) ) <_ ( 4 x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) )
195	44, 72, 76, 104, 194	letrd 10194	. . 3 |- ( ph -> ( ( 4 x. ( S ^ 2 ) ) + ( ( K D L ) ^ 2 ) ) <_ ( 4 x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) )
196		4cn 11098	. . . . 5 |- 4 e. CC
197	196	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> 4 e. CC )
198	25	recnd 10068	. . . 4 |- ( ph -> ( S ^ 2 ) e. CC )
199	73	recnd 10068	. . . 4 |- ( ph -> B e. CC )
200	197, 198, 199	adddid 10064	. . 3 |- ( ph -> ( 4 x. ( ( S ^ 2 ) + B ) ) = ( ( 4 x. ( S ^ 2 ) ) + ( 4 x. B ) ) )
201	195, 200	breqtrd 4679	. 2 |- ( ph -> ( ( 4 x. ( S ^ 2 ) ) + ( ( K D L ) ^ 2 ) ) <_ ( ( 4 x. ( S ^ 2 ) ) + ( 4 x. B ) ) )
202		remulcl 10021	. . . 4 |- ( ( 4 e. RR /\ B e. RR ) -> ( 4 x. B ) e. RR )
203	1, 73, 202	sylancr 695	. . 3 |- ( ph -> ( 4 x. B ) e. RR )
204	43, 203, 27	leadd2d 10622	. 2 |- ( ph -> ( ( ( K D L ) ^ 2 ) <_ ( 4 x. B ) <-> ( ( 4 x. ( S ^ 2 ) ) + ( ( K D L ) ^ 2 ) ) <_ ( ( 4 x. ( S ^ 2 ) ) + ( 4 x. B ) ) ) )
205	201, 204	mpbird 247	1 |- ( ph -> ( ( K D L ) ^ 2 ) <_ ( 4 x. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   ` cfv 5888  (class class class)co 6650  infcinf 8347   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   / cdiv 10684   2c2 11070   4c4 11072   ^cexp 12860   abscabs 13974   Metcme 19732   MetOpencmopn 19736   NrmCVeccnv 27439   +vcpv 27440   BaseSetcba 27441   .sOLDcns 27442   -vcnsb 27444   norm_CVcnmcv 27445   IndMetcims 27446   SubSpcss 27576   CPreHil OLDccphlo 27667   CBanccbn 27718

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-xadd 11947  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-xmet 19739  df-met 19740  df-grpo 27347  df-gid 27348  df-ginv 27349  df-gdiv 27350  df-ablo 27399  df-vc 27414  df-nv 27447  df-va 27450  df-ba 27451  df-sm 27452  df-0v 27453  df-vs 27454  df-nmcv 27455  df-ims 27456  df-ssp 27577  df-ph 27668  df-cbn 27719

This theorem is referenced by:  minvecolem3  27732  minvecolem7  27739