Theorem minvecolem6 27738

Description: Lemma for minveco 27740. Any minimal point is less than S away from A. (Contributed by Mario Carneiro, 9-May-2014.) (Revised by AV, 4-Oct-2020.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
minveco.x	|- X = ( BaseSet ` U )
minveco.m	|- M = ( -v ` U )
minveco.n	|- N = ( normCV ` U )
minveco.y	|- Y = ( BaseSet ` W )
minveco.u	|- ( ph -> U e. CPreHil OLD )
minveco.w	|- ( ph -> W e. ( ( SubSp ` U ) i^i CBan ) )
minveco.a	|- ( ph -> A e. X )
minveco.d	|- D = ( IndMet ` U )
minveco.j	|- J = ( MetOpen ` D )
minveco.r	|- R = ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A M y ) ) )
minveco.s	|- S = inf ( R , RR , < )

Assertion

Ref	Expression
minvecolem6	|- ( ( ph /\ x e. Y ) -> ( ( ( A D x ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + 0 ) <-> A. y e. Y ( N ` ( A M x ) ) <_ ( N ` ( A M y ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, J   x, M, y   x, N, y   ph, x, y   x, R   x, S, y   x, A, y   x, D, y   x, U, y   x, W, y   x, X   x, Y, y

Allowed substitution hints:   R( y)   X( y)

Proof of Theorem minvecolem6

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		minveco.u	. . . . . . . 8 |- ( ph -> U e. CPreHil OLD )
2		phnv 27669	. . . . . . . 8 |- ( U e. CPreHil OLD -> U e. NrmCVec )
3	1, 2	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> U e. NrmCVec )
4	3	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. Y ) -> U e. NrmCVec )
5		minveco.a	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. X )
6	5	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. Y ) -> A e. X )
7		inss1 3833	. . . . . . . . 9 |- ( ( SubSp ` U ) i^i CBan ) C_ ( SubSp ` U )
8		minveco.w	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> W e. ( ( SubSp ` U ) i^i CBan ) )
9	7, 8	sseldi 3601	. . . . . . . 8 |- ( ph -> W e. ( SubSp ` U ) )
10		minveco.x	. . . . . . . . 9 |- X = ( BaseSet ` U )
11		minveco.y	. . . . . . . . 9 |- Y = ( BaseSet ` W )
12		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( SubSp ` U ) = ( SubSp ` U )
13	10, 11, 12	sspba 27582	. . . . . . . 8 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. ( SubSp ` U ) ) -> Y C_ X )
14	3, 9, 13	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ph -> Y C_ X )
15	14	sselda 3603	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. Y ) -> x e. X )
16		minveco.m	. . . . . . 7 |- M = ( -v ` U )
17		minveco.n	. . . . . . 7 |- N = ( normCV ` U )
18		minveco.d	. . . . . . 7 |- D = ( IndMet ` U )
19	10, 16, 17, 18	imsdval 27541	. . . . . 6 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ x e. X ) -> ( A D x ) = ( N ` ( A M x ) ) )
20	4, 6, 15, 19	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. Y ) -> ( A D x ) = ( N ` ( A M x ) ) )
21	20	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. Y ) -> ( ( A D x ) ^ 2 ) = ( ( N ` ( A M x ) ) ^ 2 ) )
22		minveco.s	. . . . . . . 8 |- S = inf ( R , RR , < )
23		minveco.j	. . . . . . . . . . . 12 |- J = ( MetOpen ` D )
24		minveco.r	. . . . . . . . . . . 12 |- R = ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A M y ) ) )
25	10, 16, 17, 11, 1, 8, 5, 18, 23, 24	minvecolem1 27730	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( R C_ RR /\ R =/= (/) /\ A. w e. R 0 <_ w ) )
26	25	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. Y ) -> ( R C_ RR /\ R =/= (/) /\ A. w e. R 0 <_ w ) )
27	26	simp1d 1073	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. Y ) -> R C_ RR )
28	26	simp2d 1074	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. Y ) -> R =/= (/) )
29		0red 10041	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. Y ) -> 0 e. RR )
30	26	simp3d 1075	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. Y ) -> A. w e. R 0 <_ w )
31		breq1 4656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = 0 -> ( x <_ w <-> 0 <_ w ) )
32	31	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = 0 -> ( A. w e. R x <_ w <-> A. w e. R 0 <_ w ) )
33	32	rspcev 3309	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. RR /\ A. w e. R 0 <_ w ) -> E. x e. RR A. w e. R x <_ w )
34	29, 30, 33	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. Y ) -> E. x e. RR A. w e. R x <_ w )
35		infrecl 11005	. . . . . . . . 9 |- ( ( R C_ RR /\ R =/= (/) /\ E. x e. RR A. w e. R x <_ w ) -> inf ( R , RR , < ) e. RR )
36	27, 28, 34, 35	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. Y ) -> inf ( R , RR , < ) e. RR )
37	22, 36	syl5eqel 2705	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. Y ) -> S e. RR )
38	37	resqcld 13035	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. Y ) -> ( S ^ 2 ) e. RR )
39	38	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. Y ) -> ( S ^ 2 ) e. CC )
40	39	addid1d 10236	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. Y ) -> ( ( S ^ 2 ) + 0 ) = ( S ^ 2 ) )
41	21, 40	breq12d 4666	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. Y ) -> ( ( ( A D x ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + 0 ) <-> ( ( N ` ( A M x ) ) ^ 2 ) <_ ( S ^ 2 ) ) )
42	10, 16	nvmcl 27501	. . . . . 6 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ x e. X ) -> ( A M x ) e. X )
43	4, 6, 15, 42	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. Y ) -> ( A M x ) e. X )
44	10, 17	nvcl 27516	. . . . 5 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( A M x ) e. X ) -> ( N ` ( A M x ) ) e. RR )
45	4, 43, 44	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. Y ) -> ( N ` ( A M x ) ) e. RR )
46	10, 17	nvge0 27528	. . . . 5 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( A M x ) e. X ) -> 0 <_ ( N ` ( A M x ) ) )
47	4, 43, 46	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. Y ) -> 0 <_ ( N ` ( A M x ) ) )
48		infregelb 11007	. . . . . . 7 |- ( ( ( R C_ RR /\ R =/= (/) /\ E. x e. RR A. w e. R x <_ w ) /\ 0 e. RR ) -> ( 0 <_ inf ( R , RR , < ) <-> A. w e. R 0 <_ w ) )
49	27, 28, 34, 29, 48	syl31anc 1329	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. Y ) -> ( 0 <_ inf ( R , RR , < ) <-> A. w e. R 0 <_ w ) )
50	30, 49	mpbird 247	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. Y ) -> 0 <_ inf ( R , RR , < ) )
51	50, 22	syl6breqr 4695	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. Y ) -> 0 <_ S )
52	45, 37, 47, 51	le2sqd 13044	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. Y ) -> ( ( N ` ( A M x ) ) <_ S <-> ( ( N ` ( A M x ) ) ^ 2 ) <_ ( S ^ 2 ) ) )
53	22	breq2i 4661	. . . 4 |- ( ( N ` ( A M x ) ) <_ S <-> ( N ` ( A M x ) ) <_ inf ( R , RR , < ) )
54		infregelb 11007	. . . . 5 |- ( ( ( R C_ RR /\ R =/= (/) /\ E. x e. RR A. w e. R x <_ w ) /\ ( N ` ( A M x ) ) e. RR ) -> ( ( N ` ( A M x ) ) <_ inf ( R , RR , < ) <-> A. w e. R ( N ` ( A M x ) ) <_ w ) )
55	27, 28, 34, 45, 54	syl31anc 1329	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. Y ) -> ( ( N ` ( A M x ) ) <_ inf ( R , RR , < ) <-> A. w e. R ( N ` ( A M x ) ) <_ w ) )
56	53, 55	syl5bb 272	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. Y ) -> ( ( N ` ( A M x ) ) <_ S <-> A. w e. R ( N ` ( A M x ) ) <_ w ) )
57	41, 52, 56	3bitr2d 296	. 2 |- ( ( ph /\ x e. Y ) -> ( ( ( A D x ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + 0 ) <-> A. w e. R ( N ` ( A M x ) ) <_ w ) )
58	24	raleqi 3142	. . 3 |- ( A. w e. R ( N ` ( A M x ) ) <_ w <-> A. w e. ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A M y ) ) ) ( N ` ( A M x ) ) <_ w )
59		fvex 6201	. . . . 5 |- ( N ` ( A M y ) ) e. _V
60	59	rgenw 2924	. . . 4 |- A. y e. Y ( N ` ( A M y ) ) e. _V
61		eqid 2622	. . . . 5 |- ( y e. Y |-> ( N ` ( A M y ) ) ) = ( y e. Y |-> ( N ` ( A M y ) ) )
62		breq2 4657	. . . . 5 |- ( w = ( N ` ( A M y ) ) -> ( ( N ` ( A M x ) ) <_ w <-> ( N ` ( A M x ) ) <_ ( N ` ( A M y ) ) ) )
63	61, 62	ralrnmpt 6368	. . . 4 |- ( A. y e. Y ( N ` ( A M y ) ) e. _V -> ( A. w e. ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A M y ) ) ) ( N ` ( A M x ) ) <_ w <-> A. y e. Y ( N ` ( A M x ) ) <_ ( N ` ( A M y ) ) ) )
64	60, 63	ax-mp 5	. . 3 |- ( A. w e. ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A M y ) ) ) ( N ` ( A M x ) ) <_ w <-> A. y e. Y ( N ` ( A M x ) ) <_ ( N ` ( A M y ) ) )
65	58, 64	bitri 264	. 2 |- ( A. w e. R ( N ` ( A M x ) ) <_ w <-> A. y e. Y ( N ` ( A M x ) ) <_ ( N ` ( A M y ) ) )
66	57, 65	syl6bb 276	1 |- ( ( ph /\ x e. Y ) -> ( ( ( A D x ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + 0 ) <-> A. y e. Y ( N ` ( A M x ) ) <_ ( N ` ( A M y ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   ` cfv 5888  (class class class)co 6650  infcinf 8347   RRcr 9935   0cc0 9936   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   2c2 11070   ^cexp 12860   MetOpencmopn 19736   NrmCVeccnv 27439   BaseSetcba 27441   -vcnsb 27444   norm_CVcnmcv 27445   IndMetcims 27446   SubSpcss 27576   CPreHil OLDccphlo 27667   CBanccbn 27718

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-grpo 27347  df-gid 27348  df-ginv 27349  df-gdiv 27350  df-ablo 27399  df-vc 27414  df-nv 27447  df-va 27450  df-ba 27451  df-sm 27452  df-0v 27453  df-vs 27454  df-nmcv 27455  df-ims 27456  df-ssp 27577  df-ph 27668  df-cbn 27719

This theorem is referenced by:  minvecolem7  27739