Theorem infrenegsup 11006

Description: The infimum of a set of reals A is the negative of the supremum of the negatives of its elements. The antecedent ensures that A is nonempty and has a lower bound. (Contributed by NM, 14-Jun-2005.) (Revised by AV, 4-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
infrenegsup	|- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A x <_ y ) -> inf ( A , RR , < ) = -u sup ( { z e. RR | -u z e. A } , RR , < ) )

Distinct variable group:   x, A, y, z

Proof of Theorem infrenegsup

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infrecl 11005	. . . 4 |- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A x <_ y ) -> inf ( A , RR , < ) e. RR )
2	1	recnd 10068	. . 3 |- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A x <_ y ) -> inf ( A , RR , < ) e. CC )
3	2	negnegd 10383	. 2 |- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A x <_ y ) -> -u -uinf ( A , RR , < ) = inf ( A , RR , < ) )
4		negeq 10273	. . . . . . . . 9 |- ( w = z -> -u w = -u z )
5	4	cbvmptv 4750	. . . . . . . 8 |- ( w e. RR |-> -u w ) = ( z e. RR |-> -u z )
6	5	mptpreima 5628	. . . . . . 7 |- ( `' ( w e. RR |-> -u w ) " A ) = { z e. RR | -u z e. A }
7		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. RR |-> -u w ) = ( w e. RR |-> -u w )
8	7	negiso 11003	. . . . . . . . 9 |- ( ( w e. RR |-> -u w ) Isom < , `' < ( RR , RR ) /\ `' ( w e. RR |-> -u w ) = ( w e. RR |-> -u w ) )
9	8	simpri 478	. . . . . . . 8 |- `' ( w e. RR |-> -u w ) = ( w e. RR |-> -u w )
10	9	imaeq1i 5463	. . . . . . 7 |- ( `' ( w e. RR |-> -u w ) " A ) = ( ( w e. RR |-> -u w ) " A )
11	6, 10	eqtr3i 2646	. . . . . 6 |- { z e. RR | -u z e. A } = ( ( w e. RR |-> -u w ) " A )
12	11	supeq1i 8353	. . . . 5 |- sup ( { z e. RR | -u z e. A } , RR , < ) = sup ( ( ( w e. RR |-> -u w ) " A ) , RR , < )
13	8	simpli 474	. . . . . . . . 9 |- ( w e. RR |-> -u w ) Isom < , `' < ( RR , RR )
14		isocnv 6580	. . . . . . . . 9 |- ( ( w e. RR |-> -u w ) Isom < , `' < ( RR , RR ) -> `' ( w e. RR |-> -u w ) Isom `' < , < ( RR , RR ) )
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- `' ( w e. RR |-> -u w ) Isom `' < , < ( RR , RR )
16		isoeq1 6567	. . . . . . . . 9 |- ( `' ( w e. RR |-> -u w ) = ( w e. RR |-> -u w ) -> ( `' ( w e. RR |-> -u w ) Isom `' < , < ( RR , RR ) <-> ( w e. RR |-> -u w ) Isom `' < , < ( RR , RR ) ) )
17	9, 16	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( `' ( w e. RR |-> -u w ) Isom `' < , < ( RR , RR ) <-> ( w e. RR |-> -u w ) Isom `' < , < ( RR , RR ) )
18	15, 17	mpbi 220	. . . . . . 7 |- ( w e. RR |-> -u w ) Isom `' < , < ( RR , RR )
19	18	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A x <_ y ) -> ( w e. RR |-> -u w ) Isom `' < , < ( RR , RR ) )
20		simp1 1061	. . . . . 6 |- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A x <_ y ) -> A C_ RR )
21		infm3 10982	. . . . . . 7 |- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A x <_ y ) -> E. x e. RR ( A. y e. A -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) )
22		vex 3203	. . . . . . . . . . . 12 |- x e. _V
23		vex 3203	. . . . . . . . . . . 12 |- y e. _V
24	22, 23	brcnv 5305	. . . . . . . . . . 11 |- ( x `' < y <-> y < x )
25	24	notbii 310	. . . . . . . . . 10 |- ( -. x `' < y <-> -. y < x )
26	25	ralbii 2980	. . . . . . . . 9 |- ( A. y e. A -. x `' < y <-> A. y e. A -. y < x )
27	23, 22	brcnv 5305	. . . . . . . . . . 11 |- ( y `' < x <-> x < y )
28		vex 3203	. . . . . . . . . . . . 13 |- z e. _V
29	23, 28	brcnv 5305	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y `' < z <-> z < y )
30	29	rexbii 3041	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. z e. A y `' < z <-> E. z e. A z < y )
31	27, 30	imbi12i 340	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y `' < x -> E. z e. A y `' < z ) <-> ( x < y -> E. z e. A z < y ) )
32	31	ralbii 2980	. . . . . . . . 9 |- ( A. y e. RR ( y `' < x -> E. z e. A y `' < z ) <-> A. y e. RR ( x < y -> E. z e. A z < y ) )
33	26, 32	anbi12i 733	. . . . . . . 8 |- ( ( A. y e. A -. x `' < y /\ A. y e. RR ( y `' < x -> E. z e. A y `' < z ) ) <-> ( A. y e. A -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) )
34	33	rexbii 3041	. . . . . . 7 |- ( E. x e. RR ( A. y e. A -. x `' < y /\ A. y e. RR ( y `' < x -> E. z e. A y `' < z ) ) <-> E. x e. RR ( A. y e. A -. y < x /\ A. y e. RR ( x < y -> E. z e. A z < y ) ) )
35	21, 34	sylibr 224	. . . . . 6 |- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A x <_ y ) -> E. x e. RR ( A. y e. A -. x `' < y /\ A. y e. RR ( y `' < x -> E. z e. A y `' < z ) ) )
36		gtso 10119	. . . . . . 7 |- `' < Or RR
37	36	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A x <_ y ) -> `' < Or RR )
38	19, 20, 35, 37	supiso 8381	. . . . 5 |- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A x <_ y ) -> sup ( ( ( w e. RR |-> -u w ) " A ) , RR , < ) = ( ( w e. RR |-> -u w ) ` sup ( A , RR , `' < ) ) )
39	12, 38	syl5eq 2668	. . . 4 |- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A x <_ y ) -> sup ( { z e. RR | -u z e. A } , RR , < ) = ( ( w e. RR |-> -u w ) ` sup ( A , RR , `' < ) ) )
40		df-inf 8349	. . . . . . . 8 |- inf ( A , RR , < ) = sup ( A , RR , `' < )
41	40	eqcomi 2631	. . . . . . 7 |- sup ( A , RR , `' < ) = inf ( A , RR , < )
42	41	fveq2i 6194	. . . . . 6 |- ( ( w e. RR |-> -u w ) ` sup ( A , RR , `' < ) ) = ( ( w e. RR |-> -u w ) ` inf ( A , RR , < ) )
43		negeq 10273	. . . . . . 7 |- ( w = inf ( A , RR , < ) -> -u w = -uinf ( A , RR , < ) )
44		negex 10279	. . . . . . 7 |- -uinf ( A , RR , < ) e. _V
45	43, 7, 44	fvmpt 6282	. . . . . 6 |- (inf ( A , RR , < ) e. RR -> ( ( w e. RR |-> -u w ) ` inf ( A , RR , < ) ) = -uinf ( A , RR , < ) )
46	42, 45	syl5eq 2668	. . . . 5 |- (inf ( A , RR , < ) e. RR -> ( ( w e. RR |-> -u w ) ` sup ( A , RR , `' < ) ) = -uinf ( A , RR , < ) )
47	1, 46	syl 17	. . . 4 |- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A x <_ y ) -> ( ( w e. RR |-> -u w ) ` sup ( A , RR , `' < ) ) = -uinf ( A , RR , < ) )
48	39, 47	eqtr2d 2657	. . 3 |- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A x <_ y ) -> -uinf ( A , RR , < ) = sup ( { z e. RR | -u z e. A } , RR , < ) )
49	48	negeqd 10275	. 2 |- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A x <_ y ) -> -u -uinf ( A , RR , < ) = -u sup ( { z e. RR | -u z e. A } , RR , < ) )
50	3, 49	eqtr3d 2658	1 |- ( ( A C_ RR /\ A =/= (/) /\ E. x e. RR A. y e. A x <_ y ) -> inf ( A , RR , < ) = -u sup ( { z e. RR | -u z e. A } , RR , < ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   Or wor 5034   `'ccnv 5113   "cima 5117   ` cfv 5888   Isom wiso 5889   supcsup 8346  infcinf 8347   RRcr 9935   < clt 10074   <_ cle 10075   -ucneg 10267

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269

This theorem is referenced by:  supminf  11775  mbfinf  23432  infnsuprnmpt  39465  supminfxr  39694