Theorem mbfinf 23432

Description: The infimum of a sequence of measurable, real-valued functions is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.) (Revised by AV, 13-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfinf.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
mbfinf.2	|- G = ( x e. A |-> inf ( ran ( n e. Z |-> B ) , RR , < ) )
mbfinf.3	|- ( ph -> M e. ZZ )
mbfinf.4	|- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( x e. A |-> B ) e. MblFn )
mbfinf.5	|- ( ( ph /\ ( n e. Z /\ x e. A ) ) -> B e. RR )
mbfinf.6	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> E. y e. RR A. n e. Z y <_ B )

Assertion

Ref	Expression
mbfinf	|- ( ph -> G e. MblFn )

Distinct variable groups:   x, n, y, A   ph, n, x, y   n, Z, x, y   y, B

Allowed substitution hints:   B( x, n)   G( x, y, n)   M( x, y, n)

Proof of Theorem mbfinf

Dummy variables m r z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mbfinf.2	. . 3 |- G = ( x e. A |-> inf ( ran ( n e. Z |-> B ) , RR , < ) )
2		mbfinf.5	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( n e. Z /\ x e. A ) ) -> B e. RR )
3	2	anass1rs 849	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ n e. Z ) -> B e. RR )
4		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( n e. Z |-> B ) = ( n e. Z |-> B )
5	3, 4	fmptd 6385	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( n e. Z |-> B ) : Z --> RR )
6		frn 6053	. . . . . . 7 |- ( ( n e. Z |-> B ) : Z --> RR -> ran ( n e. Z |-> B ) C_ RR )
7	5, 6	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ran ( n e. Z |-> B ) C_ RR )
8		mbfinf.3	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> M e. ZZ )
9		uzid 11702	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
10	8, 9	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
11		mbfinf.1	. . . . . . . . . . 11 |- Z = ( ZZ>= ` M )
12	10, 11	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M e. Z )
13	12	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> M e. Z )
14	4, 3	dmmptd 6024	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> dom ( n e. Z |-> B ) = Z )
15	13, 14	eleqtrrd 2704	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> M e. dom ( n e. Z |-> B ) )
16		ne0i 3921	. . . . . . . 8 |- ( M e. dom ( n e. Z |-> B ) -> dom ( n e. Z |-> B ) =/= (/) )
17	15, 16	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> dom ( n e. Z |-> B ) =/= (/) )
18		dm0rn0 5342	. . . . . . . 8 |- ( dom ( n e. Z |-> B ) = (/) <-> ran ( n e. Z |-> B ) = (/) )
19	18	necon3bii 2846	. . . . . . 7 |- ( dom ( n e. Z |-> B ) =/= (/) <-> ran ( n e. Z |-> B ) =/= (/) )
20	17, 19	sylib 208	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ran ( n e. Z |-> B ) =/= (/) )
21		mbfinf.6	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> E. y e. RR A. n e. Z y <_ B )
22		ffn 6045	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. Z |-> B ) : Z --> RR -> ( n e. Z |-> B ) Fn Z )
23	5, 22	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( n e. Z |-> B ) Fn Z )
24		breq2 4657	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( ( n e. Z |-> B ) ` m ) -> ( y <_ z <-> y <_ ( ( n e. Z |-> B ) ` m ) ) )
25	24	ralrn 6362	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. Z |-> B ) Fn Z -> ( A. z e. ran ( n e. Z |-> B ) y <_ z <-> A. m e. Z y <_ ( ( n e. Z |-> B ) ` m ) ) )
26	23, 25	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( A. z e. ran ( n e. Z |-> B ) y <_ z <-> A. m e. Z y <_ ( ( n e. Z |-> B ) ` m ) ) )
27		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ n y
28		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ n <_
29		nffvmpt1 6199	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ n ( ( n e. Z |-> B ) ` m )
30	27, 28, 29	nfbr 4699	. . . . . . . . . . 11 |- F/ n y <_ ( ( n e. Z |-> B ) ` m )
31		nfv 1843	. . . . . . . . . . 11 |- F/ m y <_ ( ( n e. Z |-> B ) ` n )
32		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m = n -> ( ( n e. Z |-> B ) ` m ) = ( ( n e. Z |-> B ) ` n ) )
33	32	breq2d 4665	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = n -> ( y <_ ( ( n e. Z |-> B ) ` m ) <-> y <_ ( ( n e. Z |-> B ) ` n ) ) )
34	30, 31, 33	cbvral 3167	. . . . . . . . . 10 |- ( A. m e. Z y <_ ( ( n e. Z |-> B ) ` m ) <-> A. n e. Z y <_ ( ( n e. Z |-> B ) ` n ) )
35		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ n e. Z ) -> n e. Z )
36	4	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. Z /\ B e. RR ) -> ( ( n e. Z |-> B ) ` n ) = B )
37	35, 3, 36	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ n e. Z ) -> ( ( n e. Z |-> B ) ` n ) = B )
38	37	breq2d 4665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ n e. Z ) -> ( y <_ ( ( n e. Z |-> B ) ` n ) <-> y <_ B ) )
39	38	ralbidva 2985	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( A. n e. Z y <_ ( ( n e. Z |-> B ) ` n ) <-> A. n e. Z y <_ B ) )
40	34, 39	syl5bb 272	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( A. m e. Z y <_ ( ( n e. Z |-> B ) ` m ) <-> A. n e. Z y <_ B ) )
41	26, 40	bitrd 268	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( A. z e. ran ( n e. Z |-> B ) y <_ z <-> A. n e. Z y <_ B ) )
42	41	rexbidv 3052	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( E. y e. RR A. z e. ran ( n e. Z |-> B ) y <_ z <-> E. y e. RR A. n e. Z y <_ B ) )
43	21, 42	mpbird 247	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> E. y e. RR A. z e. ran ( n e. Z |-> B ) y <_ z )
44		infrenegsup 11006	. . . . . 6 |- ( ( ran ( n e. Z |-> B ) C_ RR /\ ran ( n e. Z |-> B ) =/= (/) /\ E. y e. RR A. z e. ran ( n e. Z |-> B ) y <_ z ) -> inf ( ran ( n e. Z |-> B ) , RR , < ) = -u sup ( { r e. RR | -u r e. ran ( n e. Z |-> B ) } , RR , < ) )
45	7, 20, 43, 44	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> inf ( ran ( n e. Z |-> B ) , RR , < ) = -u sup ( { r e. RR | -u r e. ran ( n e. Z |-> B ) } , RR , < ) )
46		rabid 3116	. . . . . . . . . 10 |- ( r e. { r e. RR | -u r e. ran ( n e. Z |-> B ) } <-> ( r e. RR /\ -u r e. ran ( n e. Z |-> B ) ) )
47	3	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ n e. Z ) -> B e. CC )
48	47	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ r e. RR ) /\ n e. Z ) -> B e. CC )
49		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ r e. RR ) /\ n e. Z ) -> r e. RR )
50	49	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ r e. RR ) /\ n e. Z ) -> r e. CC )
51		negcon2 10334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( B e. CC /\ r e. CC ) -> ( B = -u r <-> r = -u B ) )
52	48, 50, 51	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ r e. RR ) /\ n e. Z ) -> ( B = -u r <-> r = -u B ) )
53		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( r = -u B <-> -u B = r )
54	52, 53	syl6bb 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ r e. RR ) /\ n e. Z ) -> ( B = -u r <-> -u B = r ) )
55	37	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ r e. RR ) /\ n e. Z ) -> ( ( n e. Z |-> B ) ` n ) = B )
56	55	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ r e. RR ) /\ n e. Z ) -> ( ( ( n e. Z |-> B ) ` n ) = -u r <-> B = -u r ) )
57		negex 10279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- -u B e. _V
58		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( n e. Z |-> -u B ) = ( n e. Z |-> -u B )
59	58	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( n e. Z /\ -u B e. _V ) -> ( ( n e. Z |-> -u B ) ` n ) = -u B )
60	57, 59	mpan2 707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( n e. Z -> ( ( n e. Z |-> -u B ) ` n ) = -u B )
61	60	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ r e. RR ) /\ n e. Z ) -> ( ( n e. Z |-> -u B ) ` n ) = -u B )
62	61	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ r e. RR ) /\ n e. Z ) -> ( ( ( n e. Z |-> -u B ) ` n ) = r <-> -u B = r ) )
63	54, 56, 62	3bitr4d 300	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ r e. RR ) /\ n e. Z ) -> ( ( ( n e. Z |-> B ) ` n ) = -u r <-> ( ( n e. Z |-> -u B ) ` n ) = r ) )
64	63	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ r e. RR ) -> A. n e. Z ( ( ( n e. Z |-> B ) ` n ) = -u r <-> ( ( n e. Z |-> -u B ) ` n ) = r ) )
65	29	nfeq1 2778	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ n ( ( n e. Z |-> B ) ` m ) = -u r
66		nffvmpt1 6199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/_ n ( ( n e. Z |-> -u B ) ` m )
67	66	nfeq1 2778	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ n ( ( n e. Z |-> -u B ) ` m ) = r
68	65, 67	nfbi 1833	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ n ( ( ( n e. Z |-> B ) ` m ) = -u r <-> ( ( n e. Z |-> -u B ) ` m ) = r )
69		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ m ( ( ( n e. Z |-> B ) ` n ) = -u r <-> ( ( n e. Z |-> -u B ) ` n ) = r )
70	32	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( m = n -> ( ( ( n e. Z |-> B ) ` m ) = -u r <-> ( ( n e. Z |-> B ) ` n ) = -u r ) )
71		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( m = n -> ( ( n e. Z |-> -u B ) ` m ) = ( ( n e. Z |-> -u B ) ` n ) )
72	71	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( m = n -> ( ( ( n e. Z |-> -u B ) ` m ) = r <-> ( ( n e. Z |-> -u B ) ` n ) = r ) )
73	70, 72	bibi12d 335	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( m = n -> ( ( ( ( n e. Z |-> B ) ` m ) = -u r <-> ( ( n e. Z |-> -u B ) ` m ) = r ) <-> ( ( ( n e. Z |-> B ) ` n ) = -u r <-> ( ( n e. Z |-> -u B ) ` n ) = r ) ) )
74	68, 69, 73	cbvral 3167	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. m e. Z ( ( ( n e. Z |-> B ) ` m ) = -u r <-> ( ( n e. Z |-> -u B ) ` m ) = r ) <-> A. n e. Z ( ( ( n e. Z |-> B ) ` n ) = -u r <-> ( ( n e. Z |-> -u B ) ` n ) = r ) )
75	64, 74	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ r e. RR ) -> A. m e. Z ( ( ( n e. Z |-> B ) ` m ) = -u r <-> ( ( n e. Z |-> -u B ) ` m ) = r ) )
76	75	r19.21bi 2932	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ r e. RR ) /\ m e. Z ) -> ( ( ( n e. Z |-> B ) ` m ) = -u r <-> ( ( n e. Z |-> -u B ) ` m ) = r ) )
77	76	rexbidva 3049	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ r e. RR ) -> ( E. m e. Z ( ( n e. Z |-> B ) ` m ) = -u r <-> E. m e. Z ( ( n e. Z |-> -u B ) ` m ) = r ) )
78	23	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ r e. RR ) -> ( n e. Z |-> B ) Fn Z )
79		fvelrnb 6243	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. Z |-> B ) Fn Z -> ( -u r e. ran ( n e. Z |-> B ) <-> E. m e. Z ( ( n e. Z |-> B ) ` m ) = -u r ) )
80	78, 79	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ r e. RR ) -> ( -u r e. ran ( n e. Z |-> B ) <-> E. m e. Z ( ( n e. Z |-> B ) ` m ) = -u r ) )
81	3	renegcld 10457	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ n e. Z ) -> -u B e. RR )
82	81, 58	fmptd 6385	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( n e. Z |-> -u B ) : Z --> RR )
83	82	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ r e. RR ) -> ( n e. Z |-> -u B ) : Z --> RR )
84		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n e. Z |-> -u B ) : Z --> RR -> ( n e. Z |-> -u B ) Fn Z )
85	83, 84	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ r e. RR ) -> ( n e. Z |-> -u B ) Fn Z )
86		fvelrnb 6243	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. Z |-> -u B ) Fn Z -> ( r e. ran ( n e. Z |-> -u B ) <-> E. m e. Z ( ( n e. Z |-> -u B ) ` m ) = r ) )
87	85, 86	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ r e. RR ) -> ( r e. ran ( n e. Z |-> -u B ) <-> E. m e. Z ( ( n e. Z |-> -u B ) ` m ) = r ) )
88	77, 80, 87	3bitr4d 300	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ r e. RR ) -> ( -u r e. ran ( n e. Z |-> B ) <-> r e. ran ( n e. Z |-> -u B ) ) )
89	88	pm5.32da 673	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( r e. RR /\ -u r e. ran ( n e. Z |-> B ) ) <-> ( r e. RR /\ r e. ran ( n e. Z |-> -u B ) ) ) )
90		frn 6053	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. Z |-> -u B ) : Z --> RR -> ran ( n e. Z |-> -u B ) C_ RR )
91	82, 90	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ran ( n e. Z |-> -u B ) C_ RR )
92	91	sseld 3602	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( r e. ran ( n e. Z |-> -u B ) -> r e. RR ) )
93	92	pm4.71rd 667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( r e. ran ( n e. Z |-> -u B ) <-> ( r e. RR /\ r e. ran ( n e. Z |-> -u B ) ) ) )
94	89, 93	bitr4d 271	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( r e. RR /\ -u r e. ran ( n e. Z |-> B ) ) <-> r e. ran ( n e. Z |-> -u B ) ) )
95	46, 94	syl5bb 272	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( r e. { r e. RR | -u r e. ran ( n e. Z |-> B ) } <-> r e. ran ( n e. Z |-> -u B ) ) )
96	95	alrimiv 1855	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> A. r ( r e. { r e. RR | -u r e. ran ( n e. Z |-> B ) } <-> r e. ran ( n e. Z |-> -u B ) ) )
97		nfrab1 3122	. . . . . . . . 9 |- F/_ r { r e. RR | -u r e. ran ( n e. Z |-> B ) }
98		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ r ran ( n e. Z |-> -u B )
99	97, 98	cleqf 2790	. . . . . . . 8 |- ( { r e. RR | -u r e. ran ( n e. Z |-> B ) } = ran ( n e. Z |-> -u B ) <-> A. r ( r e. { r e. RR | -u r e. ran ( n e. Z |-> B ) } <-> r e. ran ( n e. Z |-> -u B ) ) )
100	96, 99	sylibr 224	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> { r e. RR | -u r e. ran ( n e. Z |-> B ) } = ran ( n e. Z |-> -u B ) )
101	100	supeq1d 8352	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> sup ( { r e. RR | -u r e. ran ( n e. Z |-> B ) } , RR , < ) = sup ( ran ( n e. Z |-> -u B ) , RR , < ) )
102	101	negeqd 10275	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> -u sup ( { r e. RR | -u r e. ran ( n e. Z |-> B ) } , RR , < ) = -u sup ( ran ( n e. Z |-> -u B ) , RR , < ) )
103	45, 102	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> inf ( ran ( n e. Z |-> B ) , RR , < ) = -u sup ( ran ( n e. Z |-> -u B ) , RR , < ) )
104	103	mpteq2dva 4744	. . 3 |- ( ph -> ( x e. A |-> inf ( ran ( n e. Z |-> B ) , RR , < ) ) = ( x e. A |-> -u sup ( ran ( n e. Z |-> -u B ) , RR , < ) ) )
105	1, 104	syl5eq 2668	. 2 |- ( ph -> G = ( x e. A |-> -u sup ( ran ( n e. Z |-> -u B ) , RR , < ) ) )
106		ltso 10118	. . . . 5 |- < Or RR
107	106	supex 8369	. . . 4 |- sup ( ran ( n e. Z |-> -u B ) , RR , < ) e. _V
108	107	a1i 11	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> sup ( ran ( n e. Z |-> -u B ) , RR , < ) e. _V )
109		eqid 2622	. . . 4 |- ( x e. A |-> sup ( ran ( n e. Z |-> -u B ) , RR , < ) ) = ( x e. A |-> sup ( ran ( n e. Z |-> -u B ) , RR , < ) )
110	2	anassrs 680	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ n e. Z ) /\ x e. A ) -> B e. RR )
111		mbfinf.4	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( x e. A |-> B ) e. MblFn )
112	110, 111	mbfneg 23417	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. Z ) -> ( x e. A |-> -u B ) e. MblFn )
113	2	renegcld 10457	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( n e. Z /\ x e. A ) ) -> -u B e. RR )
114		renegcl 10344	. . . . . . 7 |- ( y e. RR -> -u y e. RR )
115	114	ad2antrl 764	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( y e. RR /\ A. n e. Z y <_ B ) ) -> -u y e. RR )
116		simplr 792	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ y e. RR ) /\ n e. Z ) -> y e. RR )
117	3	adantlr 751	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ y e. RR ) /\ n e. Z ) -> B e. RR )
118	116, 117	lenegd 10606	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ y e. RR ) /\ n e. Z ) -> ( y <_ B <-> -u B <_ -u y ) )
119	118	ralbidva 2985	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ y e. RR ) -> ( A. n e. Z y <_ B <-> A. n e. Z -u B <_ -u y ) )
120	119	biimpd 219	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ y e. RR ) -> ( A. n e. Z y <_ B -> A. n e. Z -u B <_ -u y ) )
121	120	impr 649	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( y e. RR /\ A. n e. Z y <_ B ) ) -> A. n e. Z -u B <_ -u y )
122		breq2 4657	. . . . . . . 8 |- ( z = -u y -> ( -u B <_ z <-> -u B <_ -u y ) )
123	122	ralbidv 2986	. . . . . . 7 |- ( z = -u y -> ( A. n e. Z -u B <_ z <-> A. n e. Z -u B <_ -u y ) )
124	123	rspcev 3309	. . . . . 6 |- ( ( -u y e. RR /\ A. n e. Z -u B <_ -u y ) -> E. z e. RR A. n e. Z -u B <_ z )
125	115, 121, 124	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ ( y e. RR /\ A. n e. Z y <_ B ) ) -> E. z e. RR A. n e. Z -u B <_ z )
126	21, 125	rexlimddv 3035	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> E. z e. RR A. n e. Z -u B <_ z )
127	11, 109, 8, 112, 113, 126	mbfsup 23431	. . 3 |- ( ph -> ( x e. A |-> sup ( ran ( n e. Z |-> -u B ) , RR , < ) ) e. MblFn )
128	108, 127	mbfneg 23417	. 2 |- ( ph -> ( x e. A |-> -u sup ( ran ( n e. Z |-> -u B ) , RR , < ) ) e. MblFn )
129	105, 128	eqeltrd 2701	1 |- ( ph -> G e. MblFn )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ran crn 5115   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888   supcsup 8346  infcinf 8347   CCcc 9934   RRcr 9935   < clt 10074   <_ cle 10075   -ucneg 10267   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687  MblFncmbf 23383

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xadd 11947  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-xmet 19739  df-met 19740  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388

This theorem is referenced by:  mbflimsup  23433