Theorem negnegd 10383

Description: A number is equal to the negative of its negative. Theorem I.4 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
negidd.1	|- ( ph -> A e. CC )

Assertion

Ref	Expression
negnegd	|- ( ph -> -u -u A = A )

Proof of Theorem negnegd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		negneg 10331	. 2 |- ( A e. CC -> -u -u A = A )
3	1, 2	syl 17	1 |- ( ph -> -u -u A = A )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   CCcc 9934   -ucneg 10267

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-ltxr 10079  df-sub 10268  df-neg 10269

This theorem is referenced by:  negn0  10459  ltnegcon1  10529  ltnegcon2  10530  lenegcon1  10532  lenegcon2  10533  negfi  10971  fiminre  10972  infm3lem  10981  infrenegsup  11006  zeo  11463  zindd  11478  znnn0nn  11489  supminf  11775  zsupss  11777  max0sub  12027  xnegneg  12045  ceilid  12650  expneg  12868  expaddzlem  12903  expaddz  12904  cjcj  13880  cnpart  13980  risefallfac  14755  sincossq  14906  bitsf1  15168  pcid  15577  4sqlem10  15651  mulgnegnn  17551  mulgsubcl  17555  mulgneg  17560  mulgz  17568  mulgass  17579  ghmmulg  17672  cyggeninv  18285  tgpmulg  21897  xrhmeo  22745  cphsqrtcl3  22987  iblneg  23569  itgneg  23570  ditgswap  23623  lhop2  23778  vieta1lem2  24066  ptolemy  24248  tanabsge  24258  tanord  24284  tanregt0  24285  lognegb  24336  logtayl  24406  logtayl2  24408  cxpmul2z  24437  isosctrlem2  24549  dcubic  24573  dquart  24580  atans2  24658  amgmlem  24716  lgamucov  24764  basellem5  24811  basellem9  24815  lgsdir2lem4  25053  dchrisum0flblem1  25197  ostth3  25327  ipasslem3  27688  ftc1anclem6  33490  rexzrexnn0  37368  acongsym  37543  acongneg2  37544  acongtr  37545  binomcxplemnotnn0  38555  infnsuprnmpt  39465  ltmulneg  39615  rexabslelem  39645  supminfrnmpt  39672  leneg2d  39676  leneg3d  39687  supminfxr  39694  climliminflimsupd  40033  itgsin0pilem1  40165  itgsinexplem1  40169  itgsincmulx  40190  stoweidlem13  40230  fourierdlem39  40363  fourierdlem43  40367  fourierdlem44  40368  etransclem46  40497  hoicvr  40762  smfinflem  41023  sigariz  41052  sigaradd  41055  amgmwlem  42548