Theorem injresinj 12589

Description: A function whose restriction is injective and the values of the remaining arguments are different from all other values is injective itself. (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Oct-2017.)

Assertion

Ref	Expression
injresinj	|- ( K e. NN0 -> ( ( F : ( 0 ... K ) --> V /\ Fun `' ( F |` ( 1..^ K ) ) /\ ( F ` 0 ) =/= ( F ` K ) ) -> ( ( ( F " { 0 , K } ) i^i ( F " ( 1..^ K ) ) ) = (/) -> Fun `' F ) ) )

Proof of Theorem injresinj

Dummy variables v w x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzo0ss1 12498	. . . . . . . . 9 |- ( 1..^ K ) C_ ( 0..^ K )
2		fzossfz 12488	. . . . . . . . 9 |- ( 0..^ K ) C_ ( 0 ... K )
3	1, 2	sstri 3612	. . . . . . . 8 |- ( 1..^ K ) C_ ( 0 ... K )
4		fssres 6070	. . . . . . . 8 |- ( ( F : ( 0 ... K ) --> V /\ ( 1..^ K ) C_ ( 0 ... K ) ) -> ( F |` ( 1..^ K ) ) : ( 1..^ K ) --> V )
5	3, 4	mpan2 707	. . . . . . 7 |- ( F : ( 0 ... K ) --> V -> ( F |` ( 1..^ K ) ) : ( 1..^ K ) --> V )
6	5	biantrud 528	. . . . . 6 |- ( F : ( 0 ... K ) --> V -> ( Fun `' ( F |` ( 1..^ K ) ) <-> ( Fun `' ( F |` ( 1..^ K ) ) /\ ( F |` ( 1..^ K ) ) : ( 1..^ K ) --> V ) ) )
7		ancom 466	. . . . . . 7 |- ( ( Fun `' ( F |` ( 1..^ K ) ) /\ ( F |` ( 1..^ K ) ) : ( 1..^ K ) --> V ) <-> ( ( F |` ( 1..^ K ) ) : ( 1..^ K ) --> V /\ Fun `' ( F |` ( 1..^ K ) ) ) )
8		df-f1 5893	. . . . . . 7 |- ( ( F |` ( 1..^ K ) ) : ( 1..^ K ) -1-1-> V <-> ( ( F |` ( 1..^ K ) ) : ( 1..^ K ) --> V /\ Fun `' ( F |` ( 1..^ K ) ) ) )
9	7, 8	bitr4i 267	. . . . . 6 |- ( ( Fun `' ( F |` ( 1..^ K ) ) /\ ( F |` ( 1..^ K ) ) : ( 1..^ K ) --> V ) <-> ( F |` ( 1..^ K ) ) : ( 1..^ K ) -1-1-> V )
10	6, 9	syl6bb 276	. . . . 5 |- ( F : ( 0 ... K ) --> V -> ( Fun `' ( F |` ( 1..^ K ) ) <-> ( F |` ( 1..^ K ) ) : ( 1..^ K ) -1-1-> V ) )
11		simp-4r 807	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( F |` ( 1..^ K ) ) : ( 1..^ K ) -1-1-> V /\ F : ( 0 ... K ) --> V ) /\ ( F ` 0 ) =/= ( F ` K ) ) /\ K e. NN0 ) /\ ( ( F " { 0 , K } ) i^i ( F " ( 1..^ K ) ) ) = (/) ) -> F : ( 0 ... K ) --> V )
12		dff13 6512	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F |` ( 1..^ K ) ) : ( 1..^ K ) -1-1-> V <-> ( ( F |` ( 1..^ K ) ) : ( 1..^ K ) --> V /\ A. v e. ( 1..^ K ) A. w e. ( 1..^ K ) ( ( ( F |` ( 1..^ K ) ) ` v ) = ( ( F |` ( 1..^ K ) ) ` w ) -> v = w ) ) )
13		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( v = x -> ( ( F |` ( 1..^ K ) ) ` v ) = ( ( F |` ( 1..^ K ) ) ` x ) )
14	13	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( v = x -> ( ( ( F |` ( 1..^ K ) ) ` v ) = ( ( F |` ( 1..^ K ) ) ` w ) <-> ( ( F |` ( 1..^ K ) ) ` x ) = ( ( F |` ( 1..^ K ) ) ` w ) ) )
15		equequ1 1952	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( v = x -> ( v = w <-> x = w ) )
16	14, 15	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( v = x -> ( ( ( ( F |` ( 1..^ K ) ) ` v ) = ( ( F |` ( 1..^ K ) ) ` w ) -> v = w ) <-> ( ( ( F |` ( 1..^ K ) ) ` x ) = ( ( F |` ( 1..^ K ) ) ` w ) -> x = w ) ) )
17		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( w = y -> ( ( F |` ( 1..^ K ) ) ` w ) = ( ( F |` ( 1..^ K ) ) ` y ) )
18	17	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( w = y -> ( ( ( F |` ( 1..^ K ) ) ` x ) = ( ( F |` ( 1..^ K ) ) ` w ) <-> ( ( F |` ( 1..^ K ) ) ` x ) = ( ( F |` ( 1..^ K ) ) ` y ) ) )
19		equequ2 1953	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( w = y -> ( x = w <-> x = y ) )
20	18, 19	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( w = y -> ( ( ( ( F |` ( 1..^ K ) ) ` x ) = ( ( F |` ( 1..^ K ) ) ` w ) -> x = w ) <-> ( ( ( F |` ( 1..^ K ) ) ` x ) = ( ( F |` ( 1..^ K ) ) ` y ) -> x = y ) ) )
21	16, 20	rspc2va 3323	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( x e. ( 1..^ K ) /\ y e. ( 1..^ K ) ) /\ A. v e. ( 1..^ K ) A. w e. ( 1..^ K ) ( ( ( F |` ( 1..^ K ) ) ` v ) = ( ( F |` ( 1..^ K ) ) ` w ) -> v = w ) ) -> ( ( ( F |` ( 1..^ K ) ) ` x ) = ( ( F |` ( 1..^ K ) ) ` y ) -> x = y ) )
22		fvres 6207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( x e. ( 1..^ K ) -> ( ( F |` ( 1..^ K ) ) ` x ) = ( F ` x ) )
23	22	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( x e. ( 1..^ K ) -> ( F ` x ) = ( ( F |` ( 1..^ K ) ) ` x ) )
24		fvres 6207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( y e. ( 1..^ K ) -> ( ( F |` ( 1..^ K ) ) ` y ) = ( F ` y ) )
25	24	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( y e. ( 1..^ K ) -> ( F ` y ) = ( ( F |` ( 1..^ K ) ) ` y ) )
26	23, 25	eqeqan12d 2638	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( x e. ( 1..^ K ) /\ y e. ( 1..^ K ) ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) <-> ( ( F |` ( 1..^ K ) ) ` x ) = ( ( F |` ( 1..^ K ) ) ` y ) ) )
27	26	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( x e. ( 1..^ K ) /\ y e. ( 1..^ K ) ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> ( ( F |` ( 1..^ K ) ) ` x ) = ( ( F |` ( 1..^ K ) ) ` y ) ) )
28	27	imim1d 82	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( x e. ( 1..^ K ) /\ y e. ( 1..^ K ) ) -> ( ( ( ( F |` ( 1..^ K ) ) ` x ) = ( ( F |` ( 1..^ K ) ) ` y ) -> x = y ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) )
29	28	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( x e. ( 1..^ K ) /\ y e. ( 1..^ K ) ) /\ ( ( ( F |` ( 1..^ K ) ) ` x ) = ( ( F |` ( 1..^ K ) ) ` y ) -> x = y ) ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) )
30	29	2a1d 26	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( x e. ( 1..^ K ) /\ y e. ( 1..^ K ) ) /\ ( ( ( F |` ( 1..^ K ) ) ` x ) = ( ( F |` ( 1..^ K ) ) ` y ) -> x = y ) ) -> ( ( ( F " { 0 , K } ) i^i ( F " ( 1..^ K ) ) ) = (/) -> ( ( x e. ( 0 ... K ) /\ y e. ( 0 ... K ) ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) ) )
31	30	2a1d 26	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( x e. ( 1..^ K ) /\ y e. ( 1..^ K ) ) /\ ( ( ( F |` ( 1..^ K ) ) ` x ) = ( ( F |` ( 1..^ K ) ) ` y ) -> x = y ) ) -> ( ( F ` 0 ) =/= ( F ` K ) -> ( ( F : ( 0 ... K ) --> V /\ K e. NN0 ) -> ( ( ( F " { 0 , K } ) i^i ( F " ( 1..^ K ) ) ) = (/) -> ( ( x e. ( 0 ... K ) /\ y e. ( 0 ... K ) ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) ) ) ) )
32	31	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( F |` ( 1..^ K ) ) ` x ) = ( ( F |` ( 1..^ K ) ) ` y ) -> x = y ) -> ( ( x e. ( 1..^ K ) /\ y e. ( 1..^ K ) ) -> ( ( F ` 0 ) =/= ( F ` K ) -> ( ( F : ( 0 ... K ) --> V /\ K e. NN0 ) -> ( ( ( F " { 0 , K } ) i^i ( F " ( 1..^ K ) ) ) = (/) -> ( ( x e. ( 0 ... K ) /\ y e. ( 0 ... K ) ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) ) ) ) ) )
33	21, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( x e. ( 1..^ K ) /\ y e. ( 1..^ K ) ) /\ A. v e. ( 1..^ K ) A. w e. ( 1..^ K ) ( ( ( F |` ( 1..^ K ) ) ` v ) = ( ( F |` ( 1..^ K ) ) ` w ) -> v = w ) ) -> ( ( x e. ( 1..^ K ) /\ y e. ( 1..^ K ) ) -> ( ( F ` 0 ) =/= ( F ` K ) -> ( ( F : ( 0 ... K ) --> V /\ K e. NN0 ) -> ( ( ( F " { 0 , K } ) i^i ( F " ( 1..^ K ) ) ) = (/) -> ( ( x e. ( 0 ... K ) /\ y e. ( 0 ... K ) ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) ) ) ) ) )
34	33	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. ( 1..^ K ) /\ y e. ( 1..^ K ) ) -> ( A. v e. ( 1..^ K ) A. w e. ( 1..^ K ) ( ( ( F |` ( 1..^ K ) ) ` v ) = ( ( F |` ( 1..^ K ) ) ` w ) -> v = w ) -> ( ( x e. ( 1..^ K ) /\ y e. ( 1..^ K ) ) -> ( ( F ` 0 ) =/= ( F ` K ) -> ( ( F : ( 0 ... K ) --> V /\ K e. NN0 ) -> ( ( ( F " { 0 , K } ) i^i ( F " ( 1..^ K ) ) ) = (/) -> ( ( x e. ( 0 ... K ) /\ y e. ( 0 ... K ) ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) ) ) ) ) ) )
35	34	pm2.43a 54	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. ( 1..^ K ) /\ y e. ( 1..^ K ) ) -> ( A. v e. ( 1..^ K ) A. w e. ( 1..^ K ) ( ( ( F |` ( 1..^ K ) ) ` v ) = ( ( F |` ( 1..^ K ) ) ` w ) -> v = w ) -> ( ( F ` 0 ) =/= ( F ` K ) -> ( ( F : ( 0 ... K ) --> V /\ K e. NN0 ) -> ( ( ( F " { 0 , K } ) i^i ( F " ( 1..^ K ) ) ) = (/) -> ( ( x e. ( 0 ... K ) /\ y e. ( 0 ... K ) ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) ) ) ) ) )
36		ianor 509	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( -. ( x e. ( 1..^ K ) /\ y e. ( 1..^ K ) ) <-> ( -. x e. ( 1..^ K ) \/ -. y e. ( 1..^ K ) ) )
37		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( F ` x ) = ( F ` y ) <-> ( F ` y ) = ( F ` x ) )
38		injresinjlem 12588	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( -. x e. ( 1..^ K ) -> ( ( F ` 0 ) =/= ( F ` K ) -> ( ( F : ( 0 ... K ) --> V /\ K e. NN0 ) -> ( ( ( F " { 0 , K } ) i^i ( F " ( 1..^ K ) ) ) = (/) -> ( ( y e. ( 0 ... K ) /\ x e. ( 0 ... K ) ) -> ( ( F ` y ) = ( F ` x ) -> y = x ) ) ) ) ) )
39	38	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( -. x e. ( 1..^ K ) /\ ( F ` 0 ) =/= ( F ` K ) ) -> ( ( F : ( 0 ... K ) --> V /\ K e. NN0 ) -> ( ( ( F " { 0 , K } ) i^i ( F " ( 1..^ K ) ) ) = (/) -> ( ( y e. ( 0 ... K ) /\ x e. ( 0 ... K ) ) -> ( ( F ` y ) = ( F ` x ) -> y = x ) ) ) ) )
40	39	imp41 619	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ( -. x e. ( 1..^ K ) /\ ( F ` 0 ) =/= ( F ` K ) ) /\ ( F : ( 0 ... K ) --> V /\ K e. NN0 ) ) /\ ( ( F " { 0 , K } ) i^i ( F " ( 1..^ K ) ) ) = (/) ) /\ ( y e. ( 0 ... K ) /\ x e. ( 0 ... K ) ) ) -> ( ( F ` y ) = ( F ` x ) -> y = x ) )
41		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( y = x <-> x = y )
42	40, 41	syl6ib 241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ( -. x e. ( 1..^ K ) /\ ( F ` 0 ) =/= ( F ` K ) ) /\ ( F : ( 0 ... K ) --> V /\ K e. NN0 ) ) /\ ( ( F " { 0 , K } ) i^i ( F " ( 1..^ K ) ) ) = (/) ) /\ ( y e. ( 0 ... K ) /\ x e. ( 0 ... K ) ) ) -> ( ( F ` y ) = ( F ` x ) -> x = y ) )
43	37, 42	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( -. x e. ( 1..^ K ) /\ ( F ` 0 ) =/= ( F ` K ) ) /\ ( F : ( 0 ... K ) --> V /\ K e. NN0 ) ) /\ ( ( F " { 0 , K } ) i^i ( F " ( 1..^ K ) ) ) = (/) ) /\ ( y e. ( 0 ... K ) /\ x e. ( 0 ... K ) ) ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) )
44	43	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( -. x e. ( 1..^ K ) /\ ( F ` 0 ) =/= ( F ` K ) ) /\ ( F : ( 0 ... K ) --> V /\ K e. NN0 ) ) /\ ( ( F " { 0 , K } ) i^i ( F " ( 1..^ K ) ) ) = (/) ) -> ( ( y e. ( 0 ... K ) /\ x e. ( 0 ... K ) ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) )
45	44	ancomsd 470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( -. x e. ( 1..^ K ) /\ ( F ` 0 ) =/= ( F ` K ) ) /\ ( F : ( 0 ... K ) --> V /\ K e. NN0 ) ) /\ ( ( F " { 0 , K } ) i^i ( F " ( 1..^ K ) ) ) = (/) ) -> ( ( x e. ( 0 ... K ) /\ y e. ( 0 ... K ) ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) )
46	45	exp41 638	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( -. x e. ( 1..^ K ) -> ( ( F ` 0 ) =/= ( F ` K ) -> ( ( F : ( 0 ... K ) --> V /\ K e. NN0 ) -> ( ( ( F " { 0 , K } ) i^i ( F " ( 1..^ K ) ) ) = (/) -> ( ( x e. ( 0 ... K ) /\ y e. ( 0 ... K ) ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) ) ) ) )
47		injresinjlem 12588	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( -. y e. ( 1..^ K ) -> ( ( F ` 0 ) =/= ( F ` K ) -> ( ( F : ( 0 ... K ) --> V /\ K e. NN0 ) -> ( ( ( F " { 0 , K } ) i^i ( F " ( 1..^ K ) ) ) = (/) -> ( ( x e. ( 0 ... K ) /\ y e. ( 0 ... K ) ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) ) ) ) )
48	46, 47	jaoi 394	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( -. x e. ( 1..^ K ) \/ -. y e. ( 1..^ K ) ) -> ( ( F ` 0 ) =/= ( F ` K ) -> ( ( F : ( 0 ... K ) --> V /\ K e. NN0 ) -> ( ( ( F " { 0 , K } ) i^i ( F " ( 1..^ K ) ) ) = (/) -> ( ( x e. ( 0 ... K ) /\ y e. ( 0 ... K ) ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) ) ) ) )
49	48	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( -. x e. ( 1..^ K ) \/ -. y e. ( 1..^ K ) ) -> ( A. v e. ( 1..^ K ) A. w e. ( 1..^ K ) ( ( ( F |` ( 1..^ K ) ) ` v ) = ( ( F |` ( 1..^ K ) ) ` w ) -> v = w ) -> ( ( F ` 0 ) =/= ( F ` K ) -> ( ( F : ( 0 ... K ) --> V /\ K e. NN0 ) -> ( ( ( F " { 0 , K } ) i^i ( F " ( 1..^ K ) ) ) = (/) -> ( ( x e. ( 0 ... K ) /\ y e. ( 0 ... K ) ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) ) ) ) ) )
50	36, 49	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( -. ( x e. ( 1..^ K ) /\ y e. ( 1..^ K ) ) -> ( A. v e. ( 1..^ K ) A. w e. ( 1..^ K ) ( ( ( F |` ( 1..^ K ) ) ` v ) = ( ( F |` ( 1..^ K ) ) ` w ) -> v = w ) -> ( ( F ` 0 ) =/= ( F ` K ) -> ( ( F : ( 0 ... K ) --> V /\ K e. NN0 ) -> ( ( ( F " { 0 , K } ) i^i ( F " ( 1..^ K ) ) ) = (/) -> ( ( x e. ( 0 ... K ) /\ y e. ( 0 ... K ) ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) ) ) ) ) )
51	35, 50	pm2.61i 176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( A. v e. ( 1..^ K ) A. w e. ( 1..^ K ) ( ( ( F |` ( 1..^ K ) ) ` v ) = ( ( F |` ( 1..^ K ) ) ` w ) -> v = w ) -> ( ( F ` 0 ) =/= ( F ` K ) -> ( ( F : ( 0 ... K ) --> V /\ K e. NN0 ) -> ( ( ( F " { 0 , K } ) i^i ( F " ( 1..^ K ) ) ) = (/) -> ( ( x e. ( 0 ... K ) /\ y e. ( 0 ... K ) ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) ) ) ) )
52	51	imp41 619	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A. v e. ( 1..^ K ) A. w e. ( 1..^ K ) ( ( ( F |` ( 1..^ K ) ) ` v ) = ( ( F |` ( 1..^ K ) ) ` w ) -> v = w ) /\ ( F ` 0 ) =/= ( F ` K ) ) /\ ( F : ( 0 ... K ) --> V /\ K e. NN0 ) ) /\ ( ( F " { 0 , K } ) i^i ( F " ( 1..^ K ) ) ) = (/) ) -> ( ( x e. ( 0 ... K ) /\ y e. ( 0 ... K ) ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) )
53	52	ralrimivv 2970	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A. v e. ( 1..^ K ) A. w e. ( 1..^ K ) ( ( ( F |` ( 1..^ K ) ) ` v ) = ( ( F |` ( 1..^ K ) ) ` w ) -> v = w ) /\ ( F ` 0 ) =/= ( F ` K ) ) /\ ( F : ( 0 ... K ) --> V /\ K e. NN0 ) ) /\ ( ( F " { 0 , K } ) i^i ( F " ( 1..^ K ) ) ) = (/) ) -> A. x e. ( 0 ... K ) A. y e. ( 0 ... K ) ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) )
54	53	exp41 638	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. v e. ( 1..^ K ) A. w e. ( 1..^ K ) ( ( ( F |` ( 1..^ K ) ) ` v ) = ( ( F |` ( 1..^ K ) ) ` w ) -> v = w ) -> ( ( F ` 0 ) =/= ( F ` K ) -> ( ( F : ( 0 ... K ) --> V /\ K e. NN0 ) -> ( ( ( F " { 0 , K } ) i^i ( F " ( 1..^ K ) ) ) = (/) -> A. x e. ( 0 ... K ) A. y e. ( 0 ... K ) ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) ) ) )
55	54	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F |` ( 1..^ K ) ) : ( 1..^ K ) --> V /\ A. v e. ( 1..^ K ) A. w e. ( 1..^ K ) ( ( ( F |` ( 1..^ K ) ) ` v ) = ( ( F |` ( 1..^ K ) ) ` w ) -> v = w ) ) -> ( ( F ` 0 ) =/= ( F ` K ) -> ( ( F : ( 0 ... K ) --> V /\ K e. NN0 ) -> ( ( ( F " { 0 , K } ) i^i ( F " ( 1..^ K ) ) ) = (/) -> A. x e. ( 0 ... K ) A. y e. ( 0 ... K ) ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) ) ) )
56	12, 55	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F |` ( 1..^ K ) ) : ( 1..^ K ) -1-1-> V -> ( ( F ` 0 ) =/= ( F ` K ) -> ( ( F : ( 0 ... K ) --> V /\ K e. NN0 ) -> ( ( ( F " { 0 , K } ) i^i ( F " ( 1..^ K ) ) ) = (/) -> A. x e. ( 0 ... K ) A. y e. ( 0 ... K ) ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) ) ) )
57	56	com13 88	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F : ( 0 ... K ) --> V /\ K e. NN0 ) -> ( ( F ` 0 ) =/= ( F ` K ) -> ( ( F |` ( 1..^ K ) ) : ( 1..^ K ) -1-1-> V -> ( ( ( F " { 0 , K } ) i^i ( F " ( 1..^ K ) ) ) = (/) -> A. x e. ( 0 ... K ) A. y e. ( 0 ... K ) ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) ) ) )
58	57	ex 450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : ( 0 ... K ) --> V -> ( K e. NN0 -> ( ( F ` 0 ) =/= ( F ` K ) -> ( ( F |` ( 1..^ K ) ) : ( 1..^ K ) -1-1-> V -> ( ( ( F " { 0 , K } ) i^i ( F " ( 1..^ K ) ) ) = (/) -> A. x e. ( 0 ... K ) A. y e. ( 0 ... K ) ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) ) ) ) )
59	58	com24 95	. . . . . . . . . . 11 |- ( F : ( 0 ... K ) --> V -> ( ( F |` ( 1..^ K ) ) : ( 1..^ K ) -1-1-> V -> ( ( F ` 0 ) =/= ( F ` K ) -> ( K e. NN0 -> ( ( ( F " { 0 , K } ) i^i ( F " ( 1..^ K ) ) ) = (/) -> A. x e. ( 0 ... K ) A. y e. ( 0 ... K ) ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) ) ) ) )
60	59	impcom 446	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F |` ( 1..^ K ) ) : ( 1..^ K ) -1-1-> V /\ F : ( 0 ... K ) --> V ) -> ( ( F ` 0 ) =/= ( F ` K ) -> ( K e. NN0 -> ( ( ( F " { 0 , K } ) i^i ( F " ( 1..^ K ) ) ) = (/) -> A. x e. ( 0 ... K ) A. y e. ( 0 ... K ) ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) ) ) )
61	60	imp41 619	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( F |` ( 1..^ K ) ) : ( 1..^ K ) -1-1-> V /\ F : ( 0 ... K ) --> V ) /\ ( F ` 0 ) =/= ( F ` K ) ) /\ K e. NN0 ) /\ ( ( F " { 0 , K } ) i^i ( F " ( 1..^ K ) ) ) = (/) ) -> A. x e. ( 0 ... K ) A. y e. ( 0 ... K ) ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) )
62		dff13 6512	. . . . . . . . 9 |- ( F : ( 0 ... K ) -1-1-> V <-> ( F : ( 0 ... K ) --> V /\ A. x e. ( 0 ... K ) A. y e. ( 0 ... K ) ( ( F ` x ) = ( F ` y ) -> x = y ) ) )
63	11, 61, 62	sylanbrc 698	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( F |` ( 1..^ K ) ) : ( 1..^ K ) -1-1-> V /\ F : ( 0 ... K ) --> V ) /\ ( F ` 0 ) =/= ( F ` K ) ) /\ K e. NN0 ) /\ ( ( F " { 0 , K } ) i^i ( F " ( 1..^ K ) ) ) = (/) ) -> F : ( 0 ... K ) -1-1-> V )
64	11	biantrurd 529	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( F |` ( 1..^ K ) ) : ( 1..^ K ) -1-1-> V /\ F : ( 0 ... K ) --> V ) /\ ( F ` 0 ) =/= ( F ` K ) ) /\ K e. NN0 ) /\ ( ( F " { 0 , K } ) i^i ( F " ( 1..^ K ) ) ) = (/) ) -> ( Fun `' F <-> ( F : ( 0 ... K ) --> V /\ Fun `' F ) ) )
65		df-f1 5893	. . . . . . . . 9 |- ( F : ( 0 ... K ) -1-1-> V <-> ( F : ( 0 ... K ) --> V /\ Fun `' F ) )
66	64, 65	syl6bbr 278	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( F |` ( 1..^ K ) ) : ( 1..^ K ) -1-1-> V /\ F : ( 0 ... K ) --> V ) /\ ( F ` 0 ) =/= ( F ` K ) ) /\ K e. NN0 ) /\ ( ( F " { 0 , K } ) i^i ( F " ( 1..^ K ) ) ) = (/) ) -> ( Fun `' F <-> F : ( 0 ... K ) -1-1-> V ) )
67	63, 66	mpbird 247	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( F |` ( 1..^ K ) ) : ( 1..^ K ) -1-1-> V /\ F : ( 0 ... K ) --> V ) /\ ( F ` 0 ) =/= ( F ` K ) ) /\ K e. NN0 ) /\ ( ( F " { 0 , K } ) i^i ( F " ( 1..^ K ) ) ) = (/) ) -> Fun `' F )
68	67	ex 450	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( F |` ( 1..^ K ) ) : ( 1..^ K ) -1-1-> V /\ F : ( 0 ... K ) --> V ) /\ ( F ` 0 ) =/= ( F ` K ) ) /\ K e. NN0 ) -> ( ( ( F " { 0 , K } ) i^i ( F " ( 1..^ K ) ) ) = (/) -> Fun `' F ) )
69	68	exp41 638	. . . . 5 |- ( ( F |` ( 1..^ K ) ) : ( 1..^ K ) -1-1-> V -> ( F : ( 0 ... K ) --> V -> ( ( F ` 0 ) =/= ( F ` K ) -> ( K e. NN0 -> ( ( ( F " { 0 , K } ) i^i ( F " ( 1..^ K ) ) ) = (/) -> Fun `' F ) ) ) ) )
70	10, 69	syl6bi 243	. . . 4 |- ( F : ( 0 ... K ) --> V -> ( Fun `' ( F |` ( 1..^ K ) ) -> ( F : ( 0 ... K ) --> V -> ( ( F ` 0 ) =/= ( F ` K ) -> ( K e. NN0 -> ( ( ( F " { 0 , K } ) i^i ( F " ( 1..^ K ) ) ) = (/) -> Fun `' F ) ) ) ) ) )
71	70	pm2.43a 54	. . 3 |- ( F : ( 0 ... K ) --> V -> ( Fun `' ( F |` ( 1..^ K ) ) -> ( ( F ` 0 ) =/= ( F ` K ) -> ( K e. NN0 -> ( ( ( F " { 0 , K } ) i^i ( F " ( 1..^ K ) ) ) = (/) -> Fun `' F ) ) ) ) )
72	71	3imp 1256	. 2 |- ( ( F : ( 0 ... K ) --> V /\ Fun `' ( F |` ( 1..^ K ) ) /\ ( F ` 0 ) =/= ( F ` K ) ) -> ( K e. NN0 -> ( ( ( F " { 0 , K } ) i^i ( F " ( 1..^ K ) ) ) = (/) -> Fun `' F ) ) )
73	72	com12 32	1 |- ( K e. NN0 -> ( ( F : ( 0 ... K ) --> V /\ Fun `' ( F |` ( 1..^ K ) ) /\ ( F ` 0 ) =/= ( F ` K ) ) -> ( ( ( F " { 0 , K } ) i^i ( F " ( 1..^ K ) ) ) = (/) -> Fun `' F ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {cpr 4179   `'ccnv 5113   |` cres 5116   "cima 5117   Fun wfun 5882   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936   1c1 9937   NN0cn0 11292   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466

This theorem is referenced by:  pthdepisspth  26631