Theorem injresinjlem 12588

Description: Lemma for injresinj 12589. (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Oct-2017.) (Proof shortened by AV, 14-Feb-2021.) (Revised by Thierry Arnoux, 23-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
injresinjlem	|- ( -. Y e. ( 1..^ K ) -> ( ( F ` 0 ) =/= ( F ` K ) -> ( ( F : ( 0 ... K ) --> V /\ K e. NN0 ) -> ( ( ( F " { 0 , K } ) i^i ( F " ( 1..^ K ) ) ) = (/) -> ( ( X e. ( 0 ... K ) /\ Y e. ( 0 ... K ) ) -> ( ( F ` X ) = ( F ` Y ) -> X = Y ) ) ) ) ) )

Proof of Theorem injresinjlem

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfznelfzo 12573	. . . . . . 7 |- ( ( Y e. ( 0 ... K ) /\ -. Y e. ( 1..^ K ) ) -> ( Y = 0 \/ Y = K ) )
2		fvinim0ffz 12587	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F : ( 0 ... K ) --> V /\ K e. NN0 ) -> ( ( ( F " { 0 , K } ) i^i ( F " ( 1..^ K ) ) ) = (/) <-> ( ( F ` 0 ) e/ ( F " ( 1..^ K ) ) /\ ( F ` K ) e/ ( F " ( 1..^ K ) ) ) ) )
3		df-nel 2898	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F ` 0 ) e/ ( F " ( 1..^ K ) ) <-> -. ( F ` 0 ) e. ( F " ( 1..^ K ) ) )
4		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( 0 = Y -> ( F ` 0 ) = ( F ` Y ) )
5	4	eqcoms 2630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( Y = 0 -> ( F ` 0 ) = ( F ` Y ) )
6	5	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( Y = 0 -> ( ( F ` 0 ) e. ( F " ( 1..^ K ) ) <-> ( F ` Y ) e. ( F " ( 1..^ K ) ) ) )
7	6	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( Y = 0 -> ( -. ( F ` 0 ) e. ( F " ( 1..^ K ) ) <-> -. ( F ` Y ) e. ( F " ( 1..^ K ) ) ) )
8	7	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Y = 0 -> ( -. ( F ` 0 ) e. ( F " ( 1..^ K ) ) -> -. ( F ` Y ) e. ( F " ( 1..^ K ) ) ) )
9		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( F : ( 0 ... K ) --> V -> F Fn ( 0 ... K ) )
10		1eluzge0 11732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- 1 e. ( ZZ>= ` 0 )
11		fzoss1 12495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( 1 e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( 1..^ K ) C_ ( 0..^ K ) )
12	10, 11	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( K e. NN0 -> ( 1..^ K ) C_ ( 0..^ K ) )
13		fzossfz 12488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( 0..^ K ) C_ ( 0 ... K )
14	12, 13	syl6ss 3615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( K e. NN0 -> ( 1..^ K ) C_ ( 0 ... K ) )
15		fvelimab 6253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( F Fn ( 0 ... K ) /\ ( 1..^ K ) C_ ( 0 ... K ) ) -> ( ( F ` Y ) e. ( F " ( 1..^ K ) ) <-> E. z e. ( 1..^ K ) ( F ` z ) = ( F ` Y ) ) )
16	9, 14, 15	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( F : ( 0 ... K ) --> V /\ K e. NN0 ) -> ( ( F ` Y ) e. ( F " ( 1..^ K ) ) <-> E. z e. ( 1..^ K ) ( F ` z ) = ( F ` Y ) ) )
17	16	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( F : ( 0 ... K ) --> V /\ K e. NN0 ) -> ( -. ( F ` Y ) e. ( F " ( 1..^ K ) ) <-> -. E. z e. ( 1..^ K ) ( F ` z ) = ( F ` Y ) ) )
18		ralnex 2992	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( A. z e. ( 1..^ K ) -. ( F ` z ) = ( F ` Y ) <-> -. E. z e. ( 1..^ K ) ( F ` z ) = ( F ` Y ) )
19		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( z = X -> ( F ` z ) = ( F ` X ) )
20	19	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( z = X -> ( ( F ` z ) = ( F ` Y ) <-> ( F ` X ) = ( F ` Y ) ) )
21	20	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( z = X -> ( -. ( F ` z ) = ( F ` Y ) <-> -. ( F ` X ) = ( F ` Y ) ) )
22	21	rspcva 3307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( X e. ( 1..^ K ) /\ A. z e. ( 1..^ K ) -. ( F ` z ) = ( F ` Y ) ) -> -. ( F ` X ) = ( F ` Y ) )
23		pm2.21 120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( -. ( F ` X ) = ( F ` Y ) -> ( ( F ` X ) = ( F ` Y ) -> X = Y ) )
24	23	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( -. ( F ` X ) = ( F ` Y ) -> ( ( F ` 0 ) =/= ( F ` K ) -> ( ( F ` X ) = ( F ` Y ) -> X = Y ) ) )
25	24	2a1d 26	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( -. ( F ` X ) = ( F ` Y ) -> ( X e. ( 0 ... K ) -> ( ( F : ( 0 ... K ) --> V /\ K e. NN0 ) -> ( ( F ` 0 ) =/= ( F ` K ) -> ( ( F ` X ) = ( F ` Y ) -> X = Y ) ) ) ) )
26	22, 25	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( X e. ( 1..^ K ) /\ A. z e. ( 1..^ K ) -. ( F ` z ) = ( F ` Y ) ) -> ( X e. ( 0 ... K ) -> ( ( F : ( 0 ... K ) --> V /\ K e. NN0 ) -> ( ( F ` 0 ) =/= ( F ` K ) -> ( ( F ` X ) = ( F ` Y ) -> X = Y ) ) ) ) )
27	26	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( A. z e. ( 1..^ K ) -. ( F ` z ) = ( F ` Y ) -> ( X e. ( 1..^ K ) -> ( X e. ( 0 ... K ) -> ( ( F : ( 0 ... K ) --> V /\ K e. NN0 ) -> ( ( F ` 0 ) =/= ( F ` K ) -> ( ( F ` X ) = ( F ` Y ) -> X = Y ) ) ) ) ) )
28	27	com24 95	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( A. z e. ( 1..^ K ) -. ( F ` z ) = ( F ` Y ) -> ( ( F : ( 0 ... K ) --> V /\ K e. NN0 ) -> ( X e. ( 0 ... K ) -> ( X e. ( 1..^ K ) -> ( ( F ` 0 ) =/= ( F ` K ) -> ( ( F ` X ) = ( F ` Y ) -> X = Y ) ) ) ) ) )
29	18, 28	sylbir 225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( -. E. z e. ( 1..^ K ) ( F ` z ) = ( F ` Y ) -> ( ( F : ( 0 ... K ) --> V /\ K e. NN0 ) -> ( X e. ( 0 ... K ) -> ( X e. ( 1..^ K ) -> ( ( F ` 0 ) =/= ( F ` K ) -> ( ( F ` X ) = ( F ` Y ) -> X = Y ) ) ) ) ) )
30	29	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( F : ( 0 ... K ) --> V /\ K e. NN0 ) -> ( -. E. z e. ( 1..^ K ) ( F ` z ) = ( F ` Y ) -> ( X e. ( 0 ... K ) -> ( X e. ( 1..^ K ) -> ( ( F ` 0 ) =/= ( F ` K ) -> ( ( F ` X ) = ( F ` Y ) -> X = Y ) ) ) ) ) )
31	17, 30	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( F : ( 0 ... K ) --> V /\ K e. NN0 ) -> ( -. ( F ` Y ) e. ( F " ( 1..^ K ) ) -> ( X e. ( 0 ... K ) -> ( X e. ( 1..^ K ) -> ( ( F ` 0 ) =/= ( F ` K ) -> ( ( F ` X ) = ( F ` Y ) -> X = Y ) ) ) ) ) )
32	31	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( -. ( F ` Y ) e. ( F " ( 1..^ K ) ) -> ( ( F : ( 0 ... K ) --> V /\ K e. NN0 ) -> ( X e. ( 0 ... K ) -> ( X e. ( 1..^ K ) -> ( ( F ` 0 ) =/= ( F ` K ) -> ( ( F ` X ) = ( F ` Y ) -> X = Y ) ) ) ) ) )
33	8, 32	syl6com 37	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( -. ( F ` 0 ) e. ( F " ( 1..^ K ) ) -> ( Y = 0 -> ( ( F : ( 0 ... K ) --> V /\ K e. NN0 ) -> ( X e. ( 0 ... K ) -> ( X e. ( 1..^ K ) -> ( ( F ` 0 ) =/= ( F ` K ) -> ( ( F ` X ) = ( F ` Y ) -> X = Y ) ) ) ) ) ) )
34	3, 33	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F ` 0 ) e/ ( F " ( 1..^ K ) ) -> ( Y = 0 -> ( ( F : ( 0 ... K ) --> V /\ K e. NN0 ) -> ( X e. ( 0 ... K ) -> ( X e. ( 1..^ K ) -> ( ( F ` 0 ) =/= ( F ` K ) -> ( ( F ` X ) = ( F ` Y ) -> X = Y ) ) ) ) ) ) )
35	34	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( F ` 0 ) e/ ( F " ( 1..^ K ) ) /\ ( F ` K ) e/ ( F " ( 1..^ K ) ) ) -> ( Y = 0 -> ( ( F : ( 0 ... K ) --> V /\ K e. NN0 ) -> ( X e. ( 0 ... K ) -> ( X e. ( 1..^ K ) -> ( ( F ` 0 ) =/= ( F ` K ) -> ( ( F ` X ) = ( F ` Y ) -> X = Y ) ) ) ) ) ) )
36	35	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Y = 0 -> ( ( ( F ` 0 ) e/ ( F " ( 1..^ K ) ) /\ ( F ` K ) e/ ( F " ( 1..^ K ) ) ) -> ( ( F : ( 0 ... K ) --> V /\ K e. NN0 ) -> ( X e. ( 0 ... K ) -> ( X e. ( 1..^ K ) -> ( ( F ` 0 ) =/= ( F ` K ) -> ( ( F ` X ) = ( F ` Y ) -> X = Y ) ) ) ) ) ) )
37		df-nel 2898	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F ` K ) e/ ( F " ( 1..^ K ) ) <-> -. ( F ` K ) e. ( F " ( 1..^ K ) ) )
38		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( K = Y -> ( F ` K ) = ( F ` Y ) )
39	38	eqcoms 2630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( Y = K -> ( F ` K ) = ( F ` Y ) )
40	39	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( Y = K -> ( ( F ` K ) e. ( F " ( 1..^ K ) ) <-> ( F ` Y ) e. ( F " ( 1..^ K ) ) ) )
41	40	notbid 308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( Y = K -> ( -. ( F ` K ) e. ( F " ( 1..^ K ) ) <-> -. ( F ` Y ) e. ( F " ( 1..^ K ) ) ) )
42	41	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Y = K -> ( -. ( F ` K ) e. ( F " ( 1..^ K ) ) -> -. ( F ` Y ) e. ( F " ( 1..^ K ) ) ) )
43	42, 32	syl6com 37	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( -. ( F ` K ) e. ( F " ( 1..^ K ) ) -> ( Y = K -> ( ( F : ( 0 ... K ) --> V /\ K e. NN0 ) -> ( X e. ( 0 ... K ) -> ( X e. ( 1..^ K ) -> ( ( F ` 0 ) =/= ( F ` K ) -> ( ( F ` X ) = ( F ` Y ) -> X = Y ) ) ) ) ) ) )
44	37, 43	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F ` K ) e/ ( F " ( 1..^ K ) ) -> ( Y = K -> ( ( F : ( 0 ... K ) --> V /\ K e. NN0 ) -> ( X e. ( 0 ... K ) -> ( X e. ( 1..^ K ) -> ( ( F ` 0 ) =/= ( F ` K ) -> ( ( F ` X ) = ( F ` Y ) -> X = Y ) ) ) ) ) ) )
45	44	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( F ` 0 ) e/ ( F " ( 1..^ K ) ) /\ ( F ` K ) e/ ( F " ( 1..^ K ) ) ) -> ( Y = K -> ( ( F : ( 0 ... K ) --> V /\ K e. NN0 ) -> ( X e. ( 0 ... K ) -> ( X e. ( 1..^ K ) -> ( ( F ` 0 ) =/= ( F ` K ) -> ( ( F ` X ) = ( F ` Y ) -> X = Y ) ) ) ) ) ) )
46	45	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Y = K -> ( ( ( F ` 0 ) e/ ( F " ( 1..^ K ) ) /\ ( F ` K ) e/ ( F " ( 1..^ K ) ) ) -> ( ( F : ( 0 ... K ) --> V /\ K e. NN0 ) -> ( X e. ( 0 ... K ) -> ( X e. ( 1..^ K ) -> ( ( F ` 0 ) =/= ( F ` K ) -> ( ( F ` X ) = ( F ` Y ) -> X = Y ) ) ) ) ) ) )
47	36, 46	jaoi 394	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Y = 0 \/ Y = K ) -> ( ( ( F ` 0 ) e/ ( F " ( 1..^ K ) ) /\ ( F ` K ) e/ ( F " ( 1..^ K ) ) ) -> ( ( F : ( 0 ... K ) --> V /\ K e. NN0 ) -> ( X e. ( 0 ... K ) -> ( X e. ( 1..^ K ) -> ( ( F ` 0 ) =/= ( F ` K ) -> ( ( F ` X ) = ( F ` Y ) -> X = Y ) ) ) ) ) ) )
48	47	com13 88	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F : ( 0 ... K ) --> V /\ K e. NN0 ) -> ( ( ( F ` 0 ) e/ ( F " ( 1..^ K ) ) /\ ( F ` K ) e/ ( F " ( 1..^ K ) ) ) -> ( ( Y = 0 \/ Y = K ) -> ( X e. ( 0 ... K ) -> ( X e. ( 1..^ K ) -> ( ( F ` 0 ) =/= ( F ` K ) -> ( ( F ` X ) = ( F ` Y ) -> X = Y ) ) ) ) ) ) )
49	2, 48	sylbid 230	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F : ( 0 ... K ) --> V /\ K e. NN0 ) -> ( ( ( F " { 0 , K } ) i^i ( F " ( 1..^ K ) ) ) = (/) -> ( ( Y = 0 \/ Y = K ) -> ( X e. ( 0 ... K ) -> ( X e. ( 1..^ K ) -> ( ( F ` 0 ) =/= ( F ` K ) -> ( ( F ` X ) = ( F ` Y ) -> X = Y ) ) ) ) ) ) )
50	49	com14 96	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. ( 0 ... K ) -> ( ( ( F " { 0 , K } ) i^i ( F " ( 1..^ K ) ) ) = (/) -> ( ( Y = 0 \/ Y = K ) -> ( ( F : ( 0 ... K ) --> V /\ K e. NN0 ) -> ( X e. ( 1..^ K ) -> ( ( F ` 0 ) =/= ( F ` K ) -> ( ( F ` X ) = ( F ` Y ) -> X = Y ) ) ) ) ) ) )
51	50	com12 32	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F " { 0 , K } ) i^i ( F " ( 1..^ K ) ) ) = (/) -> ( X e. ( 0 ... K ) -> ( ( Y = 0 \/ Y = K ) -> ( ( F : ( 0 ... K ) --> V /\ K e. NN0 ) -> ( X e. ( 1..^ K ) -> ( ( F ` 0 ) =/= ( F ` K ) -> ( ( F ` X ) = ( F ` Y ) -> X = Y ) ) ) ) ) ) )
52	51	com15 101	. . . . . . . . 9 |- ( X e. ( 1..^ K ) -> ( X e. ( 0 ... K ) -> ( ( Y = 0 \/ Y = K ) -> ( ( F : ( 0 ... K ) --> V /\ K e. NN0 ) -> ( ( ( F " { 0 , K } ) i^i ( F " ( 1..^ K ) ) ) = (/) -> ( ( F ` 0 ) =/= ( F ` K ) -> ( ( F ` X ) = ( F ` Y ) -> X = Y ) ) ) ) ) ) )
53		elfznelfzo 12573	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. ( 0 ... K ) /\ -. X e. ( 1..^ K ) ) -> ( X = 0 \/ X = K ) )
54		eqtr3 2643	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( X = 0 /\ Y = 0 ) -> X = Y )
55		2a1 28	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( X = Y -> ( ( F ` 0 ) =/= ( F ` K ) -> ( ( F ` X ) = ( F ` Y ) -> X = Y ) ) )
56	55	2a1d 26	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( X = Y -> ( ( F : ( 0 ... K ) --> V /\ K e. NN0 ) -> ( ( ( F " { 0 , K } ) i^i ( F " ( 1..^ K ) ) ) = (/) -> ( ( F ` 0 ) =/= ( F ` K ) -> ( ( F ` X ) = ( F ` Y ) -> X = Y ) ) ) ) )
57	54, 56	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( X = 0 /\ Y = 0 ) -> ( ( F : ( 0 ... K ) --> V /\ K e. NN0 ) -> ( ( ( F " { 0 , K } ) i^i ( F " ( 1..^ K ) ) ) = (/) -> ( ( F ` 0 ) =/= ( F ` K ) -> ( ( F ` X ) = ( F ` Y ) -> X = Y ) ) ) ) )
58	5	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( X = K /\ Y = 0 ) -> ( F ` 0 ) = ( F ` Y ) )
59		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( K = X -> ( F ` K ) = ( F ` X ) )
60	59	eqcoms 2630	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( X = K -> ( F ` K ) = ( F ` X ) )
61	60	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( X = K /\ Y = 0 ) -> ( F ` K ) = ( F ` X ) )
62	58, 61	neeq12d 2855	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( X = K /\ Y = 0 ) -> ( ( F ` 0 ) =/= ( F ` K ) <-> ( F ` Y ) =/= ( F ` X ) ) )
63		df-ne 2795	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F ` Y ) =/= ( F ` X ) <-> -. ( F ` Y ) = ( F ` X ) )
64		pm2.24 121	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F ` Y ) = ( F ` X ) -> ( -. ( F ` Y ) = ( F ` X ) -> X = Y ) )
65	64	eqcoms 2630	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F ` X ) = ( F ` Y ) -> ( -. ( F ` Y ) = ( F ` X ) -> X = Y ) )
66	65	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. ( F ` Y ) = ( F ` X ) -> ( ( F ` X ) = ( F ` Y ) -> X = Y ) )
67	63, 66	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F ` Y ) =/= ( F ` X ) -> ( ( F ` X ) = ( F ` Y ) -> X = Y ) )
68	62, 67	syl6bi 243	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( X = K /\ Y = 0 ) -> ( ( F ` 0 ) =/= ( F ` K ) -> ( ( F ` X ) = ( F ` Y ) -> X = Y ) ) )
69	68	2a1d 26	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( X = K /\ Y = 0 ) -> ( ( F : ( 0 ... K ) --> V /\ K e. NN0 ) -> ( ( ( F " { 0 , K } ) i^i ( F " ( 1..^ K ) ) ) = (/) -> ( ( F ` 0 ) =/= ( F ` K ) -> ( ( F ` X ) = ( F ` Y ) -> X = Y ) ) ) ) )
70		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 0 = X -> ( F ` 0 ) = ( F ` X ) )
71	70	eqcoms 2630	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( X = 0 -> ( F ` 0 ) = ( F ` X ) )
72	71	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( X = 0 /\ Y = K ) -> ( F ` 0 ) = ( F ` X ) )
73	39	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( X = 0 /\ Y = K ) -> ( F ` K ) = ( F ` Y ) )
74	72, 73	neeq12d 2855	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( X = 0 /\ Y = K ) -> ( ( F ` 0 ) =/= ( F ` K ) <-> ( F ` X ) =/= ( F ` Y ) ) )
75		df-ne 2795	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F ` X ) =/= ( F ` Y ) <-> -. ( F ` X ) = ( F ` Y ) )
76	75, 23	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F ` X ) =/= ( F ` Y ) -> ( ( F ` X ) = ( F ` Y ) -> X = Y ) )
77	74, 76	syl6bi 243	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( X = 0 /\ Y = K ) -> ( ( F ` 0 ) =/= ( F ` K ) -> ( ( F ` X ) = ( F ` Y ) -> X = Y ) ) )
78	77	2a1d 26	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( X = 0 /\ Y = K ) -> ( ( F : ( 0 ... K ) --> V /\ K e. NN0 ) -> ( ( ( F " { 0 , K } ) i^i ( F " ( 1..^ K ) ) ) = (/) -> ( ( F ` 0 ) =/= ( F ` K ) -> ( ( F ` X ) = ( F ` Y ) -> X = Y ) ) ) ) )
79		eqtr3 2643	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( X = K /\ Y = K ) -> X = Y )
80	79, 56	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( X = K /\ Y = K ) -> ( ( F : ( 0 ... K ) --> V /\ K e. NN0 ) -> ( ( ( F " { 0 , K } ) i^i ( F " ( 1..^ K ) ) ) = (/) -> ( ( F ` 0 ) =/= ( F ` K ) -> ( ( F ` X ) = ( F ` Y ) -> X = Y ) ) ) ) )
81	57, 69, 78, 80	ccase 987	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X = 0 \/ X = K ) /\ ( Y = 0 \/ Y = K ) ) -> ( ( F : ( 0 ... K ) --> V /\ K e. NN0 ) -> ( ( ( F " { 0 , K } ) i^i ( F " ( 1..^ K ) ) ) = (/) -> ( ( F ` 0 ) =/= ( F ` K ) -> ( ( F ` X ) = ( F ` Y ) -> X = Y ) ) ) ) )
82	81	ex 450	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X = 0 \/ X = K ) -> ( ( Y = 0 \/ Y = K ) -> ( ( F : ( 0 ... K ) --> V /\ K e. NN0 ) -> ( ( ( F " { 0 , K } ) i^i ( F " ( 1..^ K ) ) ) = (/) -> ( ( F ` 0 ) =/= ( F ` K ) -> ( ( F ` X ) = ( F ` Y ) -> X = Y ) ) ) ) ) )
83	53, 82	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. ( 0 ... K ) /\ -. X e. ( 1..^ K ) ) -> ( ( Y = 0 \/ Y = K ) -> ( ( F : ( 0 ... K ) --> V /\ K e. NN0 ) -> ( ( ( F " { 0 , K } ) i^i ( F " ( 1..^ K ) ) ) = (/) -> ( ( F ` 0 ) =/= ( F ` K ) -> ( ( F ` X ) = ( F ` Y ) -> X = Y ) ) ) ) ) )
84	83	expcom 451	. . . . . . . . 9 |- ( -. X e. ( 1..^ K ) -> ( X e. ( 0 ... K ) -> ( ( Y = 0 \/ Y = K ) -> ( ( F : ( 0 ... K ) --> V /\ K e. NN0 ) -> ( ( ( F " { 0 , K } ) i^i ( F " ( 1..^ K ) ) ) = (/) -> ( ( F ` 0 ) =/= ( F ` K ) -> ( ( F ` X ) = ( F ` Y ) -> X = Y ) ) ) ) ) ) )
85	52, 84	pm2.61i 176	. . . . . . . 8 |- ( X e. ( 0 ... K ) -> ( ( Y = 0 \/ Y = K ) -> ( ( F : ( 0 ... K ) --> V /\ K e. NN0 ) -> ( ( ( F " { 0 , K } ) i^i ( F " ( 1..^ K ) ) ) = (/) -> ( ( F ` 0 ) =/= ( F ` K ) -> ( ( F ` X ) = ( F ` Y ) -> X = Y ) ) ) ) ) )
86	85	com12 32	. . . . . . 7 |- ( ( Y = 0 \/ Y = K ) -> ( X e. ( 0 ... K ) -> ( ( F : ( 0 ... K ) --> V /\ K e. NN0 ) -> ( ( ( F " { 0 , K } ) i^i ( F " ( 1..^ K ) ) ) = (/) -> ( ( F ` 0 ) =/= ( F ` K ) -> ( ( F ` X ) = ( F ` Y ) -> X = Y ) ) ) ) ) )
87	1, 86	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( Y e. ( 0 ... K ) /\ -. Y e. ( 1..^ K ) ) -> ( X e. ( 0 ... K ) -> ( ( F : ( 0 ... K ) --> V /\ K e. NN0 ) -> ( ( ( F " { 0 , K } ) i^i ( F " ( 1..^ K ) ) ) = (/) -> ( ( F ` 0 ) =/= ( F ` K ) -> ( ( F ` X ) = ( F ` Y ) -> X = Y ) ) ) ) ) )
88	87	ex 450	. . . . 5 |- ( Y e. ( 0 ... K ) -> ( -. Y e. ( 1..^ K ) -> ( X e. ( 0 ... K ) -> ( ( F : ( 0 ... K ) --> V /\ K e. NN0 ) -> ( ( ( F " { 0 , K } ) i^i ( F " ( 1..^ K ) ) ) = (/) -> ( ( F ` 0 ) =/= ( F ` K ) -> ( ( F ` X ) = ( F ` Y ) -> X = Y ) ) ) ) ) ) )
89	88	com23 86	. . . 4 |- ( Y e. ( 0 ... K ) -> ( X e. ( 0 ... K ) -> ( -. Y e. ( 1..^ K ) -> ( ( F : ( 0 ... K ) --> V /\ K e. NN0 ) -> ( ( ( F " { 0 , K } ) i^i ( F " ( 1..^ K ) ) ) = (/) -> ( ( F ` 0 ) =/= ( F ` K ) -> ( ( F ` X ) = ( F ` Y ) -> X = Y ) ) ) ) ) ) )
90	89	impcom 446	. . 3 |- ( ( X e. ( 0 ... K ) /\ Y e. ( 0 ... K ) ) -> ( -. Y e. ( 1..^ K ) -> ( ( F : ( 0 ... K ) --> V /\ K e. NN0 ) -> ( ( ( F " { 0 , K } ) i^i ( F " ( 1..^ K ) ) ) = (/) -> ( ( F ` 0 ) =/= ( F ` K ) -> ( ( F ` X ) = ( F ` Y ) -> X = Y ) ) ) ) ) )
91	90	com12 32	. 2 |- ( -. Y e. ( 1..^ K ) -> ( ( X e. ( 0 ... K ) /\ Y e. ( 0 ... K ) ) -> ( ( F : ( 0 ... K ) --> V /\ K e. NN0 ) -> ( ( ( F " { 0 , K } ) i^i ( F " ( 1..^ K ) ) ) = (/) -> ( ( F ` 0 ) =/= ( F ` K ) -> ( ( F ` X ) = ( F ` Y ) -> X = Y ) ) ) ) ) )
92	91	com25 99	1 |- ( -. Y e. ( 1..^ K ) -> ( ( F ` 0 ) =/= ( F ` K ) -> ( ( F : ( 0 ... K ) --> V /\ K e. NN0 ) -> ( ( ( F " { 0 , K } ) i^i ( F " ( 1..^ K ) ) ) = (/) -> ( ( X e. ( 0 ... K ) /\ Y e. ( 0 ... K ) ) -> ( ( F ` X ) = ( F ` Y ) -> X = Y ) ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   e/ wnel 2897   A.wral 2912   E.wrex 2913   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {cpr 4179   "cima 5117   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   0cc0 9936   1c1 9937   NN0cn0 11292   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466

This theorem is referenced by:  injresinj  12589