Theorem padct 29497

Description: Index a countable set with integers and pad with Z. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
padct	|- ( ( A ~<_ om /\ Z e. V /\ -. Z e. A ) -> E. f ( f : NN --> ( A u. { Z } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) )

Distinct variable groups:   A, f   f, V   f, Z

Proof of Theorem padct

Dummy variables g x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brdom2 7985	. 2 |- ( A ~<_ om <-> ( A ~< om \/ A ~~ om ) )
2		isfinite2 8218	. . . . . . . . . 10 |- ( A ~< om -> A e. Fin )
3		isfinite4 13153	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. Fin <-> ( 1 ... ( # ` A ) ) ~~ A )
4	2, 3	sylib 208	. . . . . . . . 9 |- ( A ~< om -> ( 1 ... ( # ` A ) ) ~~ A )
5	4	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( A ~< om /\ Z e. V ) -> ( 1 ... ( # ` A ) ) ~~ A )
6		bren 7964	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 ... ( # ` A ) ) ~~ A <-> E. g g : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A )
7	5, 6	sylib 208	. . . . . . 7 |- ( ( A ~< om /\ Z e. V ) -> E. g g : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A )
8	7	3adant3 1081	. . . . . 6 |- ( ( A ~< om /\ Z e. V /\ -. Z e. A ) -> E. g g : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A )
9		nfv 1843	. . . . . . 7 |- F/ g ( A ~< om /\ Z e. V /\ -. Z e. A )
10		nfv 1843	. . . . . . 7 |- F/ g E. f ( f : NN --> ( A u. { Z } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) )
11		f1of 6137	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A -> g : ( 1 ... ( # ` A ) ) --> A )
12	11	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A ~< om /\ Z e. V ) /\ g : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) -> g : ( 1 ... ( # ` A ) ) --> A )
13		fconstmpt 5163	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( NN \ ( 1 ... ( # ` A ) ) ) X. { Z } ) = ( x e. ( NN \ ( 1 ... ( # ` A ) ) ) |-> Z )
14	13	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( NN \ ( 1 ... ( # ` A ) ) ) |-> Z ) = ( ( NN \ ( 1 ... ( # ` A ) ) ) X. { Z } )
15		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A ~< om /\ Z e. V ) /\ g : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) -> Z e. V )
16		fconst2g 6468	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Z e. V -> ( ( x e. ( NN \ ( 1 ... ( # ` A ) ) ) |-> Z ) : ( NN \ ( 1 ... ( # ` A ) ) ) --> { Z } <-> ( x e. ( NN \ ( 1 ... ( # ` A ) ) ) |-> Z ) = ( ( NN \ ( 1 ... ( # ` A ) ) ) X. { Z } ) ) )
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A ~< om /\ Z e. V ) /\ g : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) -> ( ( x e. ( NN \ ( 1 ... ( # ` A ) ) ) |-> Z ) : ( NN \ ( 1 ... ( # ` A ) ) ) --> { Z } <-> ( x e. ( NN \ ( 1 ... ( # ` A ) ) ) |-> Z ) = ( ( NN \ ( 1 ... ( # ` A ) ) ) X. { Z } ) ) )
18	14, 17	mpbiri 248	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A ~< om /\ Z e. V ) /\ g : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) -> ( x e. ( NN \ ( 1 ... ( # ` A ) ) ) |-> Z ) : ( NN \ ( 1 ... ( # ` A ) ) ) --> { Z } )
19		disjdif 4040	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 ... ( # ` A ) ) i^i ( NN \ ( 1 ... ( # ` A ) ) ) ) = (/)
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A ~< om /\ Z e. V ) /\ g : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) -> ( ( 1 ... ( # ` A ) ) i^i ( NN \ ( 1 ... ( # ` A ) ) ) ) = (/) )
21		fun 6066	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( g : ( 1 ... ( # ` A ) ) --> A /\ ( x e. ( NN \ ( 1 ... ( # ` A ) ) ) |-> Z ) : ( NN \ ( 1 ... ( # ` A ) ) ) --> { Z } ) /\ ( ( 1 ... ( # ` A ) ) i^i ( NN \ ( 1 ... ( # ` A ) ) ) ) = (/) ) -> ( g u. ( x e. ( NN \ ( 1 ... ( # ` A ) ) ) |-> Z ) ) : ( ( 1 ... ( # ` A ) ) u. ( NN \ ( 1 ... ( # ` A ) ) ) ) --> ( A u. { Z } ) )
22	12, 18, 20, 21	syl21anc 1325	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A ~< om /\ Z e. V ) /\ g : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) -> ( g u. ( x e. ( NN \ ( 1 ... ( # ` A ) ) ) |-> Z ) ) : ( ( 1 ... ( # ` A ) ) u. ( NN \ ( 1 ... ( # ` A ) ) ) ) --> ( A u. { Z } ) )
23		fz1ssnn 12372	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 ... ( # ` A ) ) C_ NN
24		undif 4049	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 ... ( # ` A ) ) C_ NN <-> ( ( 1 ... ( # ` A ) ) u. ( NN \ ( 1 ... ( # ` A ) ) ) ) = NN )
25	23, 24	mpbi 220	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 ... ( # ` A ) ) u. ( NN \ ( 1 ... ( # ` A ) ) ) ) = NN
26	25	feq2i 6037	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( g u. ( x e. ( NN \ ( 1 ... ( # ` A ) ) ) |-> Z ) ) : ( ( 1 ... ( # ` A ) ) u. ( NN \ ( 1 ... ( # ` A ) ) ) ) --> ( A u. { Z } ) <-> ( g u. ( x e. ( NN \ ( 1 ... ( # ` A ) ) ) |-> Z ) ) : NN --> ( A u. { Z } ) )
27	22, 26	sylib 208	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A ~< om /\ Z e. V ) /\ g : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) -> ( g u. ( x e. ( NN \ ( 1 ... ( # ` A ) ) ) |-> Z ) ) : NN --> ( A u. { Z } ) )
28	27	3adantl3 1219	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A ~< om /\ Z e. V /\ -. Z e. A ) /\ g : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) -> ( g u. ( x e. ( NN \ ( 1 ... ( # ` A ) ) ) |-> Z ) ) : NN --> ( A u. { Z } ) )
29		ssid 3624	. . . . . . . . . . . . . 14 |- A C_ A
30		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A ~< om /\ Z e. V ) /\ g : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) -> g : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A )
31		f1ofo 6144	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A -> g : ( 1 ... ( # ` A ) ) -onto-> A )
32		forn 6118	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g : ( 1 ... ( # ` A ) ) -onto-> A -> ran g = A )
33	30, 31, 32	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A ~< om /\ Z e. V ) /\ g : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) -> ran g = A )
34	29, 33	syl5sseqr 3654	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A ~< om /\ Z e. V ) /\ g : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) -> A C_ ran g )
35	34	orcd 407	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A ~< om /\ Z e. V ) /\ g : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) -> ( A C_ ran g \/ A C_ ran ( x e. ( NN \ ( 1 ... ( # ` A ) ) ) |-> Z ) ) )
36		ssun 3792	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A C_ ran g \/ A C_ ran ( x e. ( NN \ ( 1 ... ( # ` A ) ) ) |-> Z ) ) -> A C_ ( ran g u. ran ( x e. ( NN \ ( 1 ... ( # ` A ) ) ) |-> Z ) ) )
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A ~< om /\ Z e. V ) /\ g : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) -> A C_ ( ran g u. ran ( x e. ( NN \ ( 1 ... ( # ` A ) ) ) |-> Z ) ) )
38		rnun 5541	. . . . . . . . . . 11 |- ran ( g u. ( x e. ( NN \ ( 1 ... ( # ` A ) ) ) |-> Z ) ) = ( ran g u. ran ( x e. ( NN \ ( 1 ... ( # ` A ) ) ) |-> Z ) )
39	37, 38	syl6sseqr 3652	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A ~< om /\ Z e. V ) /\ g : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) -> A C_ ran ( g u. ( x e. ( NN \ ( 1 ... ( # ` A ) ) ) |-> Z ) ) )
40	39	3adantl3 1219	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A ~< om /\ Z e. V /\ -. Z e. A ) /\ g : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) -> A C_ ran ( g u. ( x e. ( NN \ ( 1 ... ( # ` A ) ) ) |-> Z ) ) )
41		dff1o3 6143	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A <-> ( g : ( 1 ... ( # ` A ) ) -onto-> A /\ Fun `' g ) )
42	41	simprbi 480	. . . . . . . . . . 11 |- ( g : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A -> Fun `' g )
43	42	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A ~< om /\ Z e. V /\ -. Z e. A ) /\ g : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) -> Fun `' g )
44		cnvun 5538	. . . . . . . . . . . . . 14 |- `' ( g u. ( x e. ( NN \ ( 1 ... ( # ` A ) ) ) |-> Z ) ) = ( `' g u. `' ( x e. ( NN \ ( 1 ... ( # ` A ) ) ) |-> Z ) )
45	44	reseq1i 5392	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( `' ( g u. ( x e. ( NN \ ( 1 ... ( # ` A ) ) ) |-> Z ) ) |` A ) = ( ( `' g u. `' ( x e. ( NN \ ( 1 ... ( # ` A ) ) ) |-> Z ) ) |` A )
46		resundir 5411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( `' g u. `' ( x e. ( NN \ ( 1 ... ( # ` A ) ) ) |-> Z ) ) |` A ) = ( ( `' g |` A ) u. ( `' ( x e. ( NN \ ( 1 ... ( # ` A ) ) ) |-> Z ) |` A ) )
47	45, 46	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . 12 |- ( `' ( g u. ( x e. ( NN \ ( 1 ... ( # ` A ) ) ) |-> Z ) ) |` A ) = ( ( `' g |` A ) u. ( `' ( x e. ( NN \ ( 1 ... ( # ` A ) ) ) |-> Z ) |` A ) )
48		dff1o4 6145	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( g : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A <-> ( g Fn ( 1 ... ( # ` A ) ) /\ `' g Fn A ) )
49	48	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( g : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A -> `' g Fn A )
50		fnresdm 6000	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( `' g Fn A -> ( `' g |` A ) = `' g )
51	49, 50	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A -> ( `' g |` A ) = `' g )
52	51	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A ~< om /\ Z e. V /\ -. Z e. A ) /\ g : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) -> ( `' g |` A ) = `' g )
53		simpl3 1066	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A ~< om /\ Z e. V /\ -. Z e. A ) /\ g : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) -> -. Z e. A )
54	14	cnveqi 5297	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- `' ( x e. ( NN \ ( 1 ... ( # ` A ) ) ) |-> Z ) = `' ( ( NN \ ( 1 ... ( # ` A ) ) ) X. { Z } )
55		cnvxp 5551	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- `' ( ( NN \ ( 1 ... ( # ` A ) ) ) X. { Z } ) = ( { Z } X. ( NN \ ( 1 ... ( # ` A ) ) ) )
56	54, 55	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- `' ( x e. ( NN \ ( 1 ... ( # ` A ) ) ) |-> Z ) = ( { Z } X. ( NN \ ( 1 ... ( # ` A ) ) ) )
57	56	reseq1i 5392	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( `' ( x e. ( NN \ ( 1 ... ( # ` A ) ) ) |-> Z ) |` A ) = ( ( { Z } X. ( NN \ ( 1 ... ( # ` A ) ) ) ) |` A )
58		incom 3805	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A i^i { Z } ) = ( { Z } i^i A )
59		disjsn 4246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A i^i { Z } ) = (/) <-> -. Z e. A )
60	59	biimpri 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( -. Z e. A -> ( A i^i { Z } ) = (/) )
61	58, 60	syl5eqr 2670	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( -. Z e. A -> ( { Z } i^i A ) = (/) )
62		xpdisjres 29411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( { Z } i^i A ) = (/) -> ( ( { Z } X. ( NN \ ( 1 ... ( # ` A ) ) ) ) |` A ) = (/) )
63	61, 62	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. Z e. A -> ( ( { Z } X. ( NN \ ( 1 ... ( # ` A ) ) ) ) |` A ) = (/) )
64	57, 63	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. Z e. A -> ( `' ( x e. ( NN \ ( 1 ... ( # ` A ) ) ) |-> Z ) |` A ) = (/) )
65	53, 64	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A ~< om /\ Z e. V /\ -. Z e. A ) /\ g : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) -> ( `' ( x e. ( NN \ ( 1 ... ( # ` A ) ) ) |-> Z ) |` A ) = (/) )
66	52, 65	uneq12d 3768	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A ~< om /\ Z e. V /\ -. Z e. A ) /\ g : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) -> ( ( `' g |` A ) u. ( `' ( x e. ( NN \ ( 1 ... ( # ` A ) ) ) |-> Z ) |` A ) ) = ( `' g u. (/) ) )
67		un0 3967	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( `' g u. (/) ) = `' g
68	66, 67	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A ~< om /\ Z e. V /\ -. Z e. A ) /\ g : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) -> ( ( `' g |` A ) u. ( `' ( x e. ( NN \ ( 1 ... ( # ` A ) ) ) |-> Z ) |` A ) ) = `' g )
69	47, 68	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A ~< om /\ Z e. V /\ -. Z e. A ) /\ g : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) -> ( `' ( g u. ( x e. ( NN \ ( 1 ... ( # ` A ) ) ) |-> Z ) ) |` A ) = `' g )
70	69	funeqd 5910	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A ~< om /\ Z e. V /\ -. Z e. A ) /\ g : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) -> ( Fun ( `' ( g u. ( x e. ( NN \ ( 1 ... ( # ` A ) ) ) |-> Z ) ) |` A ) <-> Fun `' g ) )
71	43, 70	mpbird 247	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A ~< om /\ Z e. V /\ -. Z e. A ) /\ g : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) -> Fun ( `' ( g u. ( x e. ( NN \ ( 1 ... ( # ` A ) ) ) |-> Z ) ) |` A ) )
72		vex 3203	. . . . . . . . . . 11 |- g e. _V
73		nnex 11026	. . . . . . . . . . . . 13 |- NN e. _V
74		difexg 4808	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( NN e. _V -> ( NN \ ( 1 ... ( # ` A ) ) ) e. _V )
75	73, 74	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( NN \ ( 1 ... ( # ` A ) ) ) e. _V
76	75	mptex 6486	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( NN \ ( 1 ... ( # ` A ) ) ) |-> Z ) e. _V
77	72, 76	unex 6956	. . . . . . . . . 10 |- ( g u. ( x e. ( NN \ ( 1 ... ( # ` A ) ) ) |-> Z ) ) e. _V
78		feq1 6026	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = ( g u. ( x e. ( NN \ ( 1 ... ( # ` A ) ) ) |-> Z ) ) -> ( f : NN --> ( A u. { Z } ) <-> ( g u. ( x e. ( NN \ ( 1 ... ( # ` A ) ) ) |-> Z ) ) : NN --> ( A u. { Z } ) ) )
79		rneq 5351	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = ( g u. ( x e. ( NN \ ( 1 ... ( # ` A ) ) ) |-> Z ) ) -> ran f = ran ( g u. ( x e. ( NN \ ( 1 ... ( # ` A ) ) ) |-> Z ) ) )
80	79	sseq2d 3633	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = ( g u. ( x e. ( NN \ ( 1 ... ( # ` A ) ) ) |-> Z ) ) -> ( A C_ ran f <-> A C_ ran ( g u. ( x e. ( NN \ ( 1 ... ( # ` A ) ) ) |-> Z ) ) ) )
81		cnveq 5296	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = ( g u. ( x e. ( NN \ ( 1 ... ( # ` A ) ) ) |-> Z ) ) -> `' f = `' ( g u. ( x e. ( NN \ ( 1 ... ( # ` A ) ) ) |-> Z ) ) )
82		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = ( g u. ( x e. ( NN \ ( 1 ... ( # ` A ) ) ) |-> Z ) ) -> A = A )
83	81, 82	reseq12d 5397	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = ( g u. ( x e. ( NN \ ( 1 ... ( # ` A ) ) ) |-> Z ) ) -> ( `' f |` A ) = ( `' ( g u. ( x e. ( NN \ ( 1 ... ( # ` A ) ) ) |-> Z ) ) |` A ) )
84	83	funeqd 5910	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = ( g u. ( x e. ( NN \ ( 1 ... ( # ` A ) ) ) |-> Z ) ) -> ( Fun ( `' f |` A ) <-> Fun ( `' ( g u. ( x e. ( NN \ ( 1 ... ( # ` A ) ) ) |-> Z ) ) |` A ) ) )
85	78, 80, 84	3anbi123d 1399	. . . . . . . . . 10 |- ( f = ( g u. ( x e. ( NN \ ( 1 ... ( # ` A ) ) ) |-> Z ) ) -> ( ( f : NN --> ( A u. { Z } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) <-> ( ( g u. ( x e. ( NN \ ( 1 ... ( # ` A ) ) ) |-> Z ) ) : NN --> ( A u. { Z } ) /\ A C_ ran ( g u. ( x e. ( NN \ ( 1 ... ( # ` A ) ) ) |-> Z ) ) /\ Fun ( `' ( g u. ( x e. ( NN \ ( 1 ... ( # ` A ) ) ) |-> Z ) ) |` A ) ) ) )
86	77, 85	spcev 3300	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( g u. ( x e. ( NN \ ( 1 ... ( # ` A ) ) ) |-> Z ) ) : NN --> ( A u. { Z } ) /\ A C_ ran ( g u. ( x e. ( NN \ ( 1 ... ( # ` A ) ) ) |-> Z ) ) /\ Fun ( `' ( g u. ( x e. ( NN \ ( 1 ... ( # ` A ) ) ) |-> Z ) ) |` A ) ) -> E. f ( f : NN --> ( A u. { Z } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) )
87	28, 40, 71, 86	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A ~< om /\ Z e. V /\ -. Z e. A ) /\ g : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) -> E. f ( f : NN --> ( A u. { Z } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) )
88	87	ex 450	. . . . . . 7 |- ( ( A ~< om /\ Z e. V /\ -. Z e. A ) -> ( g : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A -> E. f ( f : NN --> ( A u. { Z } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) )
89	9, 10, 88	exlimd 2087	. . . . . 6 |- ( ( A ~< om /\ Z e. V /\ -. Z e. A ) -> ( E. g g : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A -> E. f ( f : NN --> ( A u. { Z } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) )
90	8, 89	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( A ~< om /\ Z e. V /\ -. Z e. A ) -> E. f ( f : NN --> ( A u. { Z } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) )
91	90	3expia 1267	. . . 4 |- ( ( A ~< om /\ Z e. V ) -> ( -. Z e. A -> E. f ( f : NN --> ( A u. { Z } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) )
92		nnenom 12779	. . . . . . . 8 |- NN ~~ om
93		simpl 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( A ~~ om /\ Z e. V ) -> A ~~ om )
94	93	ensymd 8007	. . . . . . . 8 |- ( ( A ~~ om /\ Z e. V ) -> om ~~ A )
95		entr 8008	. . . . . . . 8 |- ( ( NN ~~ om /\ om ~~ A ) -> NN ~~ A )
96	92, 94, 95	sylancr 695	. . . . . . 7 |- ( ( A ~~ om /\ Z e. V ) -> NN ~~ A )
97		bren 7964	. . . . . . 7 |- ( NN ~~ A <-> E. f f : NN -1-1-onto-> A )
98	96, 97	sylib 208	. . . . . 6 |- ( ( A ~~ om /\ Z e. V ) -> E. f f : NN -1-1-onto-> A )
99		nfv 1843	. . . . . . 7 |- F/ f ( A ~~ om /\ Z e. V )
100		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A ~~ om /\ Z e. V ) /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> f : NN -1-1-onto-> A )
101		f1of 6137	. . . . . . . . . 10 |- ( f : NN -1-1-onto-> A -> f : NN --> A )
102		ssun1 3776	. . . . . . . . . . 11 |- A C_ ( A u. { Z } )
103		fss 6056	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f : NN --> A /\ A C_ ( A u. { Z } ) ) -> f : NN --> ( A u. { Z } ) )
104	102, 103	mpan2 707	. . . . . . . . . 10 |- ( f : NN --> A -> f : NN --> ( A u. { Z } ) )
105	100, 101, 104	3syl 18	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A ~~ om /\ Z e. V ) /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> f : NN --> ( A u. { Z } ) )
106		f1ofo 6144	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : NN -1-1-onto-> A -> f : NN -onto-> A )
107		forn 6118	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : NN -onto-> A -> ran f = A )
108	100, 106, 107	3syl 18	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A ~~ om /\ Z e. V ) /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ran f = A )
109	29, 108	syl5sseqr 3654	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A ~~ om /\ Z e. V ) /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> A C_ ran f )
110		f1ocnv 6149	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : NN -1-1-onto-> A -> `' f : A -1-1-onto-> NN )
111		f1of1 6136	. . . . . . . . . . 11 |- ( `' f : A -1-1-onto-> NN -> `' f : A -1-1-> NN )
112	100, 110, 111	3syl 18	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A ~~ om /\ Z e. V ) /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> `' f : A -1-1-> NN )
113		f1ores 6151	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( `' f : A -1-1-> NN /\ A C_ A ) -> ( `' f |` A ) : A -1-1-onto-> ( `' f " A ) )
114	29, 113	mpan2 707	. . . . . . . . . 10 |- ( `' f : A -1-1-> NN -> ( `' f |` A ) : A -1-1-onto-> ( `' f " A ) )
115		f1ofun 6139	. . . . . . . . . 10 |- ( ( `' f |` A ) : A -1-1-onto-> ( `' f " A ) -> Fun ( `' f |` A ) )
116	112, 114, 115	3syl 18	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A ~~ om /\ Z e. V ) /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> Fun ( `' f |` A ) )
117	105, 109, 116	3jca 1242	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A ~~ om /\ Z e. V ) /\ f : NN -1-1-onto-> A ) -> ( f : NN --> ( A u. { Z } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) )
118	117	ex 450	. . . . . . 7 |- ( ( A ~~ om /\ Z e. V ) -> ( f : NN -1-1-onto-> A -> ( f : NN --> ( A u. { Z } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) )
119	99, 118	eximd 2085	. . . . . 6 |- ( ( A ~~ om /\ Z e. V ) -> ( E. f f : NN -1-1-onto-> A -> E. f ( f : NN --> ( A u. { Z } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) )
120	98, 119	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( A ~~ om /\ Z e. V ) -> E. f ( f : NN --> ( A u. { Z } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) )
121	120	a1d 25	. . . 4 |- ( ( A ~~ om /\ Z e. V ) -> ( -. Z e. A -> E. f ( f : NN --> ( A u. { Z } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) )
122	91, 121	jaoian 824	. . 3 |- ( ( ( A ~< om \/ A ~~ om ) /\ Z e. V ) -> ( -. Z e. A -> E. f ( f : NN --> ( A u. { Z } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) )
123	122	3impia 1261	. 2 |- ( ( ( A ~< om \/ A ~~ om ) /\ Z e. V /\ -. Z e. A ) -> E. f ( f : NN --> ( A u. { Z } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) )
124	1, 123	syl3an1b 1362	1 |- ( ( A ~<_ om /\ Z e. V /\ -. Z e. A ) -> E. f ( f : NN --> ( A u. { Z } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   ran crn 5115   |` cres 5116   "cima 5117   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   -onto->wfo 5886   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   omcom 7065   ~~ cen 7952   ~<_ cdom 7953   ~< csdm 7954   Fincfn 7955   1c1 9937   NNcn 11020   ...cfz 12326   #chash 13117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-hash 13118

This theorem is referenced by:  carsggect  30380