Theorem lduallkr3 34449

Description: The kernels of nonzero functionals are hyperplanes. (Contributed by NM, 22-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lduallkr3.h	|- H = (LSHyp ` W )
lduallkr3.f	|- F = (LFnl ` W )
lduallkr3.k	|- K = (LKer ` W )
lduallkr3.d	|- D = (LDual ` W )
lduallkr3.o	|- .0. = ( 0g ` D )
lduallkr3.w	|- ( ph -> W e. LVec )
lduallkr3.g	|- ( ph -> G e. F )

Assertion

Ref	Expression
lduallkr3	|- ( ph -> ( ( K ` G ) e. H <-> G =/= .0. ) )

Proof of Theorem lduallkr3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . 3 |- ( Base ` W ) = ( Base ` W )
2		eqid 2622	. . 3 |- (Scalar ` W ) = (Scalar ` W )
3		eqid 2622	. . 3 |- ( 0g ` (Scalar ` W ) ) = ( 0g ` (Scalar ` W ) )
4		lduallkr3.h	. . 3 |- H = (LSHyp ` W )
5		lduallkr3.f	. . 3 |- F = (LFnl ` W )
6		lduallkr3.k	. . 3 |- K = (LKer ` W )
7		lduallkr3.w	. . 3 |- ( ph -> W e. LVec )
8		lduallkr3.g	. . 3 |- ( ph -> G e. F )
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	lkrshp3 34393	. 2 |- ( ph -> ( ( K ` G ) e. H <-> G =/= ( ( Base ` W ) X. { ( 0g ` (Scalar ` W ) ) } ) ) )
10		lduallkr3.d	. . . 4 |- D = (LDual ` W )
11		lduallkr3.o	. . . 4 |- .0. = ( 0g ` D )
12		lveclmod 19106	. . . . 5 |- ( W e. LVec -> W e. LMod )
13	7, 12	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> W e. LMod )
14	1, 2, 3, 10, 11, 13	ldual0v 34437	. . 3 |- ( ph -> .0. = ( ( Base ` W ) X. { ( 0g ` (Scalar ` W ) ) } ) )
15	14	neeq2d 2854	. 2 |- ( ph -> ( G =/= .0. <-> G =/= ( ( Base ` W ) X. { ( 0g ` (Scalar ` W ) ) } ) ) )
16	9, 15	bitr4d 271	1 |- ( ph -> ( ( K ` G ) e. H <-> G =/= .0. ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   {csn 4177   X. cxp 5112   ` cfv 5888   Basecbs 15857  Scalarcsca 15944   0gc0g 16100   LModclmod 18863   LVecclvec 19102  LSHypclsh 34262  LFnlclfn 34344  LKerclk 34372  LDualcld 34410

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-subg 17591  df-cntz 17750  df-lsm 18051  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-drng 18749  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-lvec 19103  df-lshyp 34264  df-lfl 34345  df-lkr 34373  df-ldual 34411

This theorem is referenced by:  lcfrlem25  36856  lcfrlem35  36866