Theorem lflvsass 34368

Description: Associative law for (right vector space) scalar product of functionals. (Contributed by NM, 19-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lflass.v	|- V = ( Base ` W )
lflass.r	|- R = (Scalar ` W )
lflass.k	|- K = ( Base ` R )
lflass.t	|- .x. = ( .r ` R )
lflass.f	|- F = (LFnl ` W )
lflass.w	|- ( ph -> W e. LMod )
lflass.x	|- ( ph -> X e. K )
lflass.y	|- ( ph -> Y e. K )
lflass.g	|- ( ph -> G e. F )

Assertion

Ref	Expression
lflvsass	|- ( ph -> ( G oF .x. ( V X. { ( X .x. Y ) } ) ) = ( ( G oF .x. ( V X. { X } ) ) oF .x. ( V X. { Y } ) ) )

Proof of Theorem lflvsass

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lflass.v	. . . . 5 |- V = ( Base ` W )
2		fvex 6201	. . . . 5 |- ( Base ` W ) e. _V
3	1, 2	eqeltri 2697	. . . 4 |- V e. _V
4	3	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> V e. _V )
5		lflass.w	. . . 4 |- ( ph -> W e. LMod )
6		lflass.g	. . . 4 |- ( ph -> G e. F )
7		lflass.r	. . . . 5 |- R = (Scalar ` W )
8		lflass.k	. . . . 5 |- K = ( Base ` R )
9		lflass.f	. . . . 5 |- F = (LFnl ` W )
10	7, 8, 1, 9	lflf 34350	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ G e. F ) -> G : V --> K )
11	5, 6, 10	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> G : V --> K )
12		lflass.x	. . . 4 |- ( ph -> X e. K )
13		fconst6g 6094	. . . 4 |- ( X e. K -> ( V X. { X } ) : V --> K )
14	12, 13	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( V X. { X } ) : V --> K )
15		lflass.y	. . . 4 |- ( ph -> Y e. K )
16		fconst6g 6094	. . . 4 |- ( Y e. K -> ( V X. { Y } ) : V --> K )
17	15, 16	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( V X. { Y } ) : V --> K )
18	7	lmodring 18871	. . . . 5 |- ( W e. LMod -> R e. Ring )
19	5, 18	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> R e. Ring )
20		lflass.t	. . . . 5 |- .x. = ( .r ` R )
21	8, 20	ringass 18564	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. K /\ y e. K /\ z e. K ) ) -> ( ( x .x. y ) .x. z ) = ( x .x. ( y .x. z ) ) )
22	19, 21	sylan 488	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. K /\ y e. K /\ z e. K ) ) -> ( ( x .x. y ) .x. z ) = ( x .x. ( y .x. z ) ) )
23	4, 11, 14, 17, 22	caofass 6931	. 2 |- ( ph -> ( ( G oF .x. ( V X. { X } ) ) oF .x. ( V X. { Y } ) ) = ( G oF .x. ( ( V X. { X } ) oF .x. ( V X. { Y } ) ) ) )
24	4, 12, 15	ofc12 6922	. . 3 |- ( ph -> ( ( V X. { X } ) oF .x. ( V X. { Y } ) ) = ( V X. { ( X .x. Y ) } ) )
25	24	oveq2d 6666	. 2 |- ( ph -> ( G oF .x. ( ( V X. { X } ) oF .x. ( V X. { Y } ) ) ) = ( G oF .x. ( V X. { ( X .x. Y ) } ) ) )
26	23, 25	eqtr2d 2657	1 |- ( ph -> ( G oF .x. ( V X. { ( X .x. Y ) } ) ) = ( ( G oF .x. ( V X. { X } ) ) oF .x. ( V X. { Y } ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   {csn 4177   X. cxp 5112   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   Basecbs 15857   .rcmulr 15942  Scalarcsca 15944   Ringcrg 18547   LModclmod 18863  LFnlclfn 34344

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-plusg 15954  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mgp 18490  df-ring 18549  df-lmod 18865  df-lfl 34345

This theorem is referenced by:  ldualvsass  34428