Theorem lindszr 42258

Description: Any subset of a module over a zero ring is always linearly independent. (Contributed by AV, 27-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
lindszr	|- ( ( M e. LMod /\ -. (Scalar ` M ) e. NzRing /\ S e. ~P ( Base ` M ) ) -> S linIndS M )

Proof of Theorem lindszr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1062	. . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ -. (Scalar ` M ) e. NzRing /\ S e. ~P ( Base ` M ) ) -> -. (Scalar ` M ) e. NzRing )
2		eqid 2622	. . . . . . 7 |- (Scalar ` M ) = (Scalar ` M )
3	2	lmodring 18871	. . . . . 6 |- ( M e. LMod -> (Scalar ` M ) e. Ring )
4	3	3ad2ant1 1082	. . . . 5 |- ( ( M e. LMod /\ -. (Scalar ` M ) e. NzRing /\ S e. ~P ( Base ` M ) ) -> (Scalar ` M ) e. Ring )
5		0ringnnzr 19269	. . . . 5 |- ( (Scalar ` M ) e. Ring -> ( ( # ` ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) = 1 <-> -. (Scalar ` M ) e. NzRing ) )
6	4, 5	syl 17	. . . 4 |- ( ( M e. LMod /\ -. (Scalar ` M ) e. NzRing /\ S e. ~P ( Base ` M ) ) -> ( ( # ` ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) = 1 <-> -. (Scalar ` M ) e. NzRing ) )
7	1, 6	mpbird 247	. . 3 |- ( ( M e. LMod /\ -. (Scalar ` M ) e. NzRing /\ S e. ~P ( Base ` M ) ) -> ( # ` ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) = 1 )
8	7	olcd 408	. 2 |- ( ( M e. LMod /\ -. (Scalar ` M ) e. NzRing /\ S e. ~P ( Base ` M ) ) -> ( ( # ` ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) = 0 \/ ( # ` ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) = 1 ) )
9		eqid 2622	. . 3 |- ( Base ` M ) = ( Base ` M )
10		eqid 2622	. . 3 |- ( Base ` (Scalar ` M ) ) = ( Base ` (Scalar ` M ) )
11	9, 2, 10	lindsrng01 42257	. 2 |- ( ( M e. LMod /\ ( ( # ` ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) = 0 \/ ( # ` ( Base ` (Scalar ` M ) ) ) = 1 ) /\ S e. ~P ( Base ` M ) ) -> S linIndS M )
12	8, 11	syld3an2 1373	1 |- ( ( M e. LMod /\ -. (Scalar ` M ) e. NzRing /\ S e. ~P ( Base ` M ) ) -> S linIndS M )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   ~Pcpw 4158   class class class wbr 4653   ` cfv 5888   0cc0 9936   1c1 9937   #chash 13117   Basecbs 15857  Scalarcsca 15944   Ringcrg 18547   LModclmod 18863  NzRingcnzr 19257   linIndS clininds 42229

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-hash 13118  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-lmod 18865  df-nzr 19258  df-lininds 42231

This theorem is referenced by: (None)