Theorem snlindsntorlem 42259

Description: Lemma for snlindsntor 42260. (Contributed by AV, 15-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
snlindsntor.b	|- B = ( Base ` M )
snlindsntor.r	|- R = (Scalar ` M )
snlindsntor.s	|- S = ( Base ` R )
snlindsntor.0	|- .0. = ( 0g ` R )
snlindsntor.z	|- Z = ( 0g ` M )
snlindsntor.t	|- .x. = ( .s ` M )

Assertion

Ref	Expression
snlindsntorlem	|- ( ( M e. LMod /\ X e. B ) -> ( A. f e. ( S ^m { X } ) ( ( f ( linC ` M ) { X } ) = Z -> ( f ` X ) = .0. ) -> A. s e. S ( ( s .x. X ) = Z -> s = .0. ) ) )

Distinct variable groups:   B, f, s   f, M, s   S, f, s   f, X, s   f, Z, s   .x. , f, s   .0. , f, s

Allowed substitution hints:   R( f, s)

Proof of Theorem snlindsntorlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2623	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B ) /\ s e. S ) -> { <. X , s >. } = { <. X , s >. } )
2		fsng 6404	. . . . . . 7 |- ( ( X e. B /\ s e. S ) -> ( { <. X , s >. } : { X } --> { s } <-> { <. X , s >. } = { <. X , s >. } ) )
3	2	adantll 750	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B ) /\ s e. S ) -> ( { <. X , s >. } : { X } --> { s } <-> { <. X , s >. } = { <. X , s >. } ) )
4	1, 3	mpbird 247	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B ) /\ s e. S ) -> { <. X , s >. } : { X } --> { s } )
5		snssi 4339	. . . . . 6 |- ( s e. S -> { s } C_ S )
6	5	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B ) /\ s e. S ) -> { s } C_ S )
7	4, 6	fssd 6057	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B ) /\ s e. S ) -> { <. X , s >. } : { X } --> S )
8		snlindsntor.s	. . . . . . 7 |- S = ( Base ` R )
9		fvex 6201	. . . . . . 7 |- ( Base ` R ) e. _V
10	8, 9	eqeltri 2697	. . . . . 6 |- S e. _V
11		snex 4908	. . . . . 6 |- { X } e. _V
12	10, 11	pm3.2i 471	. . . . 5 |- ( S e. _V /\ { X } e. _V )
13		elmapg 7870	. . . . 5 |- ( ( S e. _V /\ { X } e. _V ) -> ( { <. X , s >. } e. ( S ^m { X } ) <-> { <. X , s >. } : { X } --> S ) )
14	12, 13	mp1i 13	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B ) /\ s e. S ) -> ( { <. X , s >. } e. ( S ^m { X } ) <-> { <. X , s >. } : { X } --> S ) )
15	7, 14	mpbird 247	. . 3 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B ) /\ s e. S ) -> { <. X , s >. } e. ( S ^m { X } ) )
16		oveq1 6657	. . . . . 6 |- ( f = { <. X , s >. } -> ( f ( linC ` M ) { X } ) = ( { <. X , s >. } ( linC ` M ) { X } ) )
17	16	eqeq1d 2624	. . . . 5 |- ( f = { <. X , s >. } -> ( ( f ( linC ` M ) { X } ) = Z <-> ( { <. X , s >. } ( linC ` M ) { X } ) = Z ) )
18		fveq1 6190	. . . . . 6 |- ( f = { <. X , s >. } -> ( f ` X ) = ( { <. X , s >. } ` X ) )
19	18	eqeq1d 2624	. . . . 5 |- ( f = { <. X , s >. } -> ( ( f ` X ) = .0. <-> ( { <. X , s >. } ` X ) = .0. ) )
20	17, 19	imbi12d 334	. . . 4 |- ( f = { <. X , s >. } -> ( ( ( f ( linC ` M ) { X } ) = Z -> ( f ` X ) = .0. ) <-> ( ( { <. X , s >. } ( linC ` M ) { X } ) = Z -> ( { <. X , s >. } ` X ) = .0. ) ) )
21		snlindsntor.b	. . . . . . . 8 |- B = ( Base ` M )
22		snlindsntor.r	. . . . . . . 8 |- R = (Scalar ` M )
23		snlindsntor.t	. . . . . . . 8 |- .x. = ( .s ` M )
24	21, 22, 8, 23	lincvalsng 42205	. . . . . . 7 |- ( ( M e. LMod /\ X e. B /\ s e. S ) -> ( { <. X , s >. } ( linC ` M ) { X } ) = ( s .x. X ) )
25	24	3expa 1265	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B ) /\ s e. S ) -> ( { <. X , s >. } ( linC ` M ) { X } ) = ( s .x. X ) )
26	25	eqeq1d 2624	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B ) /\ s e. S ) -> ( ( { <. X , s >. } ( linC ` M ) { X } ) = Z <-> ( s .x. X ) = Z ) )
27		fvsng 6447	. . . . . . 7 |- ( ( X e. B /\ s e. S ) -> ( { <. X , s >. } ` X ) = s )
28	27	adantll 750	. . . . . 6 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B ) /\ s e. S ) -> ( { <. X , s >. } ` X ) = s )
29	28	eqeq1d 2624	. . . . 5 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B ) /\ s e. S ) -> ( ( { <. X , s >. } ` X ) = .0. <-> s = .0. ) )
30	26, 29	imbi12d 334	. . . 4 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B ) /\ s e. S ) -> ( ( ( { <. X , s >. } ( linC ` M ) { X } ) = Z -> ( { <. X , s >. } ` X ) = .0. ) <-> ( ( s .x. X ) = Z -> s = .0. ) ) )
31	20, 30	sylan9bbr 737	. . 3 |- ( ( ( ( M e. LMod /\ X e. B ) /\ s e. S ) /\ f = { <. X , s >. } ) -> ( ( ( f ( linC ` M ) { X } ) = Z -> ( f ` X ) = .0. ) <-> ( ( s .x. X ) = Z -> s = .0. ) ) )
32	15, 31	rspcdv 3312	. 2 |- ( ( ( M e. LMod /\ X e. B ) /\ s e. S ) -> ( A. f e. ( S ^m { X } ) ( ( f ( linC ` M ) { X } ) = Z -> ( f ` X ) = .0. ) -> ( ( s .x. X ) = Z -> s = .0. ) ) )
33	32	ralrimdva 2969	1 |- ( ( M e. LMod /\ X e. B ) -> ( A. f e. ( S ^m { X } ) ( ( f ( linC ` M ) { X } ) = Z -> ( f ` X ) = .0. ) -> A. s e. S ( ( s .x. X ) = Z -> s = .0. ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   {csn 4177   <.cop 4183   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   Basecbs 15857  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   0gc0g 16100   LModclmod 18863   linC clinc 42193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-lmod 18865  df-linc 42195

This theorem is referenced by:  snlindsntor  42260