Theorem restntr 20986

Description: An interior in a subspace topology. Willard in General Topology says that there is no analogue of restcls 20985 for interiors. In some sense, that is true. (Contributed by Jeff Hankins, 23-Jan-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
restcls.1	|- X = U. J
restcls.2	|- K = ( J ↾t Y )

Assertion

Ref	Expression
restntr	|- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( ( int ` K ) ` S ) = ( ( ( int ` J ) ` ( S u. ( X \ Y ) ) ) i^i Y ) )

Proof of Theorem restntr

Dummy variables x o are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		restcls.2	. . . . . . 7 |- K = ( J ↾t Y )
2	1	fveq2i 6194	. . . . . 6 |- ( int ` K ) = ( int ` ( J ↾t Y ) )
3	2	fveq1i 6192	. . . . 5 |- ( ( int ` K ) ` S ) = ( ( int ` ( J ↾t Y ) ) ` S )
4		restcls.1	. . . . . . . . . 10 |- X = U. J
5	4	topopn 20711	. . . . . . . . 9 |- ( J e. Top -> X e. J )
6		ssexg 4804	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Y C_ X /\ X e. J ) -> Y e. _V )
7	6	ancoms 469	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. J /\ Y C_ X ) -> Y e. _V )
8	5, 7	sylan 488	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X ) -> Y e. _V )
9		resttop 20964	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ Y e. _V ) -> ( J ↾t Y ) e. Top )
10	8, 9	syldan 487	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X ) -> ( J ↾t Y ) e. Top )
11	10	3adant3 1081	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( J ↾t Y ) e. Top )
12	4	restuni 20966	. . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X ) -> Y = U. ( J ↾t Y ) )
13	12	sseq2d 3633	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X ) -> ( S C_ Y <-> S C_ U. ( J ↾t Y ) ) )
14	13	biimp3a 1432	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> S C_ U. ( J ↾t Y ) )
15		eqid 2622	. . . . . . 7 |- U. ( J ↾t Y ) = U. ( J ↾t Y )
16	15	ntropn 20853	. . . . . 6 |- ( ( ( J ↾t Y ) e. Top /\ S C_ U. ( J ↾t Y ) ) -> ( ( int ` ( J ↾t Y ) ) ` S ) e. ( J ↾t Y ) )
17	11, 14, 16	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( ( int ` ( J ↾t Y ) ) ` S ) e. ( J ↾t Y ) )
18	3, 17	syl5eqel 2705	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( ( int ` K ) ` S ) e. ( J ↾t Y ) )
19		simp1 1061	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> J e. Top )
20		uniexg 6955	. . . . . . . . 9 |- ( J e. Top -> U. J e. _V )
21	4, 20	syl5eqel 2705	. . . . . . . 8 |- ( J e. Top -> X e. _V )
22		ssexg 4804	. . . . . . . 8 |- ( ( Y C_ X /\ X e. _V ) -> Y e. _V )
23	21, 22	sylan2 491	. . . . . . 7 |- ( ( Y C_ X /\ J e. Top ) -> Y e. _V )
24	23	ancoms 469	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X ) -> Y e. _V )
25	24	3adant3 1081	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> Y e. _V )
26		elrest 16088	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ Y e. _V ) -> ( ( ( int ` K ) ` S ) e. ( J ↾t Y ) <-> E. o e. J ( ( int ` K ) ` S ) = ( o i^i Y ) ) )
27	19, 25, 26	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( ( ( int ` K ) ` S ) e. ( J ↾t Y ) <-> E. o e. J ( ( int ` K ) ` S ) = ( o i^i Y ) ) )
28	18, 27	mpbid 222	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> E. o e. J ( ( int ` K ) ` S ) = ( o i^i Y ) )
29	4	eltopss 20712	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. Top /\ o e. J ) -> o C_ X )
30	29	sseld 3602	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. Top /\ o e. J ) -> ( x e. o -> x e. X ) )
31	30	adantrr 753	. . . . . . . . 9 |- ( ( J e. Top /\ ( o e. J /\ ( ( int ` K ) ` S ) = ( o i^i Y ) ) ) -> ( x e. o -> x e. X ) )
32	31	3ad2antl1 1223	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( o e. J /\ ( ( int ` K ) ` S ) = ( o i^i Y ) ) ) -> ( x e. o -> x e. X ) )
33		eldif 3584	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( X \ Y ) <-> ( x e. X /\ -. x e. Y ) )
34	33	simplbi2 655	. . . . . . . . 9 |- ( x e. X -> ( -. x e. Y -> x e. ( X \ Y ) ) )
35	34	orrd 393	. . . . . . . 8 |- ( x e. X -> ( x e. Y \/ x e. ( X \ Y ) ) )
36	32, 35	syl6 35	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( o e. J /\ ( ( int ` K ) ` S ) = ( o i^i Y ) ) ) -> ( x e. o -> ( x e. Y \/ x e. ( X \ Y ) ) ) )
37		elin 3796	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( o i^i Y ) <-> ( x e. o /\ x e. Y ) )
38		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( int ` K ) ` S ) = ( o i^i Y ) -> ( x e. ( ( int ` K ) ` S ) <-> x e. ( o i^i Y ) ) )
39		elun1 3780	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( ( int ` K ) ` S ) -> x e. ( ( ( int ` K ) ` S ) u. ( X \ Y ) ) )
40	38, 39	syl6bir 244	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( int ` K ) ` S ) = ( o i^i Y ) -> ( x e. ( o i^i Y ) -> x e. ( ( ( int ` K ) ` S ) u. ( X \ Y ) ) ) )
41	40	ad2antll 765	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( o e. J /\ ( ( int ` K ) ` S ) = ( o i^i Y ) ) ) -> ( x e. ( o i^i Y ) -> x e. ( ( ( int ` K ) ` S ) u. ( X \ Y ) ) ) )
42	37, 41	syl5bir 233	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( o e. J /\ ( ( int ` K ) ` S ) = ( o i^i Y ) ) ) -> ( ( x e. o /\ x e. Y ) -> x e. ( ( ( int ` K ) ` S ) u. ( X \ Y ) ) ) )
43	42	expdimp 453	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( o e. J /\ ( ( int ` K ) ` S ) = ( o i^i Y ) ) ) /\ x e. o ) -> ( x e. Y -> x e. ( ( ( int ` K ) ` S ) u. ( X \ Y ) ) ) )
44		elun2 3781	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( X \ Y ) -> x e. ( ( ( int ` K ) ` S ) u. ( X \ Y ) ) )
45	44	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( o e. J /\ ( ( int ` K ) ` S ) = ( o i^i Y ) ) ) /\ x e. o ) -> ( x e. ( X \ Y ) -> x e. ( ( ( int ` K ) ` S ) u. ( X \ Y ) ) ) )
46	43, 45	jaod 395	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( o e. J /\ ( ( int ` K ) ` S ) = ( o i^i Y ) ) ) /\ x e. o ) -> ( ( x e. Y \/ x e. ( X \ Y ) ) -> x e. ( ( ( int ` K ) ` S ) u. ( X \ Y ) ) ) )
47	46	ex 450	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( o e. J /\ ( ( int ` K ) ` S ) = ( o i^i Y ) ) ) -> ( x e. o -> ( ( x e. Y \/ x e. ( X \ Y ) ) -> x e. ( ( ( int ` K ) ` S ) u. ( X \ Y ) ) ) ) )
48	36, 47	mpdd 43	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( o e. J /\ ( ( int ` K ) ` S ) = ( o i^i Y ) ) ) -> ( x e. o -> x e. ( ( ( int ` K ) ` S ) u. ( X \ Y ) ) ) )
49	48	ssrdv 3609	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( o e. J /\ ( ( int ` K ) ` S ) = ( o i^i Y ) ) ) -> o C_ ( ( ( int ` K ) ` S ) u. ( X \ Y ) ) )
50	11	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( o e. J /\ ( ( int ` K ) ` S ) = ( o i^i Y ) ) ) -> ( J ↾t Y ) e. Top )
51	1, 50	syl5eqel 2705	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( o e. J /\ ( ( int ` K ) ` S ) = ( o i^i Y ) ) ) -> K e. Top )
52	14	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( o e. J /\ ( ( int ` K ) ` S ) = ( o i^i Y ) ) ) -> S C_ U. ( J ↾t Y ) )
53	1	unieqi 4445	. . . . . . . . 9 |- U. K = U. ( J ↾t Y )
54	53	eqcomi 2631	. . . . . . . 8 |- U. ( J ↾t Y ) = U. K
55	54	ntrss2 20861	. . . . . . 7 |- ( ( K e. Top /\ S C_ U. ( J ↾t Y ) ) -> ( ( int ` K ) ` S ) C_ S )
56	51, 52, 55	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( o e. J /\ ( ( int ` K ) ` S ) = ( o i^i Y ) ) ) -> ( ( int ` K ) ` S ) C_ S )
57		unss1 3782	. . . . . 6 |- ( ( ( int ` K ) ` S ) C_ S -> ( ( ( int ` K ) ` S ) u. ( X \ Y ) ) C_ ( S u. ( X \ Y ) ) )
58	56, 57	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( o e. J /\ ( ( int ` K ) ` S ) = ( o i^i Y ) ) ) -> ( ( ( int ` K ) ` S ) u. ( X \ Y ) ) C_ ( S u. ( X \ Y ) ) )
59	49, 58	sstrd 3613	. . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( o e. J /\ ( ( int ` K ) ` S ) = ( o i^i Y ) ) ) -> o C_ ( S u. ( X \ Y ) ) )
60		simpl1 1064	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( o e. J /\ o C_ ( S u. ( X \ Y ) ) ) ) -> J e. Top )
61		sstr 3611	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( S C_ Y /\ Y C_ X ) -> S C_ X )
62	61	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Y C_ X /\ S C_ Y ) -> S C_ X )
63	62	3adant1 1079	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> S C_ X )
64	63	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( o e. J /\ o C_ ( S u. ( X \ Y ) ) ) ) -> S C_ X )
65		difss 3737	. . . . . . . . . . 11 |- ( X \ Y ) C_ X
66		unss 3787	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( S C_ X /\ ( X \ Y ) C_ X ) <-> ( S u. ( X \ Y ) ) C_ X )
67	64, 65, 66	sylanblc 696	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( o e. J /\ o C_ ( S u. ( X \ Y ) ) ) ) -> ( S u. ( X \ Y ) ) C_ X )
68		simprl 794	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( o e. J /\ o C_ ( S u. ( X \ Y ) ) ) ) -> o e. J )
69		simprr 796	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( o e. J /\ o C_ ( S u. ( X \ Y ) ) ) ) -> o C_ ( S u. ( X \ Y ) ) )
70	4	ssntr 20862	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. Top /\ ( S u. ( X \ Y ) ) C_ X ) /\ ( o e. J /\ o C_ ( S u. ( X \ Y ) ) ) ) -> o C_ ( ( int ` J ) ` ( S u. ( X \ Y ) ) ) )
71	60, 67, 68, 69, 70	syl22anc 1327	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( o e. J /\ o C_ ( S u. ( X \ Y ) ) ) ) -> o C_ ( ( int ` J ) ` ( S u. ( X \ Y ) ) ) )
72		ssrin 3838	. . . . . . . . 9 |- ( o C_ ( ( int ` J ) ` ( S u. ( X \ Y ) ) ) -> ( o i^i Y ) C_ ( ( ( int ` J ) ` ( S u. ( X \ Y ) ) ) i^i Y ) )
73	71, 72	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( o e. J /\ o C_ ( S u. ( X \ Y ) ) ) ) -> ( o i^i Y ) C_ ( ( ( int ` J ) ` ( S u. ( X \ Y ) ) ) i^i Y ) )
74		sseq1 3626	. . . . . . . 8 |- ( ( ( int ` K ) ` S ) = ( o i^i Y ) -> ( ( ( int ` K ) ` S ) C_ ( ( ( int ` J ) ` ( S u. ( X \ Y ) ) ) i^i Y ) <-> ( o i^i Y ) C_ ( ( ( int ` J ) ` ( S u. ( X \ Y ) ) ) i^i Y ) ) )
75	73, 74	syl5ibrcom 237	. . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( o e. J /\ o C_ ( S u. ( X \ Y ) ) ) ) -> ( ( ( int ` K ) ` S ) = ( o i^i Y ) -> ( ( int ` K ) ` S ) C_ ( ( ( int ` J ) ` ( S u. ( X \ Y ) ) ) i^i Y ) ) )
76	75	expr 643	. . . . . 6 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ o e. J ) -> ( o C_ ( S u. ( X \ Y ) ) -> ( ( ( int ` K ) ` S ) = ( o i^i Y ) -> ( ( int ` K ) ` S ) C_ ( ( ( int ` J ) ` ( S u. ( X \ Y ) ) ) i^i Y ) ) ) )
77	76	com23 86	. . . . 5 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ o e. J ) -> ( ( ( int ` K ) ` S ) = ( o i^i Y ) -> ( o C_ ( S u. ( X \ Y ) ) -> ( ( int ` K ) ` S ) C_ ( ( ( int ` J ) ` ( S u. ( X \ Y ) ) ) i^i Y ) ) ) )
78	77	impr 649	. . . 4 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( o e. J /\ ( ( int ` K ) ` S ) = ( o i^i Y ) ) ) -> ( o C_ ( S u. ( X \ Y ) ) -> ( ( int ` K ) ` S ) C_ ( ( ( int ` J ) ` ( S u. ( X \ Y ) ) ) i^i Y ) ) )
79	59, 78	mpd 15	. . 3 |- ( ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) /\ ( o e. J /\ ( ( int ` K ) ` S ) = ( o i^i Y ) ) ) -> ( ( int ` K ) ` S ) C_ ( ( ( int ` J ) ` ( S u. ( X \ Y ) ) ) i^i Y ) )
80	28, 79	rexlimddv 3035	. 2 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( ( int ` K ) ` S ) C_ ( ( ( int ` J ) ` ( S u. ( X \ Y ) ) ) i^i Y ) )
81	1, 11	syl5eqel 2705	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> K e. Top )
82	8	3adant3 1081	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> Y e. _V )
83	63, 65, 66	sylanblc 696	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( S u. ( X \ Y ) ) C_ X )
84	4	ntropn 20853	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ ( S u. ( X \ Y ) ) C_ X ) -> ( ( int ` J ) ` ( S u. ( X \ Y ) ) ) e. J )
85	19, 83, 84	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( ( int ` J ) ` ( S u. ( X \ Y ) ) ) e. J )
86		elrestr 16089	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ Y e. _V /\ ( ( int ` J ) ` ( S u. ( X \ Y ) ) ) e. J ) -> ( ( ( int ` J ) ` ( S u. ( X \ Y ) ) ) i^i Y ) e. ( J ↾t Y ) )
87	19, 82, 85, 86	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( ( ( int ` J ) ` ( S u. ( X \ Y ) ) ) i^i Y ) e. ( J ↾t Y ) )
88	87, 1	syl6eleqr 2712	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( ( ( int ` J ) ` ( S u. ( X \ Y ) ) ) i^i Y ) e. K )
89	4	ntrss2 20861	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ ( S u. ( X \ Y ) ) C_ X ) -> ( ( int ` J ) ` ( S u. ( X \ Y ) ) ) C_ ( S u. ( X \ Y ) ) )
90	19, 83, 89	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( ( int ` J ) ` ( S u. ( X \ Y ) ) ) C_ ( S u. ( X \ Y ) ) )
91		ssrin 3838	. . . . 5 |- ( ( ( int ` J ) ` ( S u. ( X \ Y ) ) ) C_ ( S u. ( X \ Y ) ) -> ( ( ( int ` J ) ` ( S u. ( X \ Y ) ) ) i^i Y ) C_ ( ( S u. ( X \ Y ) ) i^i Y ) )
92	90, 91	syl 17	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( ( ( int ` J ) ` ( S u. ( X \ Y ) ) ) i^i Y ) C_ ( ( S u. ( X \ Y ) ) i^i Y ) )
93		elin 3796	. . . . . . 7 |- ( x e. ( ( S u. ( X \ Y ) ) i^i Y ) <-> ( x e. ( S u. ( X \ Y ) ) /\ x e. Y ) )
94		elun 3753	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( S u. ( X \ Y ) ) <-> ( x e. S \/ x e. ( X \ Y ) ) )
95		orcom 402	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. S \/ x e. ( X \ Y ) ) <-> ( x e. ( X \ Y ) \/ x e. S ) )
96		df-or 385	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( X \ Y ) \/ x e. S ) <-> ( -. x e. ( X \ Y ) -> x e. S ) )
97	95, 96	bitri 264	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. S \/ x e. ( X \ Y ) ) <-> ( -. x e. ( X \ Y ) -> x e. S ) )
98	94, 97	bitri 264	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( S u. ( X \ Y ) ) <-> ( -. x e. ( X \ Y ) -> x e. S ) )
99	98	anbi1i 731	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( S u. ( X \ Y ) ) /\ x e. Y ) <-> ( ( -. x e. ( X \ Y ) -> x e. S ) /\ x e. Y ) )
100	93, 99	bitri 264	. . . . . 6 |- ( x e. ( ( S u. ( X \ Y ) ) i^i Y ) <-> ( ( -. x e. ( X \ Y ) -> x e. S ) /\ x e. Y ) )
101		elndif 3734	. . . . . . . . 9 |- ( x e. Y -> -. x e. ( X \ Y ) )
102		pm2.27 42	. . . . . . . . 9 |- ( -. x e. ( X \ Y ) -> ( ( -. x e. ( X \ Y ) -> x e. S ) -> x e. S ) )
103	101, 102	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( x e. Y -> ( ( -. x e. ( X \ Y ) -> x e. S ) -> x e. S ) )
104	103	impcom 446	. . . . . . 7 |- ( ( ( -. x e. ( X \ Y ) -> x e. S ) /\ x e. Y ) -> x e. S )
105	104	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( ( ( -. x e. ( X \ Y ) -> x e. S ) /\ x e. Y ) -> x e. S ) )
106	100, 105	syl5bi 232	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( x e. ( ( S u. ( X \ Y ) ) i^i Y ) -> x e. S ) )
107	106	ssrdv 3609	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( ( S u. ( X \ Y ) ) i^i Y ) C_ S )
108	92, 107	sstrd 3613	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( ( ( int ` J ) ` ( S u. ( X \ Y ) ) ) i^i Y ) C_ S )
109	54	ssntr 20862	. . 3 |- ( ( ( K e. Top /\ S C_ U. ( J ↾t Y ) ) /\ ( ( ( ( int ` J ) ` ( S u. ( X \ Y ) ) ) i^i Y ) e. K /\ ( ( ( int ` J ) ` ( S u. ( X \ Y ) ) ) i^i Y ) C_ S ) ) -> ( ( ( int ` J ) ` ( S u. ( X \ Y ) ) ) i^i Y ) C_ ( ( int ` K ) ` S ) )
110	81, 14, 88, 108, 109	syl22anc 1327	. 2 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( ( ( int ` J ) ` ( S u. ( X \ Y ) ) ) i^i Y ) C_ ( ( int ` K ) ` S ) )
111	80, 110	eqssd 3620	1 |- ( ( J e. Top /\ Y C_ X /\ S C_ Y ) -> ( ( int ` K ) ` S ) = ( ( ( int ` J ) ` ( S u. ( X \ Y ) ) ) i^i Y ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   U.cuni 4436   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ↾_t crest 16081   Topctop 20698   intcnt 20821

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-fin 7959  df-fi 8317  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-ntr 20824

This theorem is referenced by:  llycmpkgen2  21353  dvreslem  23673  dvres2lem  23674  dvaddbr  23701  dvmulbr  23702  dvcnvrelem2  23781  limciccioolb  39853  limcicciooub  39869  ioccncflimc  40098  icocncflimc  40102  cncfiooicclem1  40106  fourierdlem62  40385