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Theorem lmss 21102
Description: Limit on a subspace. (Contributed by NM, 30-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Dec-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lmss.1 |- K = ( J ↾t Y )
lmss.2 |- Z = ( ZZ>= ` M )
lmss.3 |- ( ph -> Y e. V )
lmss.4 |- ( ph -> J e. Top )
lmss.5 |- ( ph -> P e. Y )
lmss.6 |- ( ph -> M e. ZZ )
lmss.7 |- ( ph -> F : Z --> Y )
Assertion
Ref Expression
lmss |- ( ph -> ( F ( ~~> t ` J ) P <-> F ( ~~> t ` K ) P ) )
Proof of Theorem lmss
Dummy variables j k u v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmss.4 . . . . . 6 |- ( ph -> J e. Top )
2 eqid 2622 . . . . . . 7 |- U. J = U. J
32toptopon 20722 . . . . . 6 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` U. J ) )
41, 3sylib 208 . . . . 5 |- ( ph -> J e. (TopOn ` U. J ) )
5 lmcl 21101 . . . . 5 |- ( ( J e. (TopOn ` U. J ) /\ F ( ~~> t ` J ) P ) -> P e. U. J )
64, 5sylan 488 . . . 4 |- ( ( ph /\ F ( ~~> t ` J ) P ) -> P e. U. J )
7 lmfss 21100 . . . . . . 7 |- ( ( J e. (TopOn ` U. J ) /\ F ( ~~> t ` J ) P ) -> F C_ ( CC X. U. J ) )
84, 7sylan 488 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ F ( ~~> t ` J ) P ) -> F C_ ( CC X. U. J ) )
9 rnss 5354 . . . . . 6 |- ( F C_ ( CC X. U. J ) -> ran F C_ ran ( CC X. U. J ) )
108, 9syl 17 . . . . 5 |- ( ( ph /\ F ( ~~> t ` J ) P ) -> ran F C_ ran ( CC X. U. J ) )
11 rnxpss 5566 . . . . 5 |- ran ( CC X. U. J ) C_ U. J
1210, 11syl6ss 3615 . . . 4 |- ( ( ph /\ F ( ~~> t ` J ) P ) -> ran F C_ U. J )
136, 12jca 554 . . 3 |- ( ( ph /\ F ( ~~> t ` J ) P ) -> ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) )
1413ex 450 . 2 |- ( ph -> ( F ( ~~> t ` J ) P -> ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) ) )
15 inss2 3834 . . . . 5 |- ( Y i^i U. J ) C_ U. J
16 lmss.1 . . . . . . 7 |- K = ( J ↾t Y )
17 lmss.3 . . . . . . . 8 |- ( ph -> Y e. V )
18 resttopon2 20972 . . . . . . . 8 |- ( ( J e. (TopOn ` U. J ) /\ Y e. V ) -> ( J ↾t Y ) e. (TopOn ` ( Y i^i U. J ) ) )
194, 17, 18syl2anc 693 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( J ↾t Y ) e. (TopOn ` ( Y i^i U. J ) ) )
2016, 19syl5eqel 2705 . . . . . 6 |- ( ph -> K e. (TopOn ` ( Y i^i U. J ) ) )
21 lmcl 21101 . . . . . 6 |- ( ( K e. (TopOn ` ( Y i^i U. J ) ) /\ F ( ~~> t ` K ) P ) -> P e. ( Y i^i U. J ) )
2220, 21sylan 488 . . . . 5 |- ( ( ph /\ F ( ~~> t ` K ) P ) -> P e. ( Y i^i U. J ) )
2315, 22sseldi 3601 . . . 4 |- ( ( ph /\ F ( ~~> t ` K ) P ) -> P e. U. J )
24 lmfss 21100 . . . . . . . 8 |- ( ( K e. (TopOn ` ( Y i^i U. J ) ) /\ F ( ~~> t ` K ) P ) -> F C_ ( CC X. ( Y i^i U. J ) ) )
2520, 24sylan 488 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ F ( ~~> t ` K ) P ) -> F C_ ( CC X. ( Y i^i U. J ) ) )
26 rnss 5354 . . . . . . 7 |- ( F C_ ( CC X. ( Y i^i U. J ) ) -> ran F C_ ran ( CC X. ( Y i^i U. J ) ) )
2725, 26syl 17 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ F ( ~~> t ` K ) P ) -> ran F C_ ran ( CC X. ( Y i^i U. J ) ) )
28 rnxpss 5566 . . . . . 6 |- ran ( CC X. ( Y i^i U. J ) ) C_ ( Y i^i U. J )
2927, 28syl6ss 3615 . . . . 5 |- ( ( ph /\ F ( ~~> t ` K ) P ) -> ran F C_ ( Y i^i U. J ) )
3029, 15syl6ss 3615 . . . 4 |- ( ( ph /\ F ( ~~> t ` K ) P ) -> ran F C_ U. J )
3123, 30jca 554 . . 3 |- ( ( ph /\ F ( ~~> t ` K ) P ) -> ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) )
3231ex 450 . 2 |- ( ph -> ( F ( ~~> t ` K ) P -> ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) ) )
33 simprl 794 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) ) -> P e. U. J )
34 lmss.5 . . . . . . . 8 |- ( ph -> P e. Y )
3534adantr 481 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) ) -> P e. Y )
3635, 33elind 3798 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) ) -> P e. ( Y i^i U. J ) )
3733, 362thd 255 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) ) -> ( P e. U. J <-> P e. ( Y i^i U. J ) ) )
3816eleq2i 2693 . . . . . . . . 9 |- ( v e. K <-> v e. ( J ↾t Y ) )
391adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) ) -> J e. Top )
4017adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) ) -> Y e. V )
41 elrest 16088 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. Top /\ Y e. V ) -> ( v e. ( J ↾t Y ) <-> E. u e. J v = ( u i^i Y ) ) )
4239, 40, 41syl2anc 693 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) ) -> ( v e. ( J ↾t Y ) <-> E. u e. J v = ( u i^i Y ) ) )
4342biimpa 501 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) ) /\ v e. ( J ↾t Y ) ) -> E. u e. J v = ( u i^i Y ) )
4438, 43sylan2b 492 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) ) /\ v e. K ) -> E. u e. J v = ( u i^i Y ) )
45 r19.29r 3073 . . . . . . . . . 10 |- ( ( E. u e. J v = ( u i^i Y ) /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) ) -> E. u e. J ( v = ( u i^i Y ) /\ ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) ) )
4635biantrud 528 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) ) -> ( P e. u <-> ( P e. u /\ P e. Y ) ) )
47 elin 3796 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( P e. ( u i^i Y ) <-> ( P e. u /\ P e. Y ) )
4846, 47syl6bbr 278 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) ) -> ( P e. u <-> P e. ( u i^i Y ) ) )
49 lmss.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- Z = ( ZZ>= ` M )
5049uztrn2 11705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> k e. Z )
51 lmss.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> F : Z --> Y )
5251adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) ) -> F : Z --> Y )
5352ffvelrnda 6359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) ) /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) e. Y )
5453biantrud 528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) ) /\ k e. Z ) -> ( ( F ` k ) e. u <-> ( ( F ` k ) e. u /\ ( F ` k ) e. Y ) ) )
55 elin 3796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( F ` k ) e. ( u i^i Y ) <-> ( ( F ` k ) e. u /\ ( F ` k ) e. Y ) )
5654, 55syl6bbr 278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) ) /\ k e. Z ) -> ( ( F ` k ) e. u <-> ( F ` k ) e. ( u i^i Y ) ) )
5750, 56sylan2 491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) ) /\ ( j e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) ) -> ( ( F ` k ) e. u <-> ( F ` k ) e. ( u i^i Y ) ) )
5857anassrs 680 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) ) /\ j e. Z ) /\ k e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( F ` k ) e. u <-> ( F ` k ) e. ( u i^i Y ) ) )
5958ralbidva 2985 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) ) /\ j e. Z ) -> ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u <-> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. ( u i^i Y ) ) )
6059rexbidva 3049 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) ) -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u <-> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. ( u i^i Y ) ) )
6148, 60imbi12d 334 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) ) -> ( ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) <-> ( P e. ( u i^i Y ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. ( u i^i Y ) ) ) )
6261adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) ) /\ u e. J ) -> ( ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) <-> ( P e. ( u i^i Y ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. ( u i^i Y ) ) ) )
6362biimpd 219 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) ) /\ u e. J ) -> ( ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) -> ( P e. ( u i^i Y ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. ( u i^i Y ) ) ) )
64 eleq2 2690 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( v = ( u i^i Y ) -> ( P e. v <-> P e. ( u i^i Y ) ) )
65 eleq2 2690 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( v = ( u i^i Y ) -> ( ( F ` k ) e. v <-> ( F ` k ) e. ( u i^i Y ) ) )
6665rexralbidv 3058 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( v = ( u i^i Y ) -> ( E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. v <-> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. ( u i^i Y ) ) )
6764, 66imbi12d 334 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( v = ( u i^i Y ) -> ( ( P e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. v ) <-> ( P e. ( u i^i Y ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. ( u i^i Y ) ) ) )
6867imbi2d 330 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( v = ( u i^i Y ) -> ( ( ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) -> ( P e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. v ) ) <-> ( ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) -> ( P e. ( u i^i Y ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. ( u i^i Y ) ) ) ) )
6963, 68syl5ibrcom 237 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) ) /\ u e. J ) -> ( v = ( u i^i Y ) -> ( ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) -> ( P e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. v ) ) ) )
7069impd 447 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) ) /\ u e. J ) -> ( ( v = ( u i^i Y ) /\ ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) ) -> ( P e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. v ) ) )
7170rexlimdva 3031 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) ) -> ( E. u e. J ( v = ( u i^i Y ) /\ ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) ) -> ( P e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. v ) ) )
7245, 71syl5 34 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) ) -> ( ( E. u e. J v = ( u i^i Y ) /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) ) -> ( P e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. v ) ) )
7372expdimp 453 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) ) /\ E. u e. J v = ( u i^i Y ) ) -> ( A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) -> ( P e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. v ) ) )
7444, 73syldan 487 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) ) /\ v e. K ) -> ( A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) -> ( P e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. v ) ) )
7574ralrimdva 2969 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) ) -> ( A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) -> A. v e. K ( P e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. v ) ) )
7639adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) ) /\ u e. J ) -> J e. Top )
7740adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) ) /\ u e. J ) -> Y e. V )
78 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) ) /\ u e. J ) -> u e. J )
79 elrestr 16089 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. Top /\ Y e. V /\ u e. J ) -> ( u i^i Y ) e. ( J ↾t Y ) )
8076, 77, 78, 79syl3anc 1326 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) ) /\ u e. J ) -> ( u i^i Y ) e. ( J ↾t Y ) )
8180, 16syl6eleqr 2712 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) ) /\ u e. J ) -> ( u i^i Y ) e. K )
8267rspcv 3305 . . . . . . . . 9 |- ( ( u i^i Y ) e. K -> ( A. v e. K ( P e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. v ) -> ( P e. ( u i^i Y ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. ( u i^i Y ) ) ) )
8381, 82syl 17 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) ) /\ u e. J ) -> ( A. v e. K ( P e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. v ) -> ( P e. ( u i^i Y ) -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. ( u i^i Y ) ) ) )
8483, 62sylibrd 249 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) ) /\ u e. J ) -> ( A. v e. K ( P e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. v ) -> ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) ) )
8584ralrimdva 2969 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) ) -> ( A. v e. K ( P e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. v ) -> A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) ) )
8675, 85impbid 202 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) ) -> ( A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) <-> A. v e. K ( P e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. v ) ) )
8737, 86anbi12d 747 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) ) -> ( ( P e. U. J /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) ) <-> ( P e. ( Y i^i U. J ) /\ A. v e. K ( P e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. v ) ) ) )
8839, 3sylib 208 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) ) -> J e. (TopOn ` U. J ) )
89 lmss.6 . . . . . 6 |- ( ph -> M e. ZZ )
9089adantr 481 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) ) -> M e. ZZ )
91 ffn 6045 . . . . . . 7 |- ( F : Z --> Y -> F Fn Z )
9252, 91syl 17 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) ) -> F Fn Z )
93 simprr 796 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) ) -> ran F C_ U. J )
94 df-f 5892 . . . . . 6 |- ( F : Z --> U. J <-> ( F Fn Z /\ ran F C_ U. J ) )
9592, 93, 94sylanbrc 698 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) ) -> F : Z --> U. J )
96 eqidd 2623 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) ) /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = ( F ` k ) )
9788, 49, 90, 95, 96lmbrf 21064 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) ) -> ( F ( ~~> t ` J ) P <-> ( P e. U. J /\ A. u e. J ( P e. u -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. u ) ) ) )
9820adantr 481 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) ) -> K e. (TopOn ` ( Y i^i U. J ) ) )
99 frn 6053 . . . . . . . 8 |- ( F : Z --> Y -> ran F C_ Y )
10052, 99syl 17 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) ) -> ran F C_ Y )
101100, 93ssind 3837 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) ) -> ran F C_ ( Y i^i U. J ) )
102 df-f 5892 . . . . . 6 |- ( F : Z --> ( Y i^i U. J ) <-> ( F Fn Z /\ ran F C_ ( Y i^i U. J ) ) )
10392, 101, 102sylanbrc 698 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) ) -> F : Z --> ( Y i^i U. J ) )
10498, 49, 90, 103, 96lmbrf 21064 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) ) -> ( F ( ~~> t ` K ) P <-> ( P e. ( Y i^i U. J ) /\ A. v e. K ( P e. v -> E. j e. Z A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( F ` k ) e. v ) ) ) )
10587, 97, 1043bitr4d 300 . . 3 |- ( ( ph /\ ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) ) -> ( F ( ~~> t ` J ) P <-> F ( ~~> t ` K ) P ) )
106105ex 450 . 2 |- ( ph -> ( ( P e. U. J /\ ran F C_ U. J ) -> ( F ( ~~> t ` J ) P <-> F ( ~~> t ` K ) P ) ) )
10714, 32, 106pm5.21ndd 369 1 |- ( ph -> ( F ( ~~> t ` J ) P <-> F ( ~~> t ` K ) P ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   i^i cin 3573   C_ wss 3574   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   ran crn 5115   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ↾t crest 16081   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   ~~> tclm 21030
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-oadd 7564  df-er 7742  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-neg 10269  df-z 11378  df-uz 11688  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-lm 21033
This theorem is referenced by:  1stckgen  21357  minvecolem4b  27734  minvecolem4  27736  hhsscms  28136  lmlim  29993  climreeq  39845  xlimclim  40050
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