Theorem minvecolem4b 27734

Description: Lemma for minveco 27740. The convergent point of the cauchy sequence F is a member of the base space. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
minveco.x	|- X = ( BaseSet ` U )
minveco.m	|- M = ( -v ` U )
minveco.n	|- N = ( normCV ` U )
minveco.y	|- Y = ( BaseSet ` W )
minveco.u	|- ( ph -> U e. CPreHil OLD )
minveco.w	|- ( ph -> W e. ( ( SubSp ` U ) i^i CBan ) )
minveco.a	|- ( ph -> A e. X )
minveco.d	|- D = ( IndMet ` U )
minveco.j	|- J = ( MetOpen ` D )
minveco.r	|- R = ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A M y ) ) )
minveco.s	|- S = inf ( R , RR , < )
minveco.f	|- ( ph -> F : NN --> Y )
minveco.1	|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( A D ( F ` n ) ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) )

Assertion

Ref	Expression
minvecolem4b	|- ( ph -> ( ( ~~> t ` J ) ` F ) e. X )

Distinct variable groups:   y, n, F   n, J, y   y, M   y, N   ph, n, y   S, n, y   A, n, y   D, n, y   y, U   y, W   n, X   n, Y, y

Allowed substitution hints:   R( y, n)   U( n)   M( n)   N( n)   W( n)   X( y)

Proof of Theorem minvecolem4b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		minveco.u	. . . 4 |- ( ph -> U e. CPreHil OLD )
2		phnv 27669	. . . 4 |- ( U e. CPreHil OLD -> U e. NrmCVec )
3	1, 2	syl 17	. . 3 |- ( ph -> U e. NrmCVec )
4		minveco.w	. . . . 5 |- ( ph -> W e. ( ( SubSp ` U ) i^i CBan ) )
5		elin 3796	. . . . 5 |- ( W e. ( ( SubSp ` U ) i^i CBan ) <-> ( W e. ( SubSp ` U ) /\ W e. CBan ) )
6	4, 5	sylib 208	. . . 4 |- ( ph -> ( W e. ( SubSp ` U ) /\ W e. CBan ) )
7	6	simpld 475	. . 3 |- ( ph -> W e. ( SubSp ` U ) )
8		minveco.x	. . . 4 |- X = ( BaseSet ` U )
9		minveco.y	. . . 4 |- Y = ( BaseSet ` W )
10		eqid 2622	. . . 4 |- ( SubSp ` U ) = ( SubSp ` U )
11	8, 9, 10	sspba 27582	. . 3 |- ( ( U e. NrmCVec /\ W e. ( SubSp ` U ) ) -> Y C_ X )
12	3, 7, 11	syl2anc 693	. 2 |- ( ph -> Y C_ X )
13		minveco.d	. . . . . . . 8 |- D = ( IndMet ` U )
14	8, 13	imsxmet 27547	. . . . . . 7 |- ( U e. NrmCVec -> D e. ( *Met ` X ) )
15	3, 14	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> D e. ( *Met ` X ) )
16		minveco.j	. . . . . . 7 |- J = ( MetOpen ` D )
17	16	methaus 22325	. . . . . 6 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> J e. Haus )
18	15, 17	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> J e. Haus )
19		lmfun 21185	. . . . 5 |- ( J e. Haus -> Fun ( ~~> t ` J ) )
20	18, 19	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> Fun ( ~~> t ` J ) )
21		minveco.m	. . . . . 6 |- M = ( -v ` U )
22		minveco.n	. . . . . 6 |- N = ( normCV ` U )
23		minveco.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. X )
24		minveco.r	. . . . . 6 |- R = ran ( y e. Y |-> ( N ` ( A M y ) ) )
25		minveco.s	. . . . . 6 |- S = inf ( R , RR , < )
26		minveco.f	. . . . . 6 |- ( ph -> F : NN --> Y )
27		minveco.1	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ( A D ( F ` n ) ) ^ 2 ) <_ ( ( S ^ 2 ) + ( 1 / n ) ) )
28	8, 21, 22, 9, 1, 4, 23, 13, 16, 24, 25, 26, 27	minvecolem4a 27733	. . . . 5 |- ( ph -> F ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) ( ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) ` F ) )
29		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( J ↾t Y ) = ( J ↾t Y )
30		nnuz 11723	. . . . . . 7 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
31		fvex 6201	. . . . . . . . 9 |- ( BaseSet ` W ) e. _V
32	9, 31	eqeltri 2697	. . . . . . . 8 |- Y e. _V
33	32	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> Y e. _V )
34	16	mopntop 22245	. . . . . . . 8 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> J e. Top )
35	15, 34	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> J e. Top )
36		xmetres2 22166	. . . . . . . . . 10 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ Y C_ X ) -> ( D |` ( Y X. Y ) ) e. ( *Met ` Y ) )
37	15, 12, 36	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( D |` ( Y X. Y ) ) e. ( *Met ` Y ) )
38		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) = ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) )
39	38	mopntopon 22244	. . . . . . . . 9 |- ( ( D |` ( Y X. Y ) ) e. ( *Met ` Y ) -> ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) e. (TopOn ` Y ) )
40	37, 39	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) e. (TopOn ` Y ) )
41		lmcl 21101	. . . . . . . 8 |- ( ( ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) e. (TopOn ` Y ) /\ F ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) ( ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) ` F ) ) -> ( ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) ` F ) e. Y )
42	40, 28, 41	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) ` F ) e. Y )
43		1zzd 11408	. . . . . . 7 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
44	29, 30, 33, 35, 42, 43, 26	lmss 21102	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F ( ~~> t ` J ) ( ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) ` F ) <-> F ( ~~> t ` ( J ↾t Y ) ) ( ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) ` F ) ) )
45		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( D |` ( Y X. Y ) ) = ( D |` ( Y X. Y ) )
46	45, 16, 38	metrest 22329	. . . . . . . . 9 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ Y C_ X ) -> ( J ↾t Y ) = ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) )
47	15, 12, 46	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( J ↾t Y ) = ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) )
48	47	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ~~> t ` ( J ↾t Y ) ) = ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) )
49	48	breqd 4664	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F ( ~~> t ` ( J ↾t Y ) ) ( ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) ` F ) <-> F ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) ( ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) ` F ) ) )
50	44, 49	bitrd 268	. . . . 5 |- ( ph -> ( F ( ~~> t ` J ) ( ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) ` F ) <-> F ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) ( ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) ` F ) ) )
51	28, 50	mpbird 247	. . . 4 |- ( ph -> F ( ~~> t ` J ) ( ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) ` F ) )
52		funbrfv 6234	. . . 4 |- ( Fun ( ~~> t ` J ) -> ( F ( ~~> t ` J ) ( ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) ` F ) -> ( ( ~~> t ` J ) ` F ) = ( ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) ` F ) ) )
53	20, 51, 52	sylc 65	. . 3 |- ( ph -> ( ( ~~> t ` J ) ` F ) = ( ( ~~> t ` ( MetOpen ` ( D |` ( Y X. Y ) ) ) ) ` F ) )
54	53, 42	eqeltrd 2701	. 2 |- ( ph -> ( ( ~~> t ` J ) ` F ) e. Y )
55	12, 54	sseldd 3604	1 |- ( ph -> ( ( ~~> t ` J ) ` F ) e. X )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   ran crn 5115   |` cres 5116   Fun wfun 5882   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650  infcinf 8347   RRcr 9935   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   ^cexp 12860   ↾_t crest 16081   *Metcxmt 19731   MetOpencmopn 19736   Topctop 20698  TopOnctopon 20715   ~~> tclm 21030   Hauscha 21112   NrmCVeccnv 27439   BaseSetcba 27441   -vcnsb 27444   norm_CVcnmcv 27445   IndMetcims 27446   SubSpcss 27576   CPreHil OLDccphlo 27667   CBanccbn 27718

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-ntr 20824  df-nei 20902  df-lm 21033  df-haus 21119  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-cfil 23053  df-cau 23054  df-cmet 23055  df-grpo 27347  df-gid 27348  df-ginv 27349  df-gdiv 27350  df-ablo 27399  df-vc 27414  df-nv 27447  df-va 27450  df-ba 27451  df-sm 27452  df-0v 27453  df-vs 27454  df-nmcv 27455  df-ims 27456  df-ssp 27577  df-ph 27668  df-cbn 27719

This theorem is referenced by:  minvecolem4  27736