Theorem lsatlss 34283

Description: The set of 1-dim subspaces is a set of subspaces. (Contributed by NM, 9-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsatlss.s	|- S = ( LSubSp ` W )
lsatlss.a	|- A = (LSAtoms ` W )

Assertion

Ref	Expression
lsatlss	|- ( W e. LMod -> A C_ S )

Proof of Theorem lsatlss

Dummy variable v is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . 3 |- ( Base ` W ) = ( Base ` W )
2		eqid 2622	. . 3 |- ( LSpan ` W ) = ( LSpan ` W )
3		eqid 2622	. . 3 |- ( 0g ` W ) = ( 0g ` W )
4		lsatlss.a	. . 3 |- A = (LSAtoms ` W )
5	1, 2, 3, 4	lsatset 34277	. 2 |- ( W e. LMod -> A = ran ( v e. ( ( Base ` W ) \ { ( 0g ` W ) } ) |-> ( ( LSpan ` W ) ` { v } ) ) )
6		eldifi 3732	. . . . 5 |- ( v e. ( ( Base ` W ) \ { ( 0g ` W ) } ) -> v e. ( Base ` W ) )
7		lsatlss.s	. . . . . 6 |- S = ( LSubSp ` W )
8	1, 7, 2	lspsncl 18977	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ v e. ( Base ` W ) ) -> ( ( LSpan ` W ) ` { v } ) e. S )
9	6, 8	sylan2 491	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ v e. ( ( Base ` W ) \ { ( 0g ` W ) } ) ) -> ( ( LSpan ` W ) ` { v } ) e. S )
10		eqid 2622	. . . 4 |- ( v e. ( ( Base ` W ) \ { ( 0g ` W ) } ) |-> ( ( LSpan ` W ) ` { v } ) ) = ( v e. ( ( Base ` W ) \ { ( 0g ` W ) } ) |-> ( ( LSpan ` W ) ` { v } ) )
11	9, 10	fmptd 6385	. . 3 |- ( W e. LMod -> ( v e. ( ( Base ` W ) \ { ( 0g ` W ) } ) |-> ( ( LSpan ` W ) ` { v } ) ) : ( ( Base ` W ) \ { ( 0g ` W ) } ) --> S )
12		frn 6053	. . 3 |- ( ( v e. ( ( Base ` W ) \ { ( 0g ` W ) } ) |-> ( ( LSpan ` W ) ` { v } ) ) : ( ( Base ` W ) \ { ( 0g ` W ) } ) --> S -> ran ( v e. ( ( Base ` W ) \ { ( 0g ` W ) } ) |-> ( ( LSpan ` W ) ` { v } ) ) C_ S )
13	11, 12	syl 17	. 2 |- ( W e. LMod -> ran ( v e. ( ( Base ` W ) \ { ( 0g ` W ) } ) |-> ( ( LSpan ` W ) ` { v } ) ) C_ S )
14	5, 13	eqsstrd 3639	1 |- ( W e. LMod -> A C_ S )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   \ cdif 3571   C_ wss 3574   {csn 4177   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   -->wf 5884   ` cfv 5888   Basecbs 15857   0gc0g 16100   LModclmod 18863   LSubSpclss 18932   LSpanclspn 18971  LSAtomsclsa 34261

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-lsatoms 34263

This theorem is referenced by:  lsatlssel  34284  lssats  34299  lpssat  34300  lssatle  34302  lssat  34303